Birasyonel geometri - Birational geometry

Daire için birationally eşdeğerdir hattı . Aralarındaki bir çift uluslu harita , burada resmedilen stereografik izdüşümdür .

Gelen matematik , birational geometri bir alandır cebirsel geometri iki zaman hedef belirlemek için olduğu cebirsel çeşitleri izomorfik dışında düşük boyutlu alt kümeleridir. Bu , polinomlardan ziyade rasyonel fonksiyonlar tarafından verilen eşlemeleri incelemek anlamına gelir ; rasyonel fonksiyonların kutupları olduğu yerde harita tanımlanamayabilir.

çift ​​uluslu haritalar

rasyonel haritalar

Bir rasyonel harita (anlaşılmalıdır bir çeşitli indirgenemez ) başka çeşitli kesikli ok olarak yazılır, X, ⇢ Y , bir olarak tanımlanır morfizmalar boş olmayan bir alt kümesi, açık gelen için . Cebirsel geometride kullanılan Zariski topolojisinin tanımı gereği, boş olmayan bir açık altküme her zaman içinde yoğundur , aslında daha düşük boyutlu bir altkümenin tamamlayıcısıdır. Somut olarak, rasyonel fonksiyonlar kullanılarak koordinatlarda rasyonel bir harita yazılabilir. ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili U\alt küme X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili X}$

çift ​​uluslu haritalar

Bir birational haritası gelen X için Y rasyonel bir haritasıdır f : X ⇢ Y rasyonel bir harita var, öyle ki Y ⇢ X ters için f . İki uluslu bir harita, X'in boş olmayan bir açık alt kümesinden, Y'nin boş olmayan bir açık alt kümesine bir izomorfizmi indükler . Bu durumda, X ve Y'nin çift ​​yönlü veya çift ​​yönlü eşdeğer olduğu söylenir . Cebirsel terimlerle, bir k alanı üzerindeki iki çeşit, ancak ve ancak fonksiyon alanları k'nin genişleme alanları olarak izomorfikse çift ​​yönlüdür .

Özel bir durum, çift ​​yönlü bir morfizmdir f : X → Y , yani çift yönlü olan bir morfizm. Yani f her yerde tanımlanır, ancak tersi olmayabilir. Bir birational morfizmanın bazı alt varyetelerinden sözleşmeleri genellikle, bu durumda , X noktalara Y .

Birational denklik ve rasyonellik

Bir boyutun afin uzayına (veya eşdeğer olarak, yansıtmalı uzaya ) çift ​​yönlü ise , X çeşidinin rasyonel olduğu söylenir . Rasyonellik çok doğal bir özelliktir: bu, X eksi bazı düşük boyutlu alt kümelerin afin uzay eksi bazı alt boyutlu alt kümelerle tanımlanabileceği anlamına gelir .

Bir düzlem koniğin çift yönlü eşdeğerliği

Örneğin , afin düzlemde denklemi olan daire rasyonel bir eğridir, çünkü f : ⇢ X tarafından verilen rasyonel bir harita vardır . ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle f(t)=\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}} \Sağ),}$

rasyonel ters olan g : X, ⇢ tarafından verilen ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle g(x,y)={\frac {1-y}{x}}.}$

Haritası uygulanıyor f ile t bir rasyonel sayı sistematik yapıya verir Pisagor üçlüsü .

Rasyonel harita nerede olduğu lokusta tanımlanmamıştır . Yani, karmaşık afin satırda , açık alt kümesine bir morfizmanın olduğunu , . Benzer şekilde, mantıklı harita g : X, ⇢ noktada tanımlanmamıştır içinde . ${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle 1+t^{2}=0}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle U=\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{i,-i\}}$${\ Displaystyle f:U\to X}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\görüntüleme stili (0,-1)}$${\görüntüleme stili X}$

