Mesafe (grafik teorisi) - Distance (graph theory)

Olarak matematiksel alanında grafik teorisi , mesafe arasında iki köşe bir de grafik bir kenarların sayısıdır en kısa yol (aynı zamanda adı verilen grafik jeodezik onları bağlayan). Bu aynı zamanda jeodezik mesafe veya en kısa yol mesafesi olarak da bilinir . İki köşe arasında birden fazla en kısa yol olabileceğine dikkat edin. İki köşeyi birbirine bağlayan bir yol yoksa, yani bunlar farklı bağlantılı bileşenlere aitse , o zaman geleneksel olarak mesafe sonsuz olarak tanımlanır.

Bir halinde yönlendirilmiş grafik mesafesi iki köşe arasındaki ve bir kısa yönlendirilmiş yolun uzunluğu olarak tanımlanır için , yaylardan oluşan en az bir adet bu tür bir yol vardır. Yönlendirilmemiş grafikler durumunun aksine, mutlaka - ile çakışmadığına dikkat edin, bu nedenle sadece bir yarı metriktir ve birinin tanımlıyken diğerinin tanımlanmadığı durum olabilir. ${\görüntüleme stili d(u,v)}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili v}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili v}$${\görüntüleme stili d(u,v)}$${\görüntüleme stili d(v,u)}$

Ilgili kavramlar

Küme üzerinde tanımlanan bir grafikte mesafeler cinsinden bir nokta kümesi üzerinde tanımlanan bir metrik uzaya grafik metriği denir . Köşe kümesi (yönlendirilmemiş bir grafiğin) ve mesafe işlevi, ancak ve ancak grafik bağlantılıysa bir metrik uzay oluşturur .

Eksantriklik bir köşe arasındaki en büyük mesafe olan ve başka herhangi bir tepe noktası; yani sembollerde . Grafikte bir düğümün kendisine en uzak düğümden ne kadar uzakta olduğu düşünülebilir. ${\displaystyle \epsilon (v)}$${\görüntüleme stili v}$${\görüntüleme stili v}$${\displaystyle \epsilon (v)=\max _{u\in V}d(v,u)}$

Yarıçapı bir grafik semboller en az bir köşe eksantrikliği veya bir . ${\görüntüleme stili r}$${\displaystyle r=\min _{v\in V}\epsilon (v)=\min _{v\in V}\max _{u\in V}d(v,u)}$

Çapı bir grafik grafikte herhangi bir tepe maksimum eksantriklik. Yani, herhangi bir köşe çifti arasındaki en büyük mesafe veya alternatif olarak . Bir grafiğin çapını bulmak için önce her bir köşe çifti arasındaki en kısa yolu bulun . Bu yollardan herhangi birinin en büyük uzunluğu grafiğin çapıdır. ${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili d}$${\displaystyle d=\max _{v\in V}\epsilon (v)=\max _{v\in V}\max _{u\in V}d(v,u)}$

Bir merkezi tepe yarıçapının bir grafikte olan eksantriklik biridir -yani, eşdeğer, çapındaki elde edildiğinde veya bir köşe, bir tepe şekildedir . ${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili v}$${\displaystyle \epsilon (v)=r}$

Bir çevresel tepe çapı olan bir grafikte mesafe biridir çapı elde başka bir tepe-olduğu, bir tepeden. Resmi olarak, çevresel ise . ${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili v}$${\displaystyle \epsilon (v)=d}$

Bir sözde-çevresel tepe noktası , herhangi bir tepe noktası için , eğer mümkün olduğunca uzaktaysa , o zaman mümkün olduğunca uzak olma özelliğine sahiptir . Biçimsel olarak, bir tepe u her köşe için ise, sözde periferal v ile tutar . ${\görüntüleme stili v}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili v}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili v}$${\displaystyle d(u,v)=\epsilon (u)}$${\displaystyle \epsilon (u)=\epsilon (v)}$

Bölüm , belirli bir başlangıç tepe olan uzaklıklarına göre alt halinde bir grafiğin köşelerin bir denir düzey yapı grafiğinin.

Her köşe çifti için onları birbirine bağlayan benzersiz bir en kısa yol bulunan bir grafiğe jeodezik grafik denir . Örneğin, tüm ağaçlar jeodeziktir.

Ağırlıklı kısa yol mesafesi genelleştiren için jeodezik mesafe ağırlıklı grafikler . Durumda, bir kenar ağırlığı, uzunluğunu temsil eder veya varsayılmaktadır karmaşık ağlar maliyeti etkileşim ve ağırlıklı kısa yol mesafesi tümündeki ağırlıklarının en az toplamıdır yolları bağlayan ve . Daha fazla ayrıntı ve algoritma için en kısa yol sorununa bakın . ${\görüntüleme stili d^{W}(u,v)}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili v}$

Sahte-çevresel köşeleri bulmak için algoritma

Genellikle çevresel seyrek matris algoritmaları, yüksek eksantrikliğe sahip bir başlangıç ​​tepe noktasına ihtiyaç duyar. Çevresel bir tepe noktası mükemmel olurdu, ancak genellikle hesaplanması zordur. Çoğu durumda, sözde-çevresel bir tepe kullanılabilir. Sözde-çevresel bir tepe noktası, aşağıdaki algoritma ile kolayca bulunabilir:

1. Bir tepe noktası seçin .${\görüntüleme stili u}$
2. Mümkün olduğunca uzak olan tüm köşeler arasında , minimum dereceye sahip bir tane olmasına izin verin .${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili v}$
3. Daha sonra ayarlanır ve 2. adımla tekrarlanırsa, başka bir sözde-çevresel tepe noktasıdır.${\displaystyle \epsilon (v)>\epsilon (u)}$${\görüntüleme stili u=v}$${\görüntüleme stili u}$

Ayrıca bakınız

Notlar