Obegränsad operatör - Unbounded operator

I matematik , mer specifikt funktionell analys och operatörsteori , ger begreppet obegränsad operatör en abstrakt ram för att hantera differentialoperatorer , obegränsade observerbara i kvantmekanik och andra fall.

Termen "obegränsad operatör" kan vara vilseledande, eftersom

• "obegränsad" bör ibland förstås som "inte nödvändigtvis begränsad";
• "operatör" bör förstås som " linjär operatör " (som i fallet med "begränsad operatör");
• operatörens domän är ett linjärt delrum , inte nödvändigtvis hela utrymmet;
• detta linjära delrum är inte nödvändigtvis stängt ; ofta (men inte alltid) antas det vara tätt ;
• i specialfallet av en begränsad operatör, fortfarande, domänen brukar antas vara hela utrymmet.

I motsats till begränsade operatörer bildar obegränsade operatörer på ett visst utrymme inte en algebra , inte ens ett linjärt utrymme, eftersom var och en är definierad på sin egen domän.

Termen "operatör" betyder ofta "begränsad linjär operatör", men i sammanhanget av denna artikel betyder det "obegränsad operatör", med de reservationer som gjorts ovan. Det angivna utrymmet antas vara ett Hilbert -utrymme . Vissa generaliseringar till Banach -utrymmen och mer allmänna topologiska vektorutrymmen är möjliga.

Kort historia

Teorin om obegränsade operatörer utvecklades i slutet av 1920 -talet och början av 1930 -talet som en del av att utveckla en rigorös matematisk ram för kvantmekanik . Teorins utveckling beror på John von Neumann och Marshall Stone . Von Neumann introducerade med hjälp av grafer för att analysera obegränsade operatörer 1936.

Definitioner och grundläggande egenskaper

Låt X , Y vara Banach -mellanslag . En unbounded operatör (eller helt enkelt operatör ) T  : X → Y är en linjär karta T från en Delrum D ( T ) ⊆ X -den domänen av T -to utrymmet Y . I motsats till den vanliga konventionen, T inte kan definieras på hela utrymmet X . Två operatörer är lika om de har en gemensam domän och de sammanfaller på den gemensamma domänen.

En operator T sägs vara stängd om dess graf Γ ( T ) är en sluten uppsättning . (Här är grafen Γ ( T ) ett linjärt delutrymme för den direkta summan X ⊕ Y , definierad som uppsättningen av alla par ( x , Tx ) , där x går över T  -domänen. Explicit betyder detta att för varje sekvens { x _n } av punkter från domänen T så att x _n → x och Tx _n → y , gäller att x tillhör domänen T och Tx = y . Stängheten kan också formuleras i termer av grafnormen : en operator T stängs om och endast om dess domän D ( T ) är ett komplett utrymme med avseende på normen:

${\ displaystyle \ | x \ | _ {T} = {\ sqrt {\ | x \ |^{2}+\ | Tx \ |^{2}}}.}$

En operatör T sägs vara tätt definieras om dess domän är tät i X . Detta inkluderar också operatörer definierade på hela utrymmet X , eftersom hela utrymmet är tätt i sig. Domänens täthet är nödvändig och tillräcklig för existensen av adjoint (om X och Y är Hilbert -mellanslag) och transponeringen; se avsnitten nedan.

Om T  : X → Y är stängd, tätt definierad och kontinuerlig på sin domän, sedan dess domän är alla X .

En tätt definierad operatör T på ett Hilbert -utrymme H kallas begränsad underifrån om T + a är en positiv operator för något reellt tal a . Det vill säga, ⟨ Tx | x ⟩ ≥ - en || x || ² för alla x i domänen av T (eller alternativt ⟨ Tx | x ⟩ ≥ en || x || ² eftersom en är godtycklig). Om både T och - T begränsas underifrån är T begränsat.

