Kenar daralması - Edge contraction

Kenarın belirtilen köşeler arasında daraltılması, G / {uv} grafiğinin ortaya çıkması.

Olarak grafik teorisi , bir kenar daralma bir bir işlem aynı zamanda bir önceki birleştirilmiş iki köşe birleştirme sırasında bir grafikten bir kenar kaldırır. Kenar daralması, grafik küçükler teorisinde temel bir işlemdir . Köşe tanımlama , bu işlemin daha az kısıtlayıcı bir şeklidir.

Tanım

Kenar büzülme işlemi, belirli bir kenarına göre meydana gelir . Kenar çıkarılır ve iki olay noktalar, ve yeni bir tepe birleştirilir için kenarları olay için bir kenar olay her karşılık gelir ya da ya da . Daha genel olarak, işlem, (herhangi bir sırada) her bir kenarı daraltarak bir dizi kenar üzerinde gerçekleştirilebilir. ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$

Ortaya çıkan indüklenen grafik bazen olarak yazılır . (Bunu , kenarı kaldırmak anlamına gelen ile karşılaştırın .) ${\ displaystyle G / e}$${\ displaystyle G \ setminus e}$${\ displaystyle e}$

Birden çok kenar oluşturmadan bir kenarı daraltma.

Aşağıda tanımlandığı gibi, bir kenar daraltma işlemi , orijinal grafik basit bir grafik olsa bile birden çok kenarlı bir grafikle sonuçlanabilir . Bununla birlikte, bazı yazarlar çoklu kenarların oluşturulmasına izin vermezler, böylece basit grafikler üzerinde gerçekleştirilen kenar daralmaları her zaman basit grafikler üretir.

Resmi tanımlama

Izin bir grafiği (olabilir veya çizge bir kenar ihtiva eder) ile . Her tepe noktasını kendi içinde eşleyen ve aksi takdirde onu yeni bir tepe noktasına eşleyen bir işlev olalım . Büzülmesi yeni bir grafikte sonuçları , burada , ve her için , bir kenara olay olan karşılık gelen kenar, ancak ve ancak, eğer olay için de . ${\ displaystyle G = (V, E)}$${\ displaystyle e = (u, v)}$${\ displaystyle u \ neq v}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle V \ setminus \ {u, v \}}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle G '= (V', E ')}$${\ displaystyle V '= (V \ setminus \ {u, v \}) \ fincan \ {w \}}$${\ displaystyle E '= E \ setminus \ {e \}}$${\ displaystyle x \, V}$${\ displaystyle x '= F (x) \ V'}$${\ displaystyle e '\ in E'}$${\ displaystyle e \ E’de}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle G}$

Köşe tanımlama

Köşe tanımlama (bazen köşe daralması da denir ), bir olay kenarını paylaşan köşeler üzerinde daralmanın olması gerektiği kısıtlamasını kaldırır . (Bu nedenle, kenar daralması özel bir köşe tanımlaması durumudur.) İşlem, grafikteki herhangi bir köşe çiftinde (veya alt kümesinde) meydana gelebilir. Bazen iki daralan köşe arasındaki kenarlar kaldırılır. Eğer ve ayrı parçaların noktalar vardır , o zaman yeni bir grafik oluşturmak için belirleyerek ve de yeni tepe noktası olarak . Daha genel olarak, köşe kümesinin bir bölümü verildiğinde, bölümdeki köşeler tanımlanabilir; ortaya çıkan grafik, bölüm grafiği olarak bilinir . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v '}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v '}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ textbf {v}}}$${\ displaystyle G '}$

Köşe yarılması

Köşe bölme ile aynı olan köşe yarılması, bir tepe noktasının ikiye bölündüğü anlamına gelir; burada bu iki yeni köşe, orijinal köşenin bitişik olduğu köşelere bitişiktir. Genel olarak köşe tanımlaması için, tanımlanan iki köşenin bitişik köşeleri aynı küme olmamasına rağmen, bu, köşe tanımlamasının ters bir işlemidir.

Yol kasılması

Yol daralma bir kenarların grubu üzerine meydana yolu bu sözleşme yolunun uç noktaları arasında tek bir kenar oluşturmak için. Yol boyunca tepe noktalarına gelen kenarlar ya ortadan kaldırılır ya da rastgele (ya da sistematik olarak) uç noktalardan birine bağlanır.

Büküm

İki ayrık grafik düşünün ve nerede, köşe içeriyor ve ve köşe içeriyor ve . Biz grafiği elde edilebilir varsayalım köşe belirleyerek arasında ve bir tepe noktası olarak bir ve köşeleri tanımlayan ve ve bir tepe olarak bir . Bir de büküm ait tepe kümeye göre , biz, bunun yerine, tespit ile ve ile . ${\ displaystyle G_ {1}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {1}}$${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle v_ {2}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle G_ {1}}$${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle G_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ {u, v \}}$${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2}}$${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle u_ {2}}$

Başvurular

Hem kenar hem de tepe daraltma teknikleri, bir özelliğin tüm küçük grafikler için geçerli olduğu varsayılabileceği ve bu, daha büyük grafiğin özelliğini kanıtlamak için kullanılabileceği bir grafikteki köşe veya kenarların sayısı üzerine indüksiyonla kanıtlama açısından değerlidir .

Kenar daralması, gelişigüzel bağlı bir grafiğin yayılan ağaç sayısı için özyinelemeli formülde ve basit bir grafiğin kromatik polinomu için yineleme formülünde kullanılır .

Kasılmalar, esasen eşdeğer varlıkları temsil eden köşeleri belirleyerek bir grafiği basitleştirmek istediğimiz yapılarda da yararlıdır. En yaygın örneklerinden birisi genel azaltılmasıdır yönlendirilmiş grafik bir üzere asiklik yönlendirilmiş grafik her köşe tüm daraltılmasıyla , bağlanmış bileşen . Grafik tarafından tanımlanan ilişki geçişli ise , her bir tepe noktasını, onu oluşturmak için daraltılmış olan köşelerin etiketleri kümesiyle etiketlediğimiz sürece hiçbir bilgi kaybolmaz.

Başka bir örnek, farklı değişkenler arasındaki hareket işlemlerini ortadan kaldırmak için köşelerin daraltıldığı (güvenli olduğu yerde ) küresel grafik renklendirme yazmacı tahsisinde gerçekleştirilen birleştirme işlemidir.

Kenar daraltma, düşük çokgen modellerin oluşturulmasına yardımcı olarak köşe sayısını tutarlı bir şekilde azaltmak için 3B modelleme paketlerinde (manuel olarak veya modelleme yazılımının bazı özellikleri aracılığıyla) kullanılır.

Ayrıca bakınız

• Alt bölüm (grafik teorisi)

Notlar

Referanslar

• Brüt, Jonathan; Yellen, Jay (1998), Çizge Teorisi ve uygulamaları , CRC Press, ISBN   0-8493-3982-0
• Oxley James (1992), Matroid Teorisi , Oxford University Press
• Rosen, Kenneth (2011), Ayrık Matematik ve Uygulamaları (7. baskı), McGraw-Hill, ISBN   9780073383095
• West, Douglas B. (2001), Grafik Teorisine Giriş (2. baskı), Prentice-Hall, ISBN   0-13-014400-2

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. " Sınır Kasılması " . MathWorld .