Üstel dağılım modeli - Exponential dispersion model

Gelen olasılık ve istatistik , sınıf üslü dağılma modelleri (EDM) kümesidir olasılık dağılımları bir genelleme temsil doğal üstel ailesi . Üstel dağılım modelleri önemli rol oynamaktadır istatistik teorisi özellikle, genelleştirilmiş doğrusal modeller , uygun yaklaşık yapılacak kesintiler sağlayan özel bir yapıya sahip olduğundan istatistiksel çıkarsama .

Tanım

Tek değişkenli durum

üstel disperson modelini formüle etmek iki versiyonu vardır.

Katkı üstel dağılım modeli

Tek değişkenli bir durumda, gerçek değerli bir rastgele değişken ait katkı maddesi üstel dağılma modeli kanonik parametre ile ve dizin parametre , onun ise olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde yazılabilir ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ teta}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle X \ sim \ mathrm {ED} ^ {*} (\ theta \ lambda)}$

${\ Displaystyle f_ {X} (x | \ theta \ lambda) = h ^ {*} (\ lambda, x) \ exp \ sol (\ teta x \ lambda bir (\ teta) \ sağ) \, \ !.}$

Üreme üstel dağılım modeli

Dönüştürülmüş rastgele değişkenin dağılımı denir üreme üstel dağılım modeli , ve verilir ${\ Displaystyle Y = {\ frac {X} {\ lambda}}}$${\ Displaystyle-Y \ sim \ mathrm {ED} (\ u \ sigma ^ {2})}$

${\ Displaystyle f_ {Y} (y | \ u \ sigma ^ {2}) = h (\ sigma ^ {2}, y) \ exp \ sol ({\ frac {\ teta yA (\ teta)} { \ sigma ^ {2}}} \ sağ) \, \ !,}$

ile ve , ima . Terminoloji dağılım modeli yorumlama kaynaklanmaktadır olarak dağılım parametresi . Sabit parametre için , bir olan doğal üstel ailesi . ${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} = {\ frac {1} {\ lambda}}}$${\ Displaystyle \ u = A '(\ teta)}$${\ Displaystyle \ teta = (A ') ^ {1 -} (\ u)}$${\ Displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ Displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathrm {ED} (\ u \ sigma ^ {2})}$

Çok değişkenli durum

Çok değişkenli durumda, n-boyutlu, rastgele değişken aşağıdaki biçimde bir olasılık yoğunluk fonksiyonu vardır${\ Displaystyle \ mathbf {X}}$

$= Saat (\ lambda, \ mathbf {x}) \ exp \ sol (\ lambda (| _ {\ mathbf {X}} ({\ boldsymbol {\ teta}} \ lambda \ mathbf {x}) {\ displaystyle f {\ boldsymbol {\ teta}} ^ {\ en} \ mathbf {x} -A ({\ boldsymbol {\ teta}})) \ sağ) \, \ !,}$

burada parametre ile aynı boyuta sahiptir . ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ teta}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {X}}$

Özellikleri

Kümülant-üretici fonksiyon

Kümülant-üreten fonksiyon arasında verilir ${\ Displaystyle-Y \ sim \ mathrm {ED} (\ u \ sigma ^ {2})}$

${\ Displaystyle K (t, mu \, \ sigma ^ {2}) = \ log \ operatorname {E} [e ^ {tY}] = {\ frac {A (\ teta + \ sigma ^ {2} t) -A (\ teta)} {\ sigma ^ {2}}} \, \ !,}$

ile ${\ Displaystyle \ teta = (A ') ^ {1 -} (\ u)}$

Ortalama ve varyans

Ortalama ve varyans tarafından verilmektedir ${\ Displaystyle-Y \ sim \ mathrm {ED} (\ u \ sigma ^ {2})}$

${\ Displaystyle \ operatorname {E} [Y] = \ u = A '(\ teta) \ ,, \ dört \ operatorname {Var} [Y] = \ sigma ^ {2}' (\ teta) = \ sigma ^ {2} V (\ u) \, \ !,}$

Birim varyans fonksiyonlu . ${\ Displaystyle V (\ u) = A '' ((A ') ^ {1 -} (\ u))}$

Üreme

Eğer olan IID ile , yani aynı ortalama ve farklı ağırlıklar , ağırlıklı ortalama yine bir olan ${\ Displaystyle Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}}$${\ Displaystyle Y_ {I} \ sim \ mathrm {ED} \ sol (\ u, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {W_ {i}}} \ sağ)}$${\ Displaystyle \ u}$${\ Displaystyle W_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathrm {ED}}$

${\ Displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {W_ {I} Y_ {i}} {_ {\ mermi}}} \ sim \ mathrm {ED} \ sol ağırlık (\ u, { \ frac {\ sigma ^ {2}} {a _ {\ mermi}}} \ sağ) \, \ !,}$

ile . Bu nedenle denir üreme . ${\ Displaystyle w _ {\ mermi} = \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} W_ {i}}$${\ Displaystyle Y_ {i}}$

Birim sapkınlık

Olasılık yoğunluk fonksiyonu , bir ait da ifade edilebilir birim sapma olarak ${\ Displaystyle \ mathrm {ED} (\ u \ sigma ^ {2})}$ ${\ Displaystyle D (y \ u)}$

${\ Displaystyle f_ {Y} (y | \ u \ sigma ^ {2}) = {\ yaklaşık işareti {h}} (\ sigma ^ {2}, y) \ exp \ sol (- {\ frac {D ( y \ u)} {2 \ sigma ^ {2}}} \ sağ) \, \ !,}$

burada birim sapkınlık özel bir biçime sahiptir ya da birim varyans işlevi açısından . ${(Mu \ y) \ displaystyle D = yf (\ u) + g (\ u) + h (y)}$${\ Displaystyle D (y \ u) = 2 \ int _ {\ u} ^ {y} \! {\ Frac {yt} {V (t)}} \, dt}$

Örnekler

: Çok yaygın olasılık dağılımları bir çok bunlar arasında yer alıyor, EDM sınıfına aittir Normal dağılım , Binom dağılımı , Poisson dağılımı , Negatif binom dağılımı , Gamma dağılımı , ters Gauss dağılımı , Tweedie dağılımı .

Referanslar