Exempel

Låt C ([0, 1]) beteckna utrymmet för kontinuerliga funktioner på enhetsintervallet, och låt C ¹ ([0, 1]) beteckna utrymmet för kontinuerligt differentierbara funktioner. Vi utrustar med supremum -normen , vilket gör det till ett Banach -utrymme. Definiera den klassiska differentieringsoperatören${\ displaystyle C ([0,1])}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ infty}}$ d/dx : C ¹ ([0, 1]) → C ([0, 1]) med den vanliga formeln:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {d} {dx}} f \ right) (x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x+h) -f (x)} { h}}, \ qquad \ forall x \ in [0,1].}$

Varje differentierbar funktion är kontinuerlig, så C ¹ ([0, 1]) ⊆ C ([0, 1]) . Det hävdar vid/dx : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) är en väldefinierad obegränsad operatör med domän C ¹ ([0, 1]) . För detta måste vi visa att det är linjärt och sedan till exempel visa några sådana som och . ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}}}$${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n} \ delmängd C^{1} ([0,1])}$${\ displaystyle \ | f_ {n} \ | _ {\ infty} = 1}$${\ displaystyle \ sup _ {n} \ | {\ frac {d} {dx}} f_ {n} \ | _ {\ infty} =+\ infty}$

Detta är en linjär operator, eftersom en linjär kombination a f  + bg av två kontinuerligt differentierbara funktioner f  , g också är kontinuerligt differentierbar, och  

${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {d} {dx}} \ right) (af+bg) = a \ left ({\ tfrac {d} {dx}} f \ right)+b \ left ({\ tfrac {d} {dx}} g \ höger).}$

Operatören är inte begränsad. Till exempel,

${\ displaystyle {\ begin {cases} f_ {n}: [0,1] \ to [-1,1] \\ f_ {n} (x) = \ sin (2 \ pi nx) \ end {cases} }}$

uppfylla

${\ displaystyle \ left \ | f_ {n} \ right \ | _ {\ infty} = 1,}$

men

${\ displaystyle \ left \ | \ left ({\ tfrac {d} {dx}} f_ {n} \ right) \ right \ | _ {\ infty} = 2 \ pi n \ to \ infty}$

som . ${\ displaystyle n \ to \ infty}$

Operatören är tätt definierad och stängd.

Samma operatör kan behandlas som en operatör Z → Z för många val av Banach -utrymme Z och inte begränsas mellan någon av dem. På samma gång, kan den begränsas som en operator X → Y för andra par av Banachrum X , Y , och också som operatör Z → Z för vissa topologiska vektorrum Z . Som ett exempel låt I ⊂ R vara ett öppet intervall och överväga

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}}: \ left (C^{1} (I), \ | \ cdot \ | _ {C^{1}} \ right) \ to \ left (C ( I), \ | \ cdot \ | _ {\ infty} \ höger),}$

var:

${\ displaystyle \ | f \ | _ {C^{1}} = \ | f \ | _ {\ infty}+\ | f '\ | _ {\ infty}.}$

Intill

Adjoint för en obegränsad operatör kan definieras på två likvärdiga sätt. Låt T  : D ( T ) ⊆ H ₁ → H ₂ vara en obegränsad operatör mellan Hilbert -utrymmen.

För det första kan det definieras på ett sätt som är analogt med hur man definierar gränsen för en begränsad operatör. Nämnda T  ^∗  : D ( T  ^* ) ⊆ H ₂ → H ₁ i T definieras nämligen som en operatör med egenskapen:

${\ displaystyle \ langle Tx \ mid y \ rangle _ {2} = \ left \ langle x \ mid T^{*} y \ right \ rangle _ {1}, \ qquad x \ i D (T).}$

Mer exakt definieras T  ^∗ på följande sätt. Om y ∈ H ₂ är sådan att är en kontinuerlig linjär funktionell på domänen av T , då y förklaras vara ett element i D ( T ^* ) , och efter förlängning av den linjära funktionell för hela utrymmet via Hahn-Banachs sats är det möjligt att hitta ett z i H ₁ på sådant sätt att ${\ displaystyle x \ mapsto \ langle Tx \ mid y \ rangle}$ 

${\ displaystyle \ langle Tx \ mid y \ rangle _ {2} = \ langle x \ mid z \ rangle _ {1}, \ qquad x \ i D (T),}$

eftersom dubbla av ett Hilbert -utrymme kan identifieras med uppsättningen linjära funktionaliteter som ges av den inre produkten. För varje y , z är unikt bestäms om och endast om den så utvidgas linjära funktionella ades tätt definierade; dvs om T är tätt definierat. Slutligen, genom att låta T  ^∗ y = z slutföra konstruktionen av T  ^∗ . Observera att T  ^∗ existerar om och endast om T är tätt definierat.

