Snabbhet - Rapidity

I relativitet används vanlighet snabbt som mått för relativistisk hastighet. Matematiskt kan snabbhet definieras som den hyperboliska vinkel som skiljer två referensramar i relativ rörelse, varvid varje ram associerad med distans och tidskoordinater.

För endimensionell rörelse är hastigheter additiva medan hastigheter måste kombineras med Einsteins formel för hastighetsaddition . För låga hastigheter är snabbhet och hastighet proportionella, men för högre hastigheter tar snabbhet ett större värde, med ljusets snabbhet oändlig.

Användning av den inversa hyperboliska funktionen artanh , snabbheten w motsvarar hastigheten v är w = artanh ( v / c ) där c är ljushastigheten. För låga hastigheter är w ungefär v / c . Eftersom i relativitet är varje hastighet v begränsad till intervallet - c < v < c förhållandet v / c uppfyller −1 < v / c <1 . Den inversa hyperboliska tangenten har enhetsintervallet (-1, 1) för sin domän och hela den verkliga linjen för dess intervall , och så kartlägger intervallet - c < v < c till −∞ < w <∞ .

Historia

År 1908 förklarade Hermann Minkowski hur Lorentz -transformationen helt enkelt kunde ses som en hyperbolisk rotation av rymdtidskoordinaterna , dvs en rotation genom en tänkt vinkel. Denna vinkel representerar därför (i en rumslig dimension) ett enkelt additivt mått på hastigheten mellan ramarna. Hastighetsparameteren som ersätter hastighet introducerades 1910 av Vladimir Varićak och ET Whittaker . Parametern fick namnet rapidity av Alfred Robb (1911) och denna term antogs av många efterföljande författare, såsom Silberstein (1914), Morley (1936) och Rindler (2001).

Område för en hyperbolisk sektor

Den kvadratur av hyperbel xy = 1 genom Gregoire de Saint-Vincent etablerade den naturliga logaritmen som arean hos en hyperbolisk sektor, eller en ekvivalent område mot en asymptot. I rymdtidsteorin delar ljusets händelser upp universum i Förflutet, Framtid eller Annat på grundval av ett Här och Nu. På valfri linje i rymden kan en ljusstråle riktas åt vänster eller höger. Ta x-axeln som händelserna som passeras av den högra strålen och y-axeln som händelserna i den vänstra strålen. Sedan har en vilande ram tid längs diagonalen x = y . Den rektangulära hyperbolen xy = 1 kan användas för att mäta hastigheter (i den första kvadranten). Nollhastighet motsvarar (1,1). Varje punkt på hyperbolen har koordinater där w är snabbheten och är lika med området för den hyperboliska sektorn från (1,1) till dessa koordinater. Många författare hänvisar istället till enhetshyperbolan med hjälp av hastighet för parameter, som i standardrummet för rymdtid . Där mäts axlarna med klocka och mätare, mer välbekanta riktmärken och grunden för rymdtidsteori. Så avgränsningen av snabbhet som hyperbolisk parameter för strålrum är en hänvisning till det sjuttonde århundradets ursprung för våra värdefulla transcendentala funktioner , och ett komplement till rumstidsdiagram. ${\ displaystyle (e^{w}, \ e^{-w})}$ ${\ displaystyle x^{2} -y^{2},}$

I en rumslig dimension

Snabbheten w uppstår i den linjära representationen av en Lorentz-boost som en vektormatrisprodukt

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} ct '\\ x' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cosh w &-\ sinh w \\-\ sinh w & \ cosh w \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} ct \\ x \ end {pmatrix}} = \ mathbf {\ Lambda} (w) {\ begin {pmatrix} ct \\ x \ end {pmatrix}}}$.

Matrisen Λ ( w ) är av typen med p och q som uppfyller p ² - q ² = 1 , så att ( p , q ) ligger på enhetens hyperbol . Sådana matriser bildar den obestämda ortogonala gruppen O (1,1) med endimensionell Lie-algebra som spänner över den antidiagonala enhetsmatrisen, vilket visar att snabbheten är koordinaten på denna Lie-algebra. Denna åtgärd kan avbildas i ett rumstidsdiagram . I matrisexponentiell notation kan Λ ( w ) uttryckas som , där Z är negativet för den antidiagonala enhetsmatrisen ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} p & q \\ q & p \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Lambda} (w) = e^{\ mathbf {Z} w}}$

${\ displaystyle \ mathbf {Z} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\-1 & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Det är inte svårt att bevisa det

${\ displaystyle \ mathbf {\ Lambda} (w_ {1}+w_ {2}) = \ mathbf {\ Lambda} (w_ {1}) \ mathbf {\ Lambda} (w_ {2})}}$.

Detta fastställer den användbara additiva egenskapen för snabbhet: om A , B och C är referensramar , då

${\ displaystyle w _ {\ text {AC}} = w _ {\ text {AB}}+w _ {\ text {BC}}}$

där w _PQ betecknar snabbheten i en referensram Q i förhållande till en referensram P . Enkelheten med denna formel står i kontrast med komplexiteten hos motsvarande hastighetsadditionsformel .

