Avslutande relation - Finitary relation

I matematik är en slutlig relation över uppsättningar X 1 , ..., X n en delmängd av den kartesiska produkten X 1 × ⋯ × X n ; det vill säga det är en uppsättning n -dubblar ( x 1 ,…, x n ) som består av element x i i X i . Typiskt beskriver relationen en möjlig koppling mellan elementen i en n -dubbel. Till exempel, förhållandet " x är delbart med y och z " består av uppsättningen 3-tuplar så att när de ersätts med x , y och z , gör meningen sant.

Det icke-negativa heltalet n som ger antalet "platser" i relationen kallas relationen arity , adicity eller grad . En relation med n "platser" kallas olika för en n -ary relation , en n -adisk relation eller en relation av grad n . Relationer med ett begränsat antal platser kallas slutliga relationer (eller helt enkelt relationer om sammanhanget är klart). Det är också möjligt att generalisera begreppet till oändliga relationer med oändliga sekvenser .

En n faldig förhållande över uppsättningar X 1 , ..., X n är ett element i effekt uppsättning av X 1 × ⋯ × X n .

0-ary-relationer räknas bara två medlemmar: den som alltid håller och den som aldrig håller. Detta beror på att det bara finns en 0-tupel, den tomma tupeln (). De är ibland användbara för att konstruera basfallet för ett induktionsargument .

Unariska relationer kan ses som en samling medlemmar (t.ex. samlingen av nobelpristagare ) som har någon egendom (som att ha fått Nobelpriset ).

Binära relationer är den vanligaste formen av finitära relationer. När X 1 = X 2 kallas det en homogen relation , till exempel:

  • Jämlikhet och ojämlikhet , betecknade med tecken som = och <i uttalanden som " 5 <12 ", eller
  • Delbarhet , betecknad med tecknet | i uttalanden som "13 | 143".

Annars är det en heterogen relation , till exempel:

Exempel

Tänk på den ternära relationen R " x tror att y gillar z " över uppsättningen människor P = {Alice, Bob, Charles, Denise }, definierad av:

R = {(Alice, Bob, Denise), (Charles, Alice, Bob), (Charles, Charles, Alice), (Denise, Denise, Denise) }.

R kan representeras på motsvarande sätt av följande tabell:

Relation R " x tror att y gillar z "
P P P
Alice Guppa Denise
Charles Alice Guppa
Charles Charles Alice
Denise Denise Denise

Här representerar varje rad en trippel av R , det vill säga det ger ett uttalande med formen " x tror att y gillar z ". Till exempel säger den första raden att "Alice tror att Bob gillar Denise". Alla rader är olika. Ordningen av rader är obetydlig men ordningen av kolumner är betydande.

Tabellen ovan är också ett enkelt exempel på en relationsdatabas , ett fält med teori förankrat i relationsalgebra och applikationer inom datahantering. Datavetare, logiker och matematiker tenderar dock att ha olika uppfattningar vad en allmän relation är och vad den består av. Till exempel är databaser utformade för att hantera empiriska data, som per definition är begränsade, medan i matematik övervägs också relationer med oändlig arity (dvs infinitär relation).

Definitioner

När två objekt, kvaliteter, klasser eller attribut, som ses tillsammans av sinnet, ses under någon koppling, kallas den kopplingen en relation.

-  Augustus De Morgan

Den första definitionen av relationer i matematik är:

Definition 1
En n -ary relation R över uppsättningar X 1 ,…, X n är en delmängd av den kartesiska produkten X 1 × ⋯ × X n .

Den andra definitionen av relationer använder sig av ett idiom som är vanligt inom matematik, som föreskriver att "sådant och sådant är en n -dubbel" för att säkerställa att ett sådant och sådant matematiskt objekt bestäms av specifikationen av matematiska objekt med n element . När det gäller en relation R över n -uppsättningar finns det n + 1 saker att specificera, nämligen n -uppsättningarna plus en delmängd av deras kartesiska produkt. I uttrycket uttrycks detta genom att säga att R är en ( n + 1 ) -tubel.

Definition 2
En n faldig förhållande R över uppsättningar X 1 , ..., X n är en ( n + 1 ) -tuple ( X 1 , ..., X n , G ) där G är en delmängd av den kartesiska produkten X 1 × ⋯ × X n kallas grafen av R .

Som regel kommer den definition som bäst passar den aktuella applikationen att väljas för detta ändamål, och om det någonsin blir nödvändigt att skilja mellan de två definitionerna, kan en enhet som uppfyller den andra definitionen kallas en inbäddad eller inkluderad relation .