Per definition, domänen för T  ^* består av element y i H ₂ sådan att är kontinuerlig på domänen av T . Följaktligen kan T ^∗ -domänen vara vad som helst; det kan vara trivialt (dvs innehåller bara noll). Det kan hända att domänen för T ^∗ är ett slutet hyperplan och T ^∗ försvinner överallt på domänen. Således innebär begränsning av T ^∗ på dess domän inte T -begränsning . Å andra sidan, om T ^∗ definieras på hela utrymmet är T begränsat till dess domän och kan därför förlängas med kontinuitet till en begränsad operatör på hela utrymmet. Om domänen för T ^∗ är tät, har den sin angränsande T ^∗∗ . En sluten tätt definierad operatör T begränsas om och endast om T ^∗ är begränsad. ${\ displaystyle x \ mapsto \ langle Tx \ mid y \ rangle}$       

Den andra motsvarande definitionen av adjoint kan erhållas genom att lägga märke till ett allmänt faktum. Definiera en linjär operator J enligt följande:

${\ displaystyle {\ begin {cases} J: H_ {1} \ oplus H_ {2} \ to H_ {2} \ oplus H_ {1} \\ J (x \ oplus y) =-y \ oplus x \ end {case}}}$

Eftersom J är en isometrisk förvrängning är den enhetlig. Därför: J (Γ ( T )) ^⊥ är grafen för någon operator S om och endast om T är tätt definierat. En enkel beräkning visar att detta "vissa" S uppfyller:

${\ displaystyle \ langle Tx \ mid y \ rangle _ {2} = \ langle x \ mid Sy \ rangle _ {1},}$

för varje x i området för T . Sålunda, S är den adjoint av T .

Det följer omedelbart av ovanstående definition att den angränsande T  ^∗ är stängd. I synnerhet är en självgränsande operatör (dvs T = T  ^∗ ) stängd. En operatör T är stängd och tätt definieras om och endast om T  ^** = T .

Vissa välkända fastigheter för begränsade operatörer generaliserar till slutna tätt definierade operatörer. Kärnan hos en stängd operatör är stängd. Dessutom kärnan av en stängd tätt definierad operatör T  : H ₁ → H ₂ sammanfaller med den ortogonala komplementet av intervallet av adjoint. Det är,

${\ displaystyle \ operatorname {ker} (T) = \ operatorname {ran} (T^{*})^{\ bot}.}$

von Neumanns sats säger att T  ^∗ T och TT  ^∗ är självhäftande, och att I + T  ^∗ T och I + TT  ^∗ båda har begränsade inverser. Om T  ^∗ har en trivial kärna, har T ett tätt område (enligt ovanstående identitet.) Dessutom:

T är subjektivt om och bara om det finns ett K > 0 så att || f  || ₂ ≤ K  || T  ^∗ f  || ₁ för alla f i D ( T ^∗ ) . (Detta är i huvudsak en variant av det så kallade slutna teoremet .) I synnerhet har T stängt intervall om och endast om T ^∗ har stängt intervall.    

I motsats till det begränsade fallet är det inte nödvändigt att ( TS ) ^∗ = S  ^∗ T  ^∗ , eftersom det till exempel till och med är möjligt att ( TS ) ^∗ inte existerar. Detta är dock fallet om till exempel T är begränsat.

