Halvtal - Half-integer

I matematik är ett halvtal ett tal i formen

${\ displaystyle n + {\ tfrac {1} {2}}}$ ,

var är ett heltal . Till exempel, ${\ displaystyle n}$

4 + 1 / 2 , ^Syv / ₂ , - + 13 / 2 8,5

är alla halvtal . Namnet "halvt heltal" är kanske en vilseledande, eftersom uppsättningen kan missförstås för att inkludera siffror som 1 (är hälften av heltalet 2). Ett namn som "heltal plus halv" kan vara mer exakt, men även om det inte är bokstavligen sant är "halvt heltal" den konventionella termen. Halvtal uppträder ofta tillräckligt i matematik och kvantmekanik för att en tydlig term är bekväm.

Observera att en halvering av ett heltal inte alltid ger ett halvtal; detta gäller bara för udda heltal . Av denna anledning kallas även halvtal ibland även halv udda heltal . Halva heltal är en delmängd av de dyadiska rationella (tal producerade genom att dela ett heltal med en effekt av två ).

Notation och algebraisk struktur

Den uppsättning av alla halv heltal ofta betecknas

${\ displaystyle \ mathbb {Z} + {\ tfrac {1} {2}} \ quad = \ quad \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} \ right) \ smallsetminus \ mathbb { Z} ~.}$

Heltal och halvtal tillsammans bildar en grupp under tilläggsoperationen, som kan betecknas

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} ~.}$

Dessa siffror bildar dock ingen ring eftersom produkten av två halvtal ofta inte är ett halvtal; t.ex ${\ displaystyle ~ {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {1} {2}} ~ = ~ {\ tfrac {1} {4}} ~ \ notin ~ {\ tfrac {1} { 2}} \ mathbb {Z} ~.}$

Användningar

Sfärförpackning

Den tätaste gitter packning av enhetssfär i fyra dimensioner (kallat D ₄ gitter ) placerar en sfär vid varje punkt vars koordinater är antingen alla heltal eller alla halv heltal. Denna förpackning är nära relaterad till Hurwitz-heltal : kvaternioner vars verkliga koefficienter är antingen alla heltal eller alla halvtal.

Fysik

I fysik är Pauli-uteslutningsprincipen resultatet av definitionen av fermioner som partiklar som har snurrar som är halvtal.

De energinivåer hos kvant harmonisk oscillator inträffa vid halva heltal och därmed sin lägsta energi inte är noll.

Sfärvolym

Även om faktorfunktionen endast är definierad för heltalargument kan den utökas till bråkdelargument med hjälp av gammafunktionen . Gamma-funktionen för halvtal är en viktig del av formeln för volymen av en n -dimensionell boll med radie R ,

${\ displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}} + 1)}} R ^ {n} ~. }$

Värdena för gammafunktionen på halva heltal är heltalsmultiplar av kvadratroten av pi :

${\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} + n \ right) ~ = ~ {\ frac {\, (2n-1) !! \,} {2 ^ {n}}} \, {\ sqrt {\ pi \,}} ~ = ~ {\ frac {(2n)!} {\, 4 ^ {n} \, n! \,}} {\ sqrt {\ pi \,}} ~}$

där n !! betecknar den dubbla faktorn .

Referenser