Som vi kan se från Lorentz -transformationen ovan identifierar Lorentz -faktorn sig med cosh w

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} \ equiv \ cosh w}$,

så hastigheten w används implicit som en hyperbolisk vinkel i Lorentz -transformationsuttrycken med hjälp av γ och β . Vi relaterar hastigheter till formeln för hastighetsaddition

${\ displaystyle u = {\ frac {u_ {1}+u_ {2}} {1+{\ frac {u_ {1} u_ {2}} {c^{2}}}}}}}$

genom att känna igen

${\ displaystyle \ beta _ {i} = {\ frac {u_ {i}} {c}} = \ tanh {w_ {i}}}$

och så

${\ displaystyle {\ begin {align} \ tanh w & = {\ frac {\ tanh w_ {1}+\ tanh w_ {2}} {1+ \ tanh w_ {1} \ tanh w_ {2}}} \\ & = \ tanh (w_ {1}+w_ {2}) \ end {align}}}$

Korrekt acceleration (accelerationen "känns" av objektet som accelereras) är hastigheten för snabbhetens förändring med avseende på rätt tid (tid mätt av objektet som själv genomgår acceleration). Därför kan snabbheten hos ett objekt i en given ram helt enkelt ses som hastigheten på det objektet som skulle beräknas icke-relativistiskt av ett tröghetsstyrsystem ombord på själva föremålet om det accelererade från vila i den ramen till sin givna hastighet .

Produkten av β och γ förekommer ofta och kommer från ovanstående argument

${\ displaystyle \ beta \ gamma = \ sinh w \ ,.}$

Exponentiella och logaritmiska relationer

Från ovanstående uttryck har vi

${\ displaystyle e^{w} = \ gamma (1+ \ beta) = \ gamma \ left (1+{\ frac {v} {c}} \ right) = {\ sqrt {\ frac {1+{\ tfrac {v} {c}}} {1-{\ tfrac {v} {c}}}}}}$

och sålunda

${\ displaystyle e^{-w} = \ gamma (1- \ beta) = \ gamma \ left (1-{\ frac {v} {c}} \ right) = {\ sqrt {\ frac {1- { \ tfrac {v} {c}}} {1+{\ tfrac {v} {c}}}}}}$

eller uttryckligen

${\ displaystyle w = \ ln \ left [\ gamma (1+ \ beta) \ right] =-\ ln \ left [\ gamma (1- \ beta) \ right] \ ,.}$

Den Doppler-skiftfaktor associerad med snabbhet w är . ${\ displaystyle k = e^{w}}$

I mer än en rumslig dimension

Den relativistiska hastigheten är associerad med ett föremåls snabbhet via ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$${\ displaystyle \ mathbf {w}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3,1) \ supset \ mathrm {span} \ {K_ {1}, K_ {2}, K_ {3} \} \ approx \ mathbb {R} ^{3 } \ ni \ mathbf {w} = {\ boldsymbol {\ hat {\ beta}}} \ tanh ^{-1} \ beta, \ quad {\ boldsymbol {\ beta}} \ in \ mathbb {B} ^{ 3},}$

där vektorn betraktas som kartesiska koordinater på det tredimensionella delrummet av Lie-algebra i Lorentz-gruppen som spänner över boostgeneratorerna- i fullständig analogi med det endimensionella fallet som diskuterats ovan-och hastighetsutrymmet representeras av den öppna bollen med radie sedan . Det senare följer av att det är en begränsande hastighet i relativitet (med enheter där ). ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (3,1) \ approx {\ mathfrak {so}} (3,1)}$ ${\ displaystyle K_ {1}, K_ {2}, K_ {3}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (1,1)}$${\ displaystyle \ mathbb {B} ^{3}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle | \ beta | <1}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c = 1}$

Den allmänna formeln för hastighetssammansättning är

${\ displaystyle \ mathbf {w} = {\ boldsymbol {\ hat {\ beta}}} \ tanh ^{-1} \ beta, \ quad {\ boldsymbol {\ beta}} = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} \ oplus {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2},}$

där refererar till relativistisk hastighetsaddition och är en enhetsvektor i riktning mot . Denna operation är inte kommutativ eller associerande. Hastigheter med riktningar som lutar i en vinkel har en resulterande norm (vanlig euklidisk längd) som ges av cosinus hyperboliska lag , ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} \ oplus {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ beta}}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$${\ displaystyle \ mathbf {w} _ {1}, \ mathbf {w} _ {2}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle w \ equiv | \ mathbf {w} |}$

${\ displaystyle \ cosh w = \ cosh w_ {1} \ cosh w_ {2}+\ sinh w_ {1} \ sinh w_ {2} \ cos \ theta.}$

Geometrin på hastighetsutrymme ärvs från den hyperboliska geometrin på hastighetsutrymme via den angivna kartan. Denna geometri kan i sin tur härledas från tilläggslagen för relativistiska hastigheter. Snabbhet i två dimensioner kan därmed användbart visualiseras med hjälp av Poincaré -disken . Geodesik motsvarar stadig accelerationer. Rapiditetsutrymme i tre dimensioner kan på samma sätt sättas in i isometri med hyperboloidmodellen (isometrisk till den 3 -dimensionella Poincaré -disken (eller bollen )). Detta är detaljerat i Minkowski -rymdets geometri .