En tätt definierad, stängd operatör T kallas normal om den uppfyller följande ekvivalenta villkor:

• T  ^∗ T = TT  ^∗ ;
• domänen för T är lika med domänen för T  ^∗ , och || Tx || = || T  ^∗ x || för varje x i denna domän;
• det existerar själv Adjungerade operatörer A , B så att T = A + iB , T ^* = A - iB , och || Tx || ² = || Yxa || ² + || Bx || ² för varje x i området för T .

Varje självgränsande operatör är normal.

Transponera

Låt T  : B ₁ → B ₂ vara en operatör mellan Banach -utrymmen. Då är transponeringen (eller dubbel ) av T en operatör som uppfyller: ${\ displaystyle T ': {B_ {2}}^{*} \ till {B_ {1}}^{*}}$

${\ displaystyle \ langle Tx, y '\ rangle = \ langle x, T'y' \ rangle}$

för alla x i B ₁ och y i B ₂ ^* . Här har vi använt beteckningen: . ${\ displaystyle \ langle x, x '\ rangle = x' (x)}$

Den nödvändiga och tillräckliga förutsättningen för att införlivandet av T ska existera är att T är tätt definierat (av väsentligen samma anledning som för anslutningar, som diskuterats ovan.)

För alla Hilbert-utrymmen H finns den anti-linjära isomorfismen:

${\ displaystyle J: H^{*} \ till H}$

ges av Jf = y var . Genom denna isomorfism relaterar transponeringen T ^' till den angränsande T ^∗ på följande sätt: ${\ displaystyle f (x) = \ langle x \ mid y \ rangle _ {H}, (x \ in H)}$

${\ displaystyle T^{*} = J_ {1} T'J_ {2}^{-1}}$,

var . (För det ändliga dimensionella fallet motsvarar detta det faktum att adjunkten i en matris är dess konjugerade transponering.) Observera att detta ger definitionen av adjoint när det gäller en transponering. ${\ displaystyle J_ {j}: H_ {j}^{*} \ till H_ {j}}$

Stängda linjära operatörer

Stängda linjära operatorer är en klass av linjära operatorer på Banach -utrymmen . De är mer generella än begränsade operatörer , och därför inte nödvändigtvis kontinuerliga , men de behåller fortfarande tillräckligt bra egenskaper för att man kan definiera spektrumet och (med vissa antaganden) funktionskalkyl för sådana operatörer. Många viktiga linjära operatörer som inte kan begränsas visar sig vara stängda, till exempel derivatan och en stor klass av differentialoperatorer .

Låt X , Y vara två Banach -mellanslag . En linjär operator A  : D ( A ) ⊆ X → Y är stängd om för varje sekvens { x _n } i D ( A ) konvergerande till x i X sådan att Ax _n → y ∈ Y som n → ∞ en har x ∈ D ( A ) och Ax = y . Ekvivalent, A är stängd om dess kurva är stängd i det direkt summa X ⊕ Y .

Med tanke på en linjär operator A , inte nödvändigtvis stängd, om stängningen av dess graf i X ⊕ Y råkar vara grafen för någon operatör, kallas den operatören stängningen av A , och vi säger att A är stängbar . Beteckna stängningen av A från A . Av detta följer att A är begränsningen av A till D ( A ) .

En kärna (eller väsentlig domänen ) hos en stängningsbar operatör är en delmängd C av D ( A ) så att stängningen av begränsningen av A till C är A .

Exempel

Överväga derivatet operatör A =d/dxdär X = Y = C ([ a , b ]) är Banach -utrymmet för alla kontinuerliga funktioner på ett intervall [ a , b ] . Om man tar sin domän D ( A ) för att vara C ¹ ([ a , b ]) , då A är en sluten operatör, som inte är begränsad. Å andra sidan, om D ( A ) = C ^∞ ([ a , b ]) , kommer A inte längre att stängas, men det kommer att vara stängbart, med stängningen som dess förlängning definierad på C ¹ ([ a , b ] ) .

