Ayrıştırma teoremi - Decomposition theorem

Matematikte, özellikle cebirsel geometri ayrışma teoremi kohomolojinin ilişkin sonuçların bir dizi cebirsel çeşitleri .

Beyan

Düzgün düzgün haritalar için ayrıştırma

Ayrıştırma teoreminin ilk durumu, iki projektif çeşit arasında göreceli boyut d' nin düzgün ve düzgün bir haritası için izomorfizm veren sert Lefschetz teoremi aracılığıyla ortaya çıkar. ${\ displaystyle f: X \ - Y}$

{\ displaystyle - \ cup \ eta ^ {i}: R ^ {di} f _ {*} (\ mathbb {Q}) {\ stackrel {\ cong} {\ to}} R ^ {d + i} f_ { *} (\ mathbb {Q}).}

Burada bir temel sınıftır hiper bölümü , bir doğrudan resim (pushforward) ve bir n -inci functor türevi doğrudan görüntü. Bu türetilmiş funktor ölçer , n ve inci cohomologies için . Aslında, Y'nin bir nokta olduğu özel durum , izomorfizm anlamına gelir. ${\ displaystyle \ eta}$ ${\ displaystyle f _ {*}}$ ${\ displaystyle R ^ {n} f _ {*}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ ${\ displaystyle U \ alt küme Y}$

{\ displaystyle - \ cup \ eta ^ {i}: H ^ {di} (X, \ mathbb {Q}) {\ stackrel {\ cong} {\ ila}} H ^ {d + i} (X, \ mathbb {Q}).}

Bu sert Lefschetz izomorfizmi kanonik izomorfizmlere neden olur

{\ displaystyle Rf _ {*} (\ mathbb {Q}) {\ stackrel {\ cong} {\ to}} \ bigoplus _ {i = -d} ^ {d} R ^ {d + i} f _ {*} (\ mathbb {Q}) [- di].}

Dahası, bu ayrıştırmada ortaya çıkan kasnaklar , yerel sistemlerdir , yani, ayrıca yarı basit olan, yani önemsiz yerel alt sistemler olmaksızın yerel sistemlerin doğrudan bir toplamı olan , yerel olarak serbest Q- vektör uzayları kasnaklarıdır . ${\ displaystyle R ^ {d + i} f _ {*} \ mathbb {Q}}$

Uygun haritalar için ayrıştırma

Ayrıştırma teoremi, bu gerçeği çeşitler arasında uygun, ancak zorunlu olarak düzgün olmayan bir harita durumuna genelleştirir . Özetle, yerel sistemler kavramı sapkın kasnaklarla değiştirildiğinde yukarıdaki sonuçlar geçerliliğini korur . ${\ displaystyle f: X \ - Y}$

Sert Lefschetz teoremi üzerinde aşağıdaki biçimi alır: bir izomorfizm orada türetilen kategori ilgili kasnakların Y :

{\ displaystyle {} ^ {p} H ^ {- i} (Rf _ {*} \ mathbb {Q}) \ cong {} ^ {p} H ^ {+ i} (Rf _ {*} \ mathbb {Q} ),}

sapkın t-yapısına göre i- inci kesmenin toplam türetilmiş işlevi nerede ve budur . ${\ displaystyle Rf _ {*}}$ ${\ displaystyle f _ {*}}$ ${\ displaystyle {} ^ {p} H ^ {i}}$

Dahası, bir izomorfizm var

{\ displaystyle Rf _ {*} IC_ {X} ^ {\ bullet} \ cong \ bigoplus _ {i} {} ^ {p} H ^ {i} (Rf _ {*} IC_ {X} ^ {\ bullet}) [-ben].}

zirvelerin yarı basit sapık kasnaklar olduğu, yani bunlar kesişme kohomoloji kasnaklarının ileri itme toplamlarının doğrudan toplamları olduğu anlamına gelir.

Eğer X, düzgün değil, o zaman yukarıda belirtilen sonuçları doğru devam değiştirilir kesişim kohomolojisi kompleksi . ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [\ dim X]}$ ${\ displaystyle IC}$

Kanıtlar

Ayrışma teoremi ilk olarak Beilinson, Bernstein ve Deligne tarafından kanıtlandı. Kanıtları, pozitif özellikte l-adik kasnaklar üzerinde ağırlık kullanımına dayanmaktadır. Saito, karışık Hodge modüllerini kullanan farklı bir kanıt verdi. Semismall haritalar kavramına dayanan daha geometrik bir kanıt, de Cataldo ve Migliorini tarafından verildi.

İçin semismall haritalar , ayrışma teoremi ayrıca Chow nedenleri için de geçerlidir.

Ayrıştırma Teoreminin Uygulamaları

Rasyonel Lefschetz Kaleminin Kohomolojisi

Tarafından verilen pürüzsüz yarı yansıtmalı bir çeşitlilikten rasyonel bir morfizm düşünün . Eğer kaybolan lokusu olarak ayarlarsak, o zaman indüklenmiş bir morfizm vardır . Kohomolojiyi, kohomolojinin kesişme kohomolojisinden hesaplayabilir ve birlikte patlamadan kohomolojiden çıkarabiliriz . Bu, ters spektral dizi kullanılarak yapılabilir. ${\ displaystyle f: X \ rightarrow \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ displaystyle [f_ {1} (x): f_ {2} (x)]}$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}} = Bl_ {Y} (X) \ - \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Bl_ {Y} (X)}$ ${\ displaystyle Y}$