Båda påståendena ( x 1 ,…, x n ) i R (under den första definitionen) och ( x 1 ,…, x n ) i G (under den andra definitionen) läser ” x 1 ,…, x n är R -relaterade "och betecknas med hjälp av prefixnotation av Rx en ⋯ x n och använder postfix notation genom x 1 ⋯ x n R . I det fall där R är en binär relation betecknas dessa påståenden också med hjälp av infixnotation med x 1 Rx 2 .

Följande överväganden gäller under endera definitionen:

  • Den inställda X i kallas i : te domänen av R . Enligt den första definitionen bestämmer förhållandet inte unikt en given sekvens av domäner. I det fall då R är en binär relation, X 1 kallas också helt enkelt den domän eller uppsättning av avgång av R , och X 2 kallas också Målmängd eller uppsättning destination av R .
  • När elementen i X i är förbindelser, X i kallas en nonsimple domän av R .
  • Uppsättningen för alla x i i X i för vilka det finns ( x 1 ,…, x i - 1 , x i + 1 ,…, x n ) i X 1 × ⋯ × X i - 1 × X i + 1 × ⋯ × X n sådan att Rx en ⋯ x i - 1 x i x i + 1 ⋯ x n kallas i : te domänen av definition eller aktiv domän av R . I det fall då R är en binär relation, är dess första domänen för definition också kallas helt enkelt den domänen av definitionen eller aktiv domän av R , och dess andra domänen för definition kallas också Målmängd av definitionen eller aktiv Målmängd av R .
  • När jag : te domänen av definitionen av R är lika med X i , R sägs vara totalt på X i . I det fall där R är en binär relation, när R är totalt på X 1 , sägs det också vara vänster-totalt eller seriellt , och när R är totalt på X 2 , sägs det också vara höger-totalt eller surjektivt .
  • När för alla x och y i π i ∈ I X i och för alla z i π i ∈ J X i där { I , J } är en partition av {1,…, n }, om komponenterna i x och z är R -relaterade och komponenterna i y och z är R -relaterade sedan x = y , R sägs vara unikt på { X i } i ∈ i , och { X i } i ∈ J kallas en primärnyckel av R . I det fall där R är en binär relation, när R är unik på { X 1 }, sägs det också vara vänsterunikt eller injektivt , och när R är unikt på { X 2 } sägs det också vara rätt -unikt eller funktionellt .
  • När alla X i är samma uppsättning X är det enklare att hänvisa till R som en n -ary relation över X , kallad en homogen relation . Annars kallas R för en heterogen relation .
  • När någon av X i är tom är den definierande kartesiska produkten tom, och den enda relationen över en sådan sekvens av domäner är den tomma relationen R = ∅ . Därför är det vanligtvis bestämt att alla domäner är icke -undantagna.

Låt en boolsk domän B vara en uppsättning med två element, säg B = {0, 1 }, vars element kan tolkas som logiska värden, vanligtvis 0 = false och 1 = true . Den karakteristiska funktionen för R , betecknad med χ R , är den booleska värderade funktionen χ R : X 1 × ⋯ × X n → B , definierad av χ R ( ( x 1 ,…, x n ) ) = 1 om Rx 1 ⋯ x n och χ R ( ( x 1 ,…, x n ) ) = 0 annars.

I tillämpad matematik, datavetenskap och statistik, är det vanligt att hänvisa till en Boolean-värderad funktion som en n faldig predikat . Från den mer abstrakta synvinkeln hos formell logik och modellteori utgör förhållandet R en logisk modell eller en relationsstruktur , som fungerar som en av många möjliga tolkningar av någon n -ary predikatsymbol.

Eftersom relationer uppstår inom många vetenskapliga discipliner, liksom inom många grenar av matematik och logik , finns det stor variation i terminologi. Bortsett från den set-teoretiska förlängningen av ett relationellt begrepp eller en term, kan termen "relation" också användas för att hänvisa till motsvarande logiska enhet, antingen den logiska förståelsen , som är helheten av intensioner eller abstrakta egenskaper som delas av alla element i förhållandet, annars symbolerna som betecknar dessa element och intentioner. Vissa författare av den senare övertalningen introducerar vidare termer med mer konkreta konnotationer (såsom "relationsstruktur" för den uppsättningsteoretiska förlängningen av ett givet relationskoncept).

Historia

Se även: Algebraisk logik § Historia

Logikern Augustus De Morgan , i verk publicerad omkring 1860, var den första att formulera begreppet relation i något liknande dess nuvarande mening. Han uppgav också de första formella resultaten i relationsteorin (om De Morgan och relationer, se Merrill 1990).