Symmetriska operatörer och självgränsande operatörer

En operator T på ett Hilbert -utrymme är symmetrisk om och bara om för varje x och y i T -domänen vi har . Ett tätt definierade operatören T är symmetrisk om och endast om den överensstämmer med dess adjoint T ^* begränsas till området för T , med andra ord när T ^* är en förlängning av T . ${\ displaystyle \ langle Tx \ mid y \ rangle = \ langle x \ mid Ty \ rangle}$

I allmänhet, om T är tätt definierade och symmetrisk, domänen för den adjoint T ^* behovet av att inte vara lika med domänen av T . Om T är symmetrisk och T- domänen och domänen för det angränsande sammanfaller, säger vi att T är själv-adjoint . Notera att, när T är själv adjoint, förekomsten av adjoint antyder att T är tätt definieras och eftersom T ^* nödvändigtvis stängd, T är stängd.

En tätt definierad operator T är symmetrisk , om delutrymmet Γ ( T ) (definierat i ett tidigare avsnitt) är ortogonalt med sin bild J (Γ ( T )) under J (där J ( x , y ): = ( y ,- x )).

Ekvivalent, en operatör T är självadjungerade om det är tätt definierad, stängd, symmetriska, och uppfyller det fjärde villkoret: båda operatörerna T - I , T + i är surjektiv, dvs kartlägga domänen av T på hela utrymmet H . Med andra ord: för varje x i H finns y och z i domänen T så att Ty - iy = x och Tz + iz = x .

En operatör T är självgränsande , om de två delutrymmena Γ ( T ) , J (Γ ( T )) är ortogonala och deras summa är hela utrymmet${\ displaystyle H \ oplus H.}$

Detta tillvägagångssätt omfattar inte icke-tätt definierade slutna operatörer. Icke-tätt definierade symmetriska operatörer kan definieras direkt eller via grafer, men inte via angränsande operatörer.

En symmetrisk operatör studeras ofta via sin Cayley -transform .

En operatör T på ett komplext Hilbert -utrymme är symmetrisk om och endast om dess kvadratiska form är verklig, det vill säga att talet är verkligt för alla x i T -domänen . ${\ displaystyle \ langle Tx \ mid x \ rangle}$

En tätt definierad sluten symmetrisk operatör T är självadjoint om och bara om T ^∗ är symmetrisk. Det kan hända att det inte är det.

En tätt definierad operator T kallas positiv (eller icke -negativ ) om dess kvadratiska form är icke -negativ, det vill säga för alla x i T -domänen . Sådan operatör är nödvändigtvis symmetrisk. ${\ displaystyle \ langle Tx \ mid x \ rangle \ geq 0}$

Operatören T ^* T är själv adjoint och positiv för varje tätt definierade stängda T .

Den spektralsatsen gäller själv Adjungerade operatörer och dessutom, till normala operatörer, men inte till tätt definierade, slutna operatörer i allmänhet, eftersom i detta fall spektrumet kan vara tom.

En symmetrisk operatör definierad överallt är stängd, därför begränsad, vilket är Hellinger – Toeplitz -satsen .

Tilläggsrelaterat

Per definition är en operatör T en förlängning av en operatör S om Γ ( S ) ⊆ Γ ( T ) . En ekvivalent direkt definition: för varje x i domänen av S , x hör till domänen av T och Sx = Tx .

Observera att det finns en överallt definierad förlängning för varje operatör, vilket är ett rent algebraiskt faktum som förklaras i Diskontinuerlig linjär karta#Allmän existenssats och baserat på valet axiom . Om den angivna operatören inte är begränsad är tillägget en diskontinuerlig linjär karta . Det är till liten nytta eftersom det inte kan bevara viktiga egenskaper hos den givna operatören (se nedan) och är vanligtvis mycket unikt.

En operatör T kallas stängbar om den uppfyller följande ekvivalenta villkor:

• T har en sluten förlängning;
• stängningen av grafen för T är grafen för någon operatör;
• för varje sekvens ( x _n ) av punkter från domänen T så att x _n → 0 och även Tx _n → y gäller att y = 0 .

Alla operatörer är inte stängbara.