Düzgün kuadriklerin ve P ^n'nin birasyonel denkliği

Daha genel olarak, herhangi bir n boyutuna sahip düzgün bir kuadrik (derece 2) hiperyüzey X , stereografik izdüşüm ile rasyoneldir . ( X için, bir k alanı üzerinde bir kuadrik , X'in bir k- rasyonel noktasına sahip olduğu varsayılmalıdır ; k cebirsel olarak kapalıysa bu otomatiktir .) Stereografik izdüşüm tanımlamak için, p , X'te bir nokta olsun . Daha sonra bir birational harita X yansıtmalı boşluğa boyunca çizgilerin p noktası göndererek verilir q içinde X yoluyla hattına p ve q . Bu, çift yönlü bir denkliktir, ancak çeşitlerin izomorfizmi değildir, çünkü q = p olduğu yerde tanımlanamaz (ve ters harita , X'te bulunan p'den geçen satırlarda tanımlanamaz ). ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Kuadrik yüzeyin birational denkliği

Segre katıştırma bir gömme verir tarafından verilen ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle ([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].}$

Görüntü kuadratik yüzey bölgesindeki . Bu, açık bir izomorfik alt kümeye sahip olduğu için açıkça rasyonel olduğundan , bu kuadratik yüzeyin rasyonel olduğuna dair başka bir kanıt verir . ${\displaystyle x_{0}x_{3}=x_{1}x_{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$

Minimal modeller ve tekilliklerin çözünürlüğü

Her cebirsel çeşitlilik, bir projektif çeşitliliğe çift ​​yönlüdür ( Chow's lemma ). Bu nedenle, çift uluslu sınıflandırma amaçları için sadece projektif çeşitlerle çalışmak yeterlidir ve bu genellikle en uygun ayardır.

Hironaka'nın tekilliklerin çözümüne ilişkin 1964 teoremi çok daha derindir : karakteristik 0'lık bir alan üzerinde (karmaşık sayılar gibi), her çeşitlilik düzgün bir yansıtmalı çeşitliliğe çift ​​yönlüdür . Buna göre, düzgün projektif çeşitleri birasyonel eşdeğerliğe kadar sınıflandırmak yeterlidir.

Boyut 1'de, eğer iki düzgün projektif eğri çift yönlü ise, bunlar izomorfiktir. Ancak bu, yapıyı havaya uçurmakla en az 2 boyutta başarısız olur . Patlayarak, en az 2 boyutundaki her düzgün projektif çeşitlilik, örneğin daha büyük Betti sayıları gibi, sonsuz sayıda "daha büyük" çeşitler için çift yönlüdür .

Bu, minimal modeller fikrine yol açar : Her bir çift yönlü eşdeğerlik sınıfında benzersiz bir en basit çeşitlilik var mı? Modern bir tanıma yansıtmalı çeşitli olmasıdır X, bir az ise demeti kanonik hattı K _X her eğri üzerinde negatif olmayan derecesine sahiptir , X ; diğer bir deyişle, K _X ise nef . Şişirilmiş çeşitlerin asla minimum düzeyde olmadığını kontrol etmek kolaydır.

Bu kavram cebirsel yüzeyler için mükemmel bir şekilde çalışır (2 boyut çeşitleri). Modern terimlerle, yüzeylerin sınıflandırılmasının bir parçası olan 1890–1910 arası İtalyan cebirsel geometri okulunun bir merkezi sonucu, her X yüzeyinin ya bir C eğrisi için bir çarpım için ya da bir minimal Y yüzeyi için çift ​​yönlü olmasıdır . İki durum birbirini dışlar ve varsa Y benzersizdir. Zaman Y'nin varsa, bu adlandırılan en az bir model içinde  X . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times C}$

birasyonel değişmezler

İlk başta, rasyonel olmayan cebirsel çeşitlerin nasıl gösterileceği açık değildir. Bunu kanıtlamak için cebirsel çeşitlerin bazı çift yönlü değişmezlerine ihtiyaç vardır. Bir çift ​​yönlü değişmez , çift yönlü olarak eşdeğer olan tüm çeşitler için aynı veya izomorfik olan herhangi bir sayı, halka vb.