Charles Peirce , Gottlob Frege , Georg Cantor , Richard Dedekind och andra tog fram teorin om relationer. Många av deras idéer, särskilt om relationer som kallas order , sammanfattades i The Principles of Mathematics (1903) där Bertrand Russell gratis använde dessa resultat.

År 1970, Edgar Codd föreslog en relationsmodellen för databaser och därmed förutse utvecklingen av databasledningssystem .

Se även

Referenser

  1. ^ a b c d e f g h Codd, Edgar Frank (juni 1970). "En relationsmodell för data för stora delade databanker" (PDF) . Kommunikation av ACM . 13 (6): 377–387. doi : 10.1145/362384.362685 . Hämtad 2020-04-29 .
  2. ^ "Den definitiva ordlistan för högre matematisk jargong - relation" . Math Vault . 2019-08-01 . Hämtad 2019-12-12 .
  3. ^ "Relation - Encyclopedia of Mathematics" . www.encyclopediaofmath.org . Hämtad 2019-12-12 .
  4. ^ "Definition av n-ary-relation" . cs.odu.edu . Hämtad 2019-12-12 .
  5. ^ Nivat, Maurice (1981). Astesiano, Egidio; Böhm, Corrado (red.). "Infinitära relationer" . Caap '81 . Föreläsningsanteckningar i datavetenskap. Springer Berlin Heidelberg. 112 : 46–75. doi : 10.1007/3-540-10828-9_54 . ISBN 978-3-540-38716-9.
  6. ^ "Relationer - CS441" (PDF) . www.pitt.edu . Hämtad 2019-12-11 .
  7. ^ De Morgan, A. (1858) "Om syllogismen, del 3" i Heath, P., red. (1966) Om syllogismen och andra logiska skrifter . Routledge. S. 119,

Bibliografi

  • Codd, Edgar Frank (1990). Relationsmodellen för databashantering: Version 2 (PDF) . Boston: Addison-Wesley . ISBN 978-0201141924.
  • Bourbaki, N. (1994) Elements of the History of Mathematics , John Meldrum, övers. Springer-Verlag.
  • Carnap, Rudolf (1958) Introduktion till symbolisk logik med applikationer . Dover Publications.
  • Halmos, PR (1960) Naiv uppsättningsteori . Princeton NJ: D. Van Nostrand Company.
  • Lawvere, FW och R. Rosebrugh (2003) Sets for Mathematics , Cambridge Univ. Tryck.
  • Lewis, CI (1918) A Survey of Symbolic Logic , kapitel 3: Appliceringar av Boole - Schröder Algebra, via Internet Archive
  • Lucas, JR (1999) Conceptual Roots of Mathematics . Routledge.
  • Maddux, RD (2006) Relation Algebras , vol. 150 i 'Studies in Logic and the Foundations of Mathematics'. Elsevier Science.
  • Merrill, Dan D. (1990) Augustus De Morgan och relationslogiken . Kluwer.
  • Peirce, CS (1870), "Description of a Notation for the Logic of Relatives, resulting from an Amplification of the conceptions of Boole's Calculus of Logic", Memoirs of the American Academy of Arts and Sciences 9, 317–78, 1870. Omtryckt , Collected Papers CP 3.45–149, Chronological Edition CE 2, 359–429.
  • Peirce, CS (1984) Writings of Charles S. Peirce: A Chronological Edition, Volume 2, 1867-1871 . Peirce Edition Project, red. Indiana University Press.
  • Russell, Bertrand (1903/1938) The Principles of Mathematics, andra upplagan. Cambridge Univ. Tryck.
  • Suppes, Patrick (1960/1972) Axiomatisk uppsättningsteori . Dover Publications.
  • Tarski, A. (1956/1983) Logic, Semantics, Metamathematics, Papers from 1923 to 1938 , JH Woodger, trans. 1: a upplagan, Oxford University Press. Andra upplagan, J. Corcoran, red. Indianapolis IN: Hackett Publishing.
  • Ulam, SM och Bednarek, AR (1990), "On theory of Relational Structures and Schemata for Parallel Computation", s. 477–508 i AR Bednarek och Françoise Ulam (red.), Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of SM Ulam och hans Los Alamos Collaborators , University of California Press, Berkeley, CA.
  • Ulam, SM (1990) Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of SM Ulam and His Los Alamos Collaborators in AR Bednarek and Françoise Ulam, eds., University of California Press.
  • Roland Fraïssé (2000) [1986] Relationsteori , Nord -Holland