Matematiskt problem - Mathematical problem

Ett matematiskt problem är ett problem som kan representeras , analyseras och eventuellt lösas med matematikens metoder . Detta kan vara ett verkligt problem, till exempel beräkning av planeternas banor i solsystemet, eller ett problem av mer abstrakt karaktär, såsom Hilberts problem .
Det kan också vara ett problem att hänvisa till själva matematikens natur , till exempel Russells paradox .

Resultatet av matematisk problemlöst demonstreras och undersöks formellt.

Verkliga problem

Informella "verkliga" matematiska problem är frågor relaterade till en konkret inställning, till exempel "Adam har fem äpplen och ger John tre. Hur många har han kvar?". Sådana frågor är vanligtvis svårare att lösa än vanliga matematiska övningar som "5 - 3", även om man kan matematiken som krävs för att lösa problemet. Kända som ordproblem , de används i matematikundervisningen för att lära elever att koppla verklighetssituationer till matematikens abstrakta språk.

I allmänhet, för att använda matematik för att lösa ett verkligt problem, är det första steget att konstruera en matematisk modell av problemet. Detta innebär abstraktion från detaljerna i problemet, och modelleraren måste vara försiktig så att de inte förlorar viktiga aspekter när de översätter det ursprungliga problemet till en matematisk. Efter att problemet har lösts i matematikens värld måste lösningen översättas tillbaka till sammanhanget med det ursprungliga problemet.

Genom att se utåt finns det olika fenomen från enkelt till komplext i den verkliga världen. Några av dem har också den komplexa mekanismen med mikroskopisk observation medan de har det enkla utseendet. Det beror på omfattningen av observations och stabiliteten av mekanismen. Det finns inte bara det enkla fenomenet som förklaras av den enkla modellen, utan också att den enkla modellen kan förklara det komplexa fenomenet. Ett exempel är en modell enligt kaosteorin .

Abstrakta problem

Abstrakta matematiska problem uppstår inom alla matematikområden. Medan matematiker vanligtvis studerar dem för sin egen skull, kan man genom det göra resultat som kan tillämpas utanför matematikens område. Teoretisk fysik har historiskt varit och förblir en rik inspirationskälla .

Vissa abstrakta problem har noggrant visat sig vara olösliga, till exempel att kvadrera cirkeln och trisektera vinkeln med enbart kompass- och räddningskonstruktioner av klassisk geometri och lösa den allmänna kvintiska ekvationen algebraiskt. Även bevisligen olösliga är så kallade oavgörbara problem , till exempel stoppproblemet för Turing-maskiner .

Många abstrakta problem kan lösas rutinmässigt, andra har lösts med stor ansträngning, för några betydande inhopp har gjorts utan att ännu ha lett till en fullständig lösning, och ännu andra har motstått alla försök, till exempel Goldbachs gissningar och Collatz -gissningen . Några välkända svåra abstrakta problem som har lösts relativt nyligen är fyrfärgsatsen , Fermats sista sats och Poincaré-gissningen .

Alla matematiska nya idéer som utvecklar en ny horisont för vår fantasi motsvarar inte den verkliga världen. Vetenskap är ett sätt att bara söka ny matematik, om allt detta motsvarar. Med tanke på modern matematik har den tänkt att för att lösa ett matematiskt problem kunna formellt reduceras till en symboloperation som begränsas av vissa regler som schack (eller shogi eller go ). På denna betydelse tolkar Wittgenstein matematiken till ett språkspel ( de: Sprachspiel ). Så ett matematiskt problem som inte relaterar till det verkliga problemet föreslås eller försöker lösas av matematiker. Och det kan vara så att intresset för att studera matematik för matematikern själv (eller sig själv) gjorde mycket än nyhet eller skillnad i värderingsbedömningen av det matematiska arbetet, om matematik är ett spel. Popper kritiserar sådana synpunkter som kan accepteras i matematiken men inte i andra naturvetenskapliga ämnen.

Datorer behöver inte ha en känsla av matematikernas motiv för att kunna göra vad de gör. Formella definitioner och datorkontrollerbara avdrag är helt centrala för matematisk vetenskap . Vitaliteten hos datorcheckningsbara, symbolbaserade metoder är inte enbart reglerna, utan beror snarare på vår fantasi.

Se även: Logisk positivism och de: Falsifikationismus

Nedbrytning av problem till övningar

Matematikpedagoger som använder problemlösning för utvärdering har ett problem formulerat av Alan H. Schoenfeld:

Hur kan man jämföra testresultat från år till år när mycket olika problem används? (Om liknande problem används år efter år kommer lärare och elever att lära sig vad de är, eleverna övar dem: problem blir övningar och testet bedömer inte längre problemlösning).

Samma fråga mötte Sylvestre Lacroix nästan två århundraden tidigare:

... det är nödvändigt att variera de frågor som eleverna kan kommunicera med varandra. Även om de kan misslyckas med tentamen, kan de passera senare. Därmed riskerar fördelning av frågor, olika ämnen eller svaren att förlora möjligheten att med precision jämföra kandidaterna med varandra.

Sådan nedbrytning av problem till övningar är karakteristisk för matematik i historien. Till exempel, som beskriver förberedelserna för Cambridge Mathematical Tripos på 1800 -talet, skrev Andrew Warwick:

... många familjer med de då vanliga problemen hade ursprungligen beskattat förmågorna hos de största matematikerna från 1700 -talet.

Se även

Referenser