Plurigenera

Kullanışlı bir çift yönlü değişmezler kümesi plurigenera'dır . Standart demet düzgün bir çeşitliliği, X boyutunun N vasıtasıyla hat demeti arasında n -biçimleri K _X = Q'dan ⁿ olup, n, inci dış güç ait cotangent demeti arasında X . Bir d tamsayısı için , K _X'in d' inci tensör gücü yine bir çizgi demetidir. İçin d ≥ 0, küresel bölümlerin vektör uzayı H ⁰ ( X , K _x ^d ) dikkate değer bir özelliğe sahip olduğu, bir birational harita f : X, ⇢ Y'nin düz yansıtmalı çeşitleri indükler arasında bir izomorfizm lH ⁰ ( X , K _x ^d ) ≅ H ⁰ ( Y , K _{, Y} ^d ).

İçin d ≥ 0 tanımlama, d inci plurigenus P _d vektör uzayı boyutu olarak H ⁰ ( X , K _x ^d ); o zaman plurigenera, pürüzsüz projektif çeşitler için çift yönlü değişmezlerdir. Özellikle, d > 0 olan herhangi bir plurigenus P _d sıfır değilse, X rasyonel değildir.

kodira boyutu

Temel bir birational değişmez olduğu Kodaira boyutu plurigenera büyümesini ölçer, P _d olarak d sonsuza gider. Kodaira boyut böler boyut tüm çeşitleri n içine n  Kodaira boyuta -∞, 0, 1, ..., veya + 2 tiplerinde, n . Bu, Kodaira boyutu −∞ olan projektif uzay ile bir çeşitliliğin karmaşıklığının bir ölçüsüdür. En karmaşık çeşitler, Kodaira boyutu n boyutlarına eşit olan ve genel tip çeşitleri olarak adlandırılan çeşitlerdir .

⊗ ^k Ω ¹ ve bazı Hodge sayılarının toplamları

Daha genel olarak, herhangi bir doğal toplama için

${\displaystyle E(\Omega ^{1})=\bigotimes ^{k}\Omega ^{1}}$

ve R Q demeti konjant inci tensör gücü ¹ ile r ≥ 0, küresel bölümlerin vektör alan lH ⁰ ( X , D (Ω ¹ )) düz yansıtmalı çeşitleri için bir birational değişmez olduğu. Özellikle, Hodge sayıları

${\displaystyle h^{p,0}=H^{0}(X,\Omega ^{p})}$

X'in çift ​​yönlü değişmezleridir . (Diğer çoğu Hodge sayısı h ^p,q , patlama ile gösterildiği gibi çift yönlü değişmezler değildir.)

Pürüzsüz projektif çeşitlerin temel grubu

Temel grup π ₁ ( X ) düz kompleks yansıtmalı çeşitleri için bir birational değişmez olduğu.

Abramovich, Karu, Matsuki ve Włodarczyk (2002) tarafından kanıtlanan "Zayıf çarpanlara ayırma teoremi", iki pürüzsüz karmaşık projektif çeşit arasındaki herhangi bir çift yönlü haritanın, pürüzsüz alt çeşitlerin sonlu sayıda patlatma veya patlatmalarına ayrıştırılabileceğini söylüyor. Bunu bilmek önemlidir, ancak iki düzgün projektif çeşidin çift yönlü olup olmadığını belirlemek hala çok zor olabilir.

Daha yüksek boyutlarda minimal modeller

Bir yansıtmalı çeşitli X olarak adlandırılan en az ise standart demet K _x isimli nef . For X boyutunda 2'nin, tanımı pürüzsüz çeşitleri dikkate almak yeterlidir. En az 3 boyutta, minimal çeşitlerin belirli hafif tekilliklere sahip olmalarına izin verilmelidir, bunun için K _X hala iyi huyludur; bunlara uç tekillikler denir .

Bununla birlikte, minimum model varsayımı , her X çeşidinin ya rasyonel eğriler tarafından kapsandığını ya da minimum Y çeşidine çift yönlü olduğunu ima edecektir . Bu var olduğu zaman, Y, bir adlandırılan en az bir model içinde X .

