Noll element - Zero element

I matematik är ett nollelement en av flera generaliseringar av talet noll till andra algebraiska strukturer . Dessa alternativa betydelser kan eller kanske inte minska till samma sak, beroende på sammanhanget.

Additiva identiteter

En additividentitet är identitetselementet i en additivgrupp . Det motsvarar elementet 0 så att för alla x i gruppen, 0 + x = x + 0 = x . Några exempel på additiv identitet inkluderar:

• Den nollvektor enligt vektoradditionen : vektorn med längden 0 och vars komponenter är alla 0. Ofta betecknad som eller . ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$${\ displaystyle {\ vec {0}}}$
• Den noll-funktion eller noll karta definierad av z ( x ) = 0 , i enlighet med punktvis tillsats ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x )
• Den tomma uppsättningen under uppsättning union
• En tom summa eller tom samprodukt
• Ett första objekt i en kategori (en tom koprodukt, och så en identitet under koprodukter )

Absorberande element

Ett absorberande element i en multiplikativ semigrupp eller semiring generaliserar egenskapen 0 ⋅ x = 0 . Exempel inkluderar:

• Den tomma uppsättningen , som är ett absorberande element under kartesisk produkt av uppsättningar, eftersom {} × S = {}
• Den noll-funktion eller noll karta definierad av z ( x ) = 0 enligt punktvis multiplikation ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )

Många absorberande element är också additiva identiteter, inklusive den tomma uppsättningen och nollfunktionen. Ett annat viktigt exempel är det framstående elementet 0 i ett fält eller en ring , som både är additividentiteten och det multiplikativa absorberande elementet, och vars huvudideal är det minsta idealet.

Nollobjekt

Ett nollobjekt i en kategori är både ett initialt och terminalobjekt (och alltså en identitet under både koprodukter och produkter ). Till exempel är den triviala strukturen (som endast innehåller identiteten) ett nollobjekt i kategorier där morfismer måste mappa identiteter till identiteter. Specifika exempel inkluderar:

• Den triviala gruppen , som endast innehåller identiteten (ett nollobjekt i gruppkategorin )
• Den noll-modulen , som endast innehåller identiteten (en nolla objekt i kategorin av moduler över en ring)

Noll morfismer

En nollmorfism i en kategori är ett generaliserat absorberande element under funktionssammansättning : vilken morfism som helst som består av nollmorfism ger en nollmorfism. Specifikt, om 0 _XY  : X → Y är nollmorfismen bland morfismer från X till Y , och f  : A → X och g  : Y → B är godtyckliga morfismer, då är g ∘ 0 _XY = 0 _XB och 0 _XY ∘ f = 0 _AY .

Om en kategori har en nolla objekt 0 , så finns det kanoniska morfismer X → 0 och 0 → Y , och komponera dem ger ett noll morfism 0 _XY  : X → Y . I gruppkategorin är till exempel noll morfismer morfismer som alltid returnerar gruppidentiteter, vilket genererar funktionen z ( x ) = 0.

Minsta element

Ett minst element i en delvis ordnad uppsättning eller gitter kan ibland kallas ett nollelement och skrivas antingen som 0 eller ⊥.

Nollmodul

I matematik , det noll-modulen är den modul som består av endast den additiva identiteten för modulens tillsatsen funktion. I heltal är denna identitet noll , vilket ger namnet nollmodul . Att nollmodulen i själva verket är en modul är enkel att visa; den stängs under tillägg och multiplikation trivialt.

Noll ideal

I matematik , den noll ideala i en ring är den idealiska som består av endast den additiva identitet (eller noll element). Det faktum att detta är ett ideal följer direkt av definitionen. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ {0 \}}$

Noll matris

I matematik , särskilt linjär algebra , är en nollmatris en matris med alla dess poster noll . Det betecknas växelvis med symbolen . Några exempel på nollmatriser är ${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle 0_ {1,1} = {\ start {bmatrix} 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,3} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \}$

Uppsättningen m  ×  n- matriser med inmatningar i en ring K bildar en modul . Noll matrisen i är matrisen med alla inmatningar är lika med , där är tillsatsen identitet i K . ${\ displaystyle K_ {m, n}}$${\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}}}$${\ displaystyle K_ {m, n}}$${\ displaystyle 0_ {K}}$${\ displaystyle 0_ {K}}$

${\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} = {\ börjar {bmatrix} 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K} \\ 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K } \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K} \ end {bmatrix}}}$

Nollmatrisen är additividentiteten i . Det vill säga för alla : ${\ displaystyle K_ {m, n}}$${\ displaystyle A \ i K_ {m, n}}$

${\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} + A = A + 0_ {K_ {m, n}} = A}$

Det finns exakt en noll matris av någon given storlek m  ×  n (med poster från en given ring), så när sammanhanget är klart, ofta hänvisar en till den nollmatrisen. I allmänhet är nollelementet i en ring unikt och betecknas typiskt som 0 utan något prenumeration för att indikera förälderringen. Följaktligen representerar exemplen ovan nollmatriser över vilken ring som helst.

Nollmatrisen representerar också den linjära transformationen som skickar alla vektorer till nollvektorn.

Noll tensor

I matematik är noll tensor en tensor , av vilken ordning som helst, vars komponenter är noll . Nolltensorn av ordning 1 är ibland känd som nollvektorn.

Att ta en tensorprodukt av vilken som helst tensor med vilken som helst noll tensor resulterar i en annan noll tensor. Att lägga till noll tensor motsvarar identitetsoperationen.

Se även

• Null halvgrupp
• Noll divisor
• Nollobjekt
• Noll av en funktion
• Noll - icke-matematiska användningsområden

Referenser