DF alanı - DF-space

Alanında fonksiyonel analiz , DF-boşluk , aynı zamanda yazılı ( DF ) -spaces olan yerel dışbükey topolojik vektör uzayı yerel dışbükey tarafından paylaşılan bir özellik olan metriklenebilir topolojik vektör uzayı . Topolojik tensör ürünleri teorisinde önemli bir rol oynarlar.

DF uzayları ilk olarak Alexander Grothendieck tarafından tanımlanmış ve onun tarafından ayrıntılı olarak incelenmiştir ( Grothendieck 1954 ) . Grothendieck, bu boşlukları ölçülebilir uzayların güçlü duallerinin aşağıdaki özelliği ile tanıtmaya yönlendirildi: Ölçülebilir yerel olarak dışbükey bir uzaysa ve her güçlü sınırlanmış kümeyi absorbe edecek şekilde bir dışbükey 0-komşuluk dizisiyse, o zaman bir 0-komşuludur. ( güçlü ikili topolojiye sahip olan sürekli ikili uzay nerede ). harv hatası: hedef yok: CITEREFGrothendieck1954 ( yardım ) ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V_ {1}, V_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle V: = \ cap _ {i} V_ {i}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X}$

Tanım

Bir lokal konveks topolojik vektör uzayı (TVS), a, DF-alanı ayrıca yazılmış, ( DF ) ile uzay , eğer ${\ displaystyle X}$

1. ${\ displaystyle X}$ bir sayılabilir yarı namlulu uzay (ie eşsürekli alt kümelerinin her kuvvetle sınırlanmış sayılabilir birlik eşsürekli olan) ve ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$
2. ${\ displaystyle X}$ temel bir sınırlı dizisine sahiptir (yani , her sınırlı alt kümesinin bazılarında yer alacağı şekilde, sınırlı bir alt kümeler dizisi vardır ). ${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B_ {i}}$

Özellikleri

• Izin bir DF-boşluk olmalı ve izin bir dışbükey dengeli alt kümesi Sonra sadece her dışbükey ve eğer dengeli, sınırlı alt kümesi ise kökenli bir mahalle içinde kökenli bir mahalle Sonuç olarak, DF-uzaydan doğrusal haritası yerel olarak dışbükey bir alana dönüş, alanın her bir sınırlı alt kümesiyle sınırlaması süreklilik arz ediyorsa süreklidir. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle B \ subseteq X,}$ ${\ displaystyle B \ cap V}$${\ displaystyle B.}$
• Güçlü çift boşluk bir DF-alanı olan Fréchet uzay .
• Her sonsuz boyutlu Montel DF-alanı olan sıralı uzay ama değil bir Fréchet-Urysohn uzay .
• DF-uzayı veya LM-uzayı olduğunu varsayalım . Eğer bir olan sıralı uzay o zaman ya bir metriklenebilir veya başka bir Montel uzay DF-alan. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Her yarı-eksiksiz DF-alanı tamamlandı.
• Eğer bir olduğunu tam nükleer DF-uzay sonra bir olan Montel uzay . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

Yeterli koşullar

Güçlü çift boşluk bir Fréchet uzayın bir DF-boşluktur. ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X}$

• Ölçülebilir yerel olarak dışbükey uzayın güçlü ikilisi bir DF uzayıdır, ancak tersi genel olarak doğru değildir (bunun tersi, her DF uzayının ölçülebilir yerel olarak dışbükey uzayın güçlü ikilisi olduğunun ifadesidir). Bundan şöyle:
  • Her normlu uzay bir DF-uzaydır.
  • Her Banach alanı bir DF alanıdır.
  • Sınırlı kümelerin temel bir dizisine sahip olan her kızılötesi uzay bir DF-uzaydır.
• Bir DF uzayının her Hausdorff bölümü bir DF uzayıdır.
• Tamamlanması DF-alanının, bir DF-alandır.
• Bir DF-uzay dizisinin yerel olarak dışbükey toplamı bir DF-uzaydır.
• Bir dizi DF-uzayının endüktif sınırı bir DF-uzaydır.
• Varsayalım ki ve DF-alanlarda bulunmaktadır. Daha sonra bu boşlukların projektif tensör ürünü ve tamamlanması bir DF-uzaydır. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Ancak,

• Önemsiz olmayan DF-boşlukların sonsuz ürünü (yani, tüm faktörler olmayan 0 boyutu vardır) değil , bir DF-alan.
• Bir DF uzayının kapalı vektör alt uzayı mutlaka bir DF uzayı değildir.
• Ölçülebilir yerel olarak dışbükey bir TVS'nin güçlü ikilisine TVS izomorfik olmayan tam DF alanları mevcuttur.

Örnekler

TVS izomorfik olmayan tam DF uzayları ve ölçülebilir yerel olarak dışbükey uzayın güçlü ikilisi vardır. Olan kapalı vektör alt uzay sahip DF-boşluk vardır mevcut değildir DF-alanlarda.

Ayrıca bakınız

• Namlulu alan
• Sayıca yarı namlulu boşluk
• F uzayı  - Tam bir ötelemeyle değişmeyen metriğe sahip topolojik vektör uzayı
• LB alanı
• LF-uzay
• Nükleer uzay  - Topolojik vektör uzayı türü
• Projektif tensör ürünü

Alıntılar

Kaynakça

• Grothendieck, Alexander (1954). "Sur les espaces (F) et (DF)". Summa Brasil. Matematik. (Fransızcada). 3 : 57–123. MR   0075542 .
• Grothendieck, İskender (1955). "Üretim Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Topolojik Tensör Ürünleri ve Nükleer Uzaylar]. Amerikan Matematik Derneği Serisinin Anıları (Fransızca). Providence: Amerikan Matematik Derneği. 16 . ISBN   978-0-8218-1216-7 . MR   0075539 . OCLC   1315788 .
• Khaleelulla, SM (1982). Topolojik Vektör Uzaylarında karşı örnekler . Matematik Ders Notları . 936 . Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN   978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Pietsch, Albrecht (1979). Nükleer Yerel Dışbükey Uzaylar . Ergebnisse der Mathematik ve ihrer Grenzgebiete. 66 (İkinci baskı). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN   978-0-387-05644-9 . OCLC   539541 .
• Pietsch, Albrecht (1972). Nükleer yerel olarak dışbükey uzaylar . Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN   0-387-05644-0 . OCLC   539541 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topolojik Vektör Uzayları . GTM . 8 (İkinci baskı). New York, NY: Springer New York Künye Springer. ISBN   978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Wong, Yau-Chuen (1979). Schwartz Uzayları, Nükleer Uzaylar ve Tensör Ürünleri . Matematik Ders Notları . 726 . Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN   978-3-540-09513-2 . OCLC   5126158 .

Dış bağlantılar

• Ncatlab'da DF-alanı