Minimal modeller en az 3 boyutta benzersiz değildir, ancak çift yönlü olan herhangi iki minimal çeşit çok yakındır. Örneğin, en az 2 eş boyutun alt kümeleri dışında izomorfiktirler ve daha kesin olarak bir dizi flop ile ilişkilidirler . Dolayısıyla minimal model varsayımı, cebirsel çeşitlerin çift uluslu sınıflandırması hakkında güçlü bilgiler verecektir.

Bu varsayım Mori tarafından 3. boyutta kanıtlandı. Genel sorun açık kalmasına rağmen, daha yüksek boyutlarda büyük ilerleme kaydedilmiştir. Özellikle, Birkar, Cascini, Hacon ve McKernan (2010) , karakteristik sıfır alanı üzerindeki her genel tip çeşidinin minimum bir modeli olduğunu kanıtladı .

kuralsız çeşitler

Rasyonel eğrilerle kaplıysa, çeşitliliğe uniruled denir . Sırasız bir çeşidin minimal bir modeli yoktur, ancak bunun iyi bir ikamesi vardır: Birkar, Cascini, Hacon ve McKernan, karakteristik sıfır alanı üzerindeki her irillenmemiş çeşidin bir Fano fiber uzayına göre çift ​​yönlü olduğunu gösterdi . Bu, Fano fiber uzaylarının ve (en ilginç özel durum olarak) Fano çeşitlerinin çift ​​uluslu sınıflandırılması sorununa yol açar . Tanım olarak, bir yansıtmalı çeşitli X olan Fano anticanonical paket halinde olan geniş . Fano çeşitleri, projektif uzaya en çok benzeyen cebirsel çeşitler olarak kabul edilebilir. ${\ Displaystyle K_{X}^{*}}$

2. boyutta, cebirsel olarak kapalı bir alan üzerindeki her Fano çeşidi ( Del Pezzo yüzeyi olarak bilinir ) rasyoneldir. 1970'lerde önemli bir keşif, 3. boyuttan başlayarak rasyonel olmayan birçok Fano çeşidinin olmasıdır . Özellikle, düzgün kübik 3-katlar Clemens–Griffiths (1972) tarafından rasyonel değildir ve düzgün kuartik 3-katlar Iskovskikh-Manin (1971) tarafından rasyonel değildir . Bununla birlikte, tam olarak hangi Fano çeşitlerinin rasyonel olduğunu belirleme sorunu çözülmekten uzaktır. Örneğin, herhangi bir kübik hiperyüzeyi pürüzsüz olup olmadığı bilinmemektedir ile n rasyonel değildir ≥ 4. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$

Birational otomorfizm grupları

Cebirsel çeşitler, sahip oldukları iki çift yönlü otomorfizme göre büyük farklılıklar gösterir. Genel tiplerin her çeşidi , çift yönlü otomorfizm grubunun sonlu olması anlamında son derece katıdır. Diğer uçta, Cremona grubu Cr _n ( k ) olarak bilinen, bir k alanı üzerindeki yansıtmalı uzayın çift yönlü otomorfizm grubu, n ≥ 2 için büyüktür (bir anlamda, sonsuz boyutludur). n = 2 için, karmaşık Cremona grubu "kuadratik dönüşüm" tarafından oluşturulur ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle Cr_{2}(\mathbb {C} )}$

[ x , y , z ] ↦ [1/ x , 1/ y , 1/ z ]

Birlikte grupla ait automorphisms tarafından Max Noether ve Castelnuovo . Buna karşılık, n ≥ 3 boyutlarındaki Cremona grubu oldukça gizemlidir: açık bir jeneratör seti bilinmemektedir. ${\displaystyle PGL(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2},}$

Iskovskikh-Manin (1971) , düzgün bir kuartik 3 katlının çift yönlü otomorfizm grubunun, sonlu olan otomorfizm grubuna eşit olduğunu gösterdi. Bu anlamda, kuartik 3-katlar rasyonel olmaktan uzaktır, çünkü rasyonel bir çeşitliliğin çift ​​yönlü otomorfizm grubu çok büyüktür. Bu "birasyonel rijitlik" olgusu o zamandan beri diğer birçok Fano fiber uzayında keşfedilmiştir.

Ayrıca bakınız

• bolluk varsayımı

alıntılar

Notlar

Referanslar