Polynom- och rationell funktionsmodellering - Polynomial and rational function modeling

I statistisk modellering (särskilt processmodellering ) används ibland polynomfunktioner och rationella funktioner som en empirisk teknik för kurvanpassning .

Polynomfunktionsmodeller

En polynomfunktion är en som har formen

${\ displaystyle y = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ { 0}}$

där n är ett icke-negativt heltal som definierar graden av polynom. Ett polynom med en grad av 0 är helt enkelt en konstant funktion ; med graden 1 är en linje ; med en grad av 2 är en kvadratisk ; med en grad av 3 är en kubik , och så vidare.

Historiskt sett är polynommodeller bland de mest använda empiriska modellerna för kurvanpassning .

Fördelar

Dessa modeller är populära av följande skäl.

1. Polynommodeller har en enkel form.
2. Polynommodeller har välkända och förstådda egenskaper.
3. Polynommodeller har måttlig flexibilitet i former.
4. Polynommodeller är en sluten familj. Ändringar av plats och skala i rådata resulterar i att en polynommodell mappas till en polynommodell. Det vill säga polynommodeller är inte beroende av det underliggande måttet .
5. Polynommodeller är enkla att använda.

Nackdelar

Polynommodeller har dock också följande begränsningar.

1. Polynommodeller har dåliga interpolatoriska egenskaper. Höggradiga polynomer är beryktade för svängningar mellan exakt passande värden .
2. Polynommodeller har dåliga extrapolatoriska egenskaper. Polynom kan ge bra passningar inom dataområdet, men de kommer ofta att försämras snabbt utanför dataområdet.
3. Polynommodeller har dåliga asymptotiska egenskaper. Av sin natur har polynomier ett ändligt svar för ändliga x- värden och har ett oändligt svar om och endast om x- värdet är oändligt. Således kan polynom inte modellera asymptotiska fenomen särskilt bra.
4. Även om ingen procedur är immun mot fördomar - varians avvägning, polynom modeller uppvisar en särskilt dålig avvägning mellan form och omfattning. För att modellera data med en komplicerad struktur måste graden av modellen vara hög, vilket indikerar att det tillhörande antalet parametrar som ska uppskattas också kommer att vara högt. Detta kan resultera i mycket instabila modeller.

När modellering via polynomfunktioner är otillräcklig på grund av någon av begränsningarna ovan kan användningen av rationella funktioner för modellering ge en bättre passform.

Rationella funktionsmodeller

En rationell funktion är helt enkelt förhållandet mellan två polynomfunktioner.

${\ displaystyle y = {\ frac {a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0}} {b_ {m} x ^ {m} + b_ {m-1} x ^ {m-1} + \ ldots + b_ {2} x ^ {2} + b_ {1} x + b_ {0}}}}$

med n betecknar ett icke-negativt heltal som definierar graden av täljaren och m betecknar ett icke-negativt heltal som definierar graden av nämnaren. För montering av rationella funktionsmodeller är den vanliga termen i nämnaren vanligtvis inställd på 1. Rationella funktioner identifieras typiskt av graderna av täljaren och nämnaren. Till exempel identifieras en kvadratisk för täljaren och en kubik för nämnaren som en kvadratisk / kubisk rationell funktion. Den rationella funktionsmodellen är en generalisering av polynommodellen: rationella funktionsmodeller innehåller polynommodeller som en delmängd (dvs. när nämnaren är en konstant).

Fördelar

Rationella funktionsmodeller har följande fördelar:

1. Rationella funktionsmodeller har en måttligt enkel form.
2. Rationella funktionsmodeller är en sluten familj. Som med polynommodeller betyder detta att rationella funktionsmodeller inte är beroende av det underliggande måttet.
3. Rationella funktionsmodeller kan ta ett extremt brett utbud av former, som rymmer ett mycket bredare utbud av former än polynomfamiljen.
4. Rationella funktionsmodeller har bättre interpolatoriska egenskaper än polynommodeller. Rationella funktioner är vanligtvis mjukare och mindre oscillerande än polynommodeller.
5. Rationella funktioner har utmärkta extrapolatoriska krafter. Rationella funktioner kan vanligtvis skräddarsys för att modellera funktionen inte bara inom datadomänen utan också för att vara överens med teoretiskt / asymptotiskt beteende utanför intresseområdet.
6. Rationella funktionsmodeller har utmärkta asymptotiska egenskaper. Rationella funktioner kan vara antingen ändliga eller oändliga för ändliga värden, eller ändliga eller oändliga för oändliga x- värden. Således kan rationella funktioner enkelt införlivas i en rationell funktionsmodell.
7. Rationella funktionsmodeller kan ofta användas för att modellera komplicerad struktur med en ganska låg grad i både täljaren och nämnaren. Detta innebär i sin tur att färre koefficienter kommer att krävas jämfört med polynommodellen.
8. Rationella funktionsmodeller är måttligt lätta att hantera beräkningsmässigt. Även om de är icke-linjära modeller är rationella funktionsmodeller särskilt enkla icke-linjära modeller att passa.
9. En vanlig svårighet vid montering av icke-linjära modeller är att hitta adekvata startvärden. En stor fördel med rationella funktionsmodeller är förmågan att beräkna startvärden med en linjär minsta kvadratpassning . För att göra detta väljs p- punkter från datamängden, med p som anger antalet parametrar i den rationella modellen. Till exempel med tanke på den linjära / kvadratiska modellen

${\ displaystyle y = {\ frac {A_ {0} + A_ {1} x} {1 + B_ {1} x + B_ {2} x ^ {2}}},}$

man skulle behöva välja fyra representativa punkter och utföra en linjär passning på modellen

${\ displaystyle y = A_ {0} + A_ {1} x-B_ {1} xy-B_ {2} x ^ {2} y,}$

som härrör från föregående ekvation genom att rensa nämnaren. Här innehåller x och y delmängden av punkter, inte hela datamängden. De uppskattade koefficienterna från denna linjära passning används som startvärden för att anpassa den icke-linjära modellen till hela datamängden.