En stängbar operatör T har minst sluten förlängning kallas stängningen av T . Stängningen av grafen för T är lika med grafen för${\ displaystyle {\ overline {T}}}$${\ displaystyle {\ overline {T}}.}$

Andra, icke-minimala stängda tillägg kan finnas.

En tätt definierad operatör T är stängbar om och endast om T ^{^} är tätt definierat. I detta fall och${\ displaystyle {\ overline {T}} = T^{**}}$${\ displaystyle ({\ overline {T}})^{*} = T^{*}.}$

Om S är tätt definierat och T är en förlängning av S är S ^∗ en förlängning av T ^∗ .

Varje symmetrisk operatör är stängbar.

En symmetrisk operatör kallas maximal symmetrisk om den inte har några symmetriska förlängningar, förutom sig själv.

Varje självgränsande operatör är maximal symmetrisk. Det omvända är fel.

En operatör kallas i huvudsak själv-adjoint om dess stängning är själv-adjoint.

En operatör är i huvudsak själv-adjoint om och bara om den har en och endast en själv-adjoint förlängning.

En symmetrisk operatör kan ha mer än en självgränsande förlängning, och till och med en kontinuum av dem.

Ett tätt definierade, symmetrisk operatören T är i huvudsak själv adjoint om och endast om båda operatörerna T - I , T + jag har tät intervall.

Låt T vara en tätt definierad operator. Betecknar relationen " T är en förlängning av S " med S ⊂ T (en konventionell förkortning för Γ ( S ) ⊆ Γ ( T )) har man följande.

• Om T är symmetrisk då T ⊂ T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Om T är stängt och symmetriskt då T = T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Om T är självgränsande är T = T ^∗∗ = T ^∗ .
• Om T är i huvudsak själv-adjoint då T ⊂ T ^∗∗ = T ^∗ .

Betydelsen av självgränsande operatörer

Klassen av självgränsande operatörer är särskilt viktig i matematisk fysik. Varje självgränsande operatör är tätt definierad, sluten och symmetrisk. Det omvända gäller för begränsade operatörer men misslyckas i allmänhet. Självförband är väsentligt mer begränsande än dessa tre egenskaper. Den berömda spektralsatsen gäller för självgränsande operatörer. I kombination med Stones sats om enhetsgrupper med en parameter visar det att själv-adjoint-operatörer just är de oändliga små generatorerna för starkt kontinuerliga enhetsgrupper med en parameter, se Self-adjoint operator#Self-adjoint extensions in quantum mechanics . Sådana enhetliga grupper är särskilt viktiga för att beskriva tidsutveckling inom klassisk och kvantmekanik.

Se även

• Hilbert space#Obegränsade operatörer
• Sten -von Neumann -sats
• Gränsad operatör

Anteckningar

Referenser

• Berezansky, YM; Sheftel, ZG; Us, GF (1996), Functional analysis , II , Birkhäuser (se kapitel 12 "Allmän teori om obegränsade operatörer i Hilbert -utrymmen").
• Brezis, Haïm (1983), Analyze fonctionnelle - Théorie et applications (på franska), Paris: Mason
• "Obegränsad operatör" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Hall, BC (2013), "Chapter 9. Unbounded Self-adjoint Operators", Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Kato, Tosio (1995), "Chapter 5. Operators in Hilbert Space", Störningsteori för linjära operatorer , Classics in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-58661-X
• Pedersen, Gert K. (1989), Analysis now , Springer (se kapitel 5 "Obegränsade operatörer").
• Reed, Michael ; Simon, Barry (1980), Methods of Modern Mathematical Physics , 1: Functional Analysis (reviderad och förstorad red.), Academic Press (se kapitel 8 "Obegränsade operatörer").
• Teschl, Gerald (2009). Matematiska metoder i kvantmekanik; Med ansökningar till Schrödinger -operatörer . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-4660-5.
• Yoshida, Kôsaku (1980), Functional Analysis (sjätte upplagan), Springer

Denna artikel innehåller material från Closed operator på PlanetMath , som är licensierat enligt Creative Commons Erkännande/Dela-Lika-licens .