Tillägget av två hastigheter resulterar inte bara i en ny snabbhet; den resulterande totala transformationen är sammansättningen av transformationen som motsvarar hastigheten ovan och en rotation parametrerad av vektorn , ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}}}$

${\ displaystyle \ Lambda = e^{-i {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J}} e^{-i \ mathbf {w} \ cdot \ mathbf {K}},}$

där fysikerkonventionen för den exponentiella kartläggningen används. Detta är en följd av kommuteringsregeln

${\ displaystyle [K_ {i}, K_ {j}] =-i \ epsilon _ {ijk} J_ {k},}$

var är rotationsgeneratorerna . Detta är relaterat till fenomenet Thomas precession . För beräkning av parametern hänvisas till den länkade artikeln. ${\ displaystyle J_ {k}, k = 1,2,3,}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}}}$

I experimentell partikelfysik

Energin E och skalär momentum | p | av en partikel med icke-noll (vila) massa m ges av:

${\ displaystyle E = \ gamma mc^{2}}$

${\ displaystyle | \ mathbf {p} | = \ gamma mv.}$

Med definitionen av w

${\ displaystyle w = \ operatorname {artanh} {\ frac {v} {c}},}$

och därmed med

${\ displaystyle \ cosh w = \ cosh \ left (\ operatorname {artanh} {\ frac {v} {c}} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {1-{\ frac {v^{ 2}} {c^{2}}}}}} = \ gamma}$

${\ displaystyle \ sinh w = \ sinh \ left (\ operatorname {artanh} {\ frac {v} {c}} \ right) = {\ frac {\ frac {v} {c}} {\ sqrt {1- {\ frac {v^{2}} {c^{2}}}}}} = \ beta \ gamma,}$

energin och skalär momentum kan skrivas som:

${\ displaystyle E = mc^{2} \ cosh w}$

${\ displaystyle | \ mathbf {p} | = mc \, \ sinh w.}$

Så hastigheten kan beräknas från uppmätt energi och momentum med

${\ displaystyle w = \ operatorname {artanh} {\ frac {| \ mathbf {p} | c} {E}} = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {E+| \ mathbf {p } | c} {E- | \ mathbf {p} | c}} = \ ln {\ frac {E+| \ mathbf {p} | c} {mc^{2}}} ~.}$

Emellertid använder experimentella partikelfysiker ofta en modifierad definition av snabbhet i förhållande till en strålaxel

${\ displaystyle y = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {E+p_ {z} c} {E-p_ {z} c}},}$

där p _z är momentkomponenten längs strålaxeln. Detta är boostens snabbhet längs strålaxeln som tar en observatör från labramen till en ram där partikeln rör sig endast vinkelrätt mot strålen. I samband med detta är begreppet pseudorapiditet .

Snabbhet relativt en strålaxel kan också uttryckas som

${\ displaystyle y = \ ln {\ frac {E+p_ {z} c} {\ sqrt {m^{2} c^{4}+p_ {T}^{2} c^{2}}}} ~.}$

Se även

• Bondi k-kalkyl
• Lorentz transformation
• Pseudorapiditet
• Rätt hastighet
• Relativitetsteorin

Anmärkningar

Anteckningar och referenser

• Varićak V (1910), (1912), (1924) Se Vladimir Varićak#Publikationer
• Whittaker, ET (1910). " En historia om teorierna om eter och elektricitet ": 441. Citera journal kräver |journal=( hjälp )
• Robb, Alfred (1911). Optisk rörelsegeometri, en ny syn på relativitetsteorin . Cambridge: Heffner & Sons.
• Borel E (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705
• Silberstein, Ludwik (1914). Relativitetsteorin . London: Macmillan & Co.
• Vladimir Karapetoff (1936) "Begränsad relativitet när det gäller hyperboliska hastighetsfunktioner", American Mathematical Monthly 43:70.
• Frank Morley (1936) "When and Where", The Criterion , redigerad av TS Eliot , 15: 200-2009.
• Wolfgang Rindler (2001) Relativity: Special, General and Cosmological , sidan 53, Oxford University Press .
• Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations , v. 1, sidan 229, Academic Press ISBN  0-12-639201-3 .
• Walter, Scott (1999). "Den icke-euklidiska stilen i Minkowskian relativitet" (PDF) . I J. Gray (red.). Det symboliska universum: geometri och fysik . Oxford University Press. s. 91–127.(se sidan 17 i e-länk)
• Rhodes, JA; Semon, MD (2004). "Relativistisk hastighetsutrymme, Wigner -rotation och Thomas -precession". Am. J. Phys . 72 (7): 93–90. arXiv : gr-qc/0501070 . Bibcode : 2004AmJPh..72..943R . doi : 10.1119/1.1652040 . S2CID  14764378 .
• Jackson, JD (1999) [1962]. "Kapitel 11". Klassisk elektrodynamik (3d red.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30932-X.