Tam dörtgen - Complete quadrangle

Image
Tam bir dörtgen (solda) ve tam bir dörtgen (sağda).

Gelen matematik spesifik olarak, geometrisi ve özellikle yansıtmalı geometri , bir tam dörtgen bir en az dört nokta oluşan geometrik nesnelerin bir sistemdir düzlemi , bir üç ortak bir hat üzerinde ve altı çift bağlantı altı satır puan. İkili olarak , tam bir dörtgen , üçü aynı noktadan ve bu çizgilerin altı kesişme noktasından geçmeyen dört çizgiden oluşan bir sistemdir. Tam dörtgen, Lachlan (1893) tarafından tetrastigm olarak adlandırıldı ve tam dörtgene bir tetragram adı verildi ; bu terimler ara sıra hala kullanılmaktadır.

Çapraz

Tam bir dörtgenin altı çizgisi, dörtgenin köşegen noktaları olarak adlandırılan üç ek nokta oluşturmak için çiftler halinde buluşur . Benzer şekilde, tam bir dörtgenin altı noktası arasında, halihazırda çizgilerle bağlanmamış üç çift nokta vardır; çizgi parçası , bu çiftleri bağlantı denir diyagonalleri . Nedeniyle keşfine Fano düzleminde , bir sonlu geometri tam dörtgeni diyagonal noktaları olduğu collinear , bazı yazarlar ile Projektif geometrinin aksiyomlar yükseltmiştir Fano en aksiyomuna diyagonal noktalar olduğunu değil diğerleri daha az kısıtlayıcı olmuştur ederken, aynı doğrultudaki .

Tam bir dörtgenin parçaları için bir dizi kısaltılmış ifade GB Halsted tarafından tanıtıldı : Dörtgen noktaların köşelerini ve kodot olarak adlandırdığı köşegen noktaları çağırıyor . Yansıtmalı alan çizgileri denir straights'e ve quadrangle onlar denir konektörler . Coxeter'in "çapraz çizgileri" Halsted tarafından zıt bağlayıcılar olarak adlandırılır . Zıt konektörler bir kodotta kesişir. Tam dörtgenin konfigürasyonu bir tetrastimdir . Bu terimler hiçbir zaman geniş çapta kabul görmedi ve yalnızca tarihsel açıdan ilgi çekicidir.

Projektif özellikler

Image
KLMN tam bir dörtgendir;
D ise yansıtmalı harmonik eşleniği ve C ile ilgili olarak A ve B .

Tüm noktaların aynı sayıda çizgiye ait olduğu ve tüm çizgilerin aynı sayıda noktaya sahip olduğu nokta ve doğru sistemleri olarak, tam dörtgen ve tam dörtgen, her ikisi de projektif konfigürasyonlar oluşturur ; projektif konfigürasyonların gösteriminde, tam dörtgen (4 3 6 2 ) olarak yazılır ve tam dörtgen (6 2 4 3 ) yazılır , burada bu gösterimdeki sayılar nokta sayılarına, nokta başına satırlara, doğrulara atıfta bulunur. ve konfigürasyonun her satırı için puan. Yansıtmalı çift tam bir dörtgen tam bir dörtgen veya tam tersi. Herhangi iki tam dörtgen veya herhangi iki tam dörtgen için, iki konfigürasyondan birini diğerine alan benzersiz bir yansıtmalı dönüşüm vardır .

Karl von Staudt , 1847'de matematiksel temelleri tam dörtgende yeniden biçimlendirdi ve bir "harmonik özelliğin" dörtgenin eşzamanlılarına dayandırılabileceğini belirtti: Dörtgenin her bir zıt taraf çifti bir doğru üzerinde kesiştiğinde, köşegenler doğruyu keser. en yansıtmalı harmonik eşlenik pozisyonları. Dörtgenin kenarlarından ve köşegenlerinden kaynaklanan dört nokta, harmonik aralık olarak adlandırılır . Perspektiflik ve projektivite sayesinde harmonik özellik kararlıdır. Modern geometri ve cebirdeki gelişmeler, von Staudt'un Mario Pieri ve Felix Klein üzerindeki etkisine dikkat çekiyor .

Öklid özellikleri

Gelen Öklid düzleminde tam bir dörtgenin dört satır satır her çifti, bir kesişme noktasına sahip ve böylece, herhangi bir paralel hat çifti olmaması gerekir.

Wells (1991) , tamamen yansıtmalı olmaktan ziyade Öklid düzleminin metrik özelliklerini içeren tam dörtgenlerin birkaç ek özelliğini açıklar . Köşegenlerin orta noktaları eşdoğrusaldır ve ( Isaac Newton tarafından kanıtlandığı gibi ) , dörtgenin dört çizgisine de teğet olan bir koniğin merkezi ile aynı doğrultudadır. Dörtgenin herhangi üç çizgisi bir üçgenin kenarlarını oluşturur; orthocenters orta noktalar boyunca bir dik olan bir ikinci satırda bu şekilde yalan oluşan dört üçgenlerinin. Circumcircles bu aynı dört üçgen bir noktada buluşuyor. Ek olarak, çap olarak köşegenlere sahip olan üç daire , ekseni orto merkezler boyunca doğru olan ortak bir daire kalemine aittir .

Polar çevreler tam bir dört kenarlı şeklinde a üçgenler eksendeş sistemi.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

  • Coxeter, HSM (1987). Projektif Geometri, 2. baskı . Springer-Verlag. ISBN   0-387-96532-7 .
  • Hartshorne, Robin (1967). Projektif Geometrinin Temelleri . WA Benjamin. s. 53–6.
  • Lachlan, Robert (1893). Modern Saf Geometri Üzerine Temel Bir İnceleme . Londra, New York: Macmillan and Co. Cornell Üniversitesi Tarihsel Matematik Monografilerinden Bağlantı . Özellikle tetrastigm, sayfa 85 ve tetragram, sayfa 90'a bakın.
  • Wells, David (1991). Meraklı ve İlginç Geometri Penguen Sözlüğü . Penguen. s.  35–36 . ISBN   0-14-011813-6 .

Dış bağlantılar