Denna typ av passning, med svarsvariabeln som visas på båda sidor av funktionen, bör endast användas för att erhålla startvärden för den icke-linjära passningen. De statistiska egenskaperna för passningar som denna är inte väl förstådda.

Delmängden av punkter bör väljas över dataintervallet. Det är inte kritiskt vilka punkter som väljs, även om uppenbara avvikelser bör undvikas.

Nackdelar

Rationella funktionsmodeller har följande nackdelar:

1. Egenskaperna hos familjen för rationell funktion är inte lika kända för ingenjörer och forskare som för polynomfamiljen. Litteraturen om den rationella funktionsfamiljen är också mer begränsad. Eftersom familjens egenskaper ofta inte är väl förstådda kan det vara svårt att svara på följande modelleringsfråga: Med tanke på att data har en viss form, vilka värden ska väljas för graden av täljaren och graden på nämnaren?
2. Obegränsad rationell funktionsanpassning kan ibland resultera i oönskade vertikala asymptoter på grund av rötter i nämnarens polynom. Området för x- värden som påverkas av funktionen "sprängning" kan vara ganska smalt, men sådana asymptoter är, när de förekommer, en olägenhet för lokal interpolering i närheten av asymptotpunkten. Dessa asymptoter är lätta att upptäcka genom en enkel plottning av den monterade funktionen över dataomfånget. Dessa störande asymptoter förekommer ibland och oförutsägbart, men utövare hävdar att vinsten i flexibilitet av former är väl värt chansen att de kan uppstå, och att sådana asymptoter inte borde avskräcka från att välja rationella funktionsmodeller för empirisk modellering.

Se även

• Metod för responsytan
• Pade approximant

Bibliografi

• Atkinson, AC och Donev, AN och Tobias, RD (2007). Optimala experimentella mönster med SAS . Oxford University Press. s. 511 + xvi. ISBN 978-0-19-929660-6.CS1 maint: flera namn: författarlista ( länk )
• Box, GEP och Draper, Norman. 2007. Response Surfaces, Mixtures, and Ridge Analyzes , Second Edition [av Empirical Model-Building and Response Surfaces , 1987], Wiley.
• Kiefer, Jack Carl (1985). LD Brown ; et al. (red.). Collected Papers III Design of Experiments . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96004-3.
• RH Hardin och NJA Sloane , "A New Approach to the Construction of Optimal Designs", Journal of Statistical Planning and Inference , vol. 37, 1993, sid 339-369
• RH Hardin och NJA Sloane , "Datorgenererade minimala (och större) svarytodesigner: (I) The Sphere"
• RH Hardin och NJA Sloane , "Datorgenererade minimala (och större) svarsytodesigner: (II) kuben"
• Ghosh, S .; Rao, CR , red. (1996). Design och analys av experiment . Statistikhandbok. 13 . Nord-Holland. ISBN 978-0-444-82061-7.
  • Draper, Norman & Lin, Dennis KJ "Response Surface Designs". s. 343–375. Saknas eller tom |title=( hjälp )
  • Gaffke, N. & Heiligers, B. "Approximate Designs for Polynomial Regression : Invariance , Admissibility , and Optimality ". s. 1149–1199. Saknas eller tom |title=( hjälp )
• Melas, Viatcheslav B. (2006). Funktionell strategi för optimal experimentell design . Föreläsningsanteckningar i statistik. 184 . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98741-5. (Modellering med rationella funktioner)

Historisk

• Gergonne, JD (1815). "Application de la méthode des moindre quarrés a l'interpolation des suites". Annales de mathématiques pures et appliquées . 6 : 242–252.
• Gergonne, JD (1974) [1815]. "Tillämpningen av metoden med minsta kvadrater på interpolering av sekvenser" . Historia Mathematica (översatt av Ralph St. John och SM Stigler från den franska utgåvan 1815). 1 (4): 439–447. doi : 10.1016 / 0315-0860 (74) 90034-2 .
• Stigler, Stephen M. (1974). "Gergonne's 1815 paper on the design and analysis of polynomial regression experiment" . Historia Mathematica . 1 (4): 431–439. doi : 10.1016 / 0315-0860 (74) 90033-0 .
• Smith, Kirstine (1918). "Om standardavvikelserna för justerade och interpolerade värden för en observerad polynomfunktion och dess konstanter och vägledningen ger de ett korrekt val av fördelningen av observationerna". Biometrika . 12 (1/2): 1–85. doi : 10.1093 / biomet / 12.1-2.1 . JSTOR  2331929 .

externa länkar

• Rationella funktionsmodeller

 Den här artikeln innehåller  material från det offentliga området från webbplatsen National Institute of Standards and Technology https://www.nist.gov .