Del - Del

Del operatör,
som representeras av
den nabla symbol

Del , eller nabla , är en operatör som används i matematik (särskilt i vektoranalys ) som en vektor differentialoperator , vanligen representerad av nabla symbolen ∇ . När den tillämpas på en funktion som definieras på en endimensionell domän, betecknar det standard derivatet av funktionen som definieras i tandsten . När den tillämpas på ett fält (en funktion definierad på en flerdimensionell domän) kan den beteckna någon av tre operatörer beroende på hur den tillämpas: gradienten eller (lokalt) brantast i ett skalärfält (eller ibland av en vektorfält , som i ekvationerna Navier – Stokes ); den divergens av ett vektorfält; eller curl (rotation) av ett vektorfält.

Strikt sett är del inte en specifik operatör, utan snarare en bekväm matematisk notation för de tre operatörerna som gör många ekvationer lättare att skriva och komma ihåg. Del -symbolen (eller nabla) kan tolkas som en vektor för partiella derivatoperatorer ; och dess tre möjliga betydelser - gradient, divergens och curl - kan formellt ses som produkten med en skalär, en punktprodukt respektive en tvärprodukt av "deloperatören" med fältet. Dessa formella produkter pendlar inte nödvändigtvis med andra operatörer eller produkter. Dessa tre användningsområden, som beskrivs nedan, sammanfattas som:

Lutning: ${\ displaystyle \ operatorname {grad} f = \ nabla f}$
Divergens: ${\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {v}} = \ nabla \ cdot {\ vec {v}}}$
Ringla: ${\ displaystyle \ operatorname {curl} {\ vec {v}} = \ nabla \ times {\ vec {v}}}$

Definition

I det kartesiska koordinatsystemet R ^$n$ med koordinater och standardbas definieras del i termer av partiella derivatoperatorer som ${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle \ {{\ vec {e}} _ {1}, \ dots, {\ vec {e}} _ {n} \}}$

{\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {i = 1}^{n} {\ vec {e}} _ {i} {\ partiell \ över \ partiell x_ {i}} = \ vänster ({\ partiell \ över \ partiell x_ {1}}, \ ldots, {\ partiell \ över \ partiell x_ {n}} \ höger)}

I det tredimensionella kartesiska koordinatsystemet R ³ med koordinater och standardbasis eller enhetsvektorer för axlar skrivs del som ${\ displaystyle (x, y, z)}$ ${\ displaystyle \ {{\ vec {e}} _ {x}, {\ vec {e}} _ {y}, {\ vec {e}} _ {z} \}}$

{\ displaystyle \ nabla = {\ vec {e}} _ {x} {\ partiell \ över \ partiell x}+{\ vec {e}} _ {y} {\ partiell \ över \ partiell y}+{\ vec {e}} _ {z} {\ partiell \ över \ partiell z} = \ vänster ({\ partiell \ över \ partiell x}, {\ partiell \ över \ partiell y}, {\ partiell \ över \ partiell z }\höger)}

Exempel:

{\ displaystyle f (x, y, z) = x+y+z}

{\ displaystyle \ nabla f = {\ vec {e}} _ {x} {\ partiell f \ över \ partiell x}+{\ vec {e}} _ {y} {\ partiell f \ över \ partiell y} +{\ vec {e}} _ {z} {\ partiell f \ över \ partiell z} = \ vänster (1,1,1 \ höger)}

Del kan också uttryckas i andra koordinatsystem, se till exempel del i cylindriska och sfäriska koordinater .

Notationella användningsområden

Del används som en stenografiform för att förenkla många långa matematiska uttryck. Det används oftast för att förenkla uttryck för gradient , divergens , curl , riktningsderivat och laplacian .

Lutning

Vektorderivatet av ett skalärfält kallas gradient , och det kan representeras som: ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle \ operatorname {grad} f = {\ partiell f \ över \ partiell x} {\ vec {e}} _ {x}+{\ partiell f \ över \ partiell y} {\ vec {e}} _ {y}+{\ partiell f \ över \ partiell z} {\ vec {e}} _ {z} = \ nabla f}

Den pekar alltid i riktning mot den största ökningen av , och den har en storlek lika med den maximala ökningstakten vid punkten - precis som ett standardderivat. I synnerhet om en kulle definieras som en höjdfunktion över ett plan , kommer lutningen på en given plats att vara en vektor i xy-planet (visualiserat som en pil på en karta) som pekar längs den brantaste riktningen. Gradientens storlek är värdet av denna brantaste sluttning. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle h (x, y)}$

I synnerhet är denna notation kraftfull eftersom gradientproduktregeln ser mycket ut som 1d-derivatfallet:

{\ displaystyle \ nabla (fg) = f \ nabla g+g \ nabla f}

Reglerna för prickprodukter visar sig dock inte vara enkla, vilket illustreras av:

{\ displaystyle \ nabla ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) = ({\ vec {u}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}}+({\ vec { v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {u}}+{\ vec {u}} \ times (\ nabla \ times {\ vec {v}})+{\ vec {v}} \ times (\ nabla \ times {\ vec {u}})}}

Divergens

Den divergens av ett vektorfält är en skalär funktion som kan representeras som: ${\ displaystyle {\ vec {v}} (x, y, z) = v_ {x} {\ vec {e}} _ {x}+v_ {y} {\ vec {e}} _ {y}+ v_ {z} {\ vec {e}} _ {z}}$

{\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {v}} = {\ partiell v_ {x} \ över \ partiell x}+{\ partiell v_ {y} \ över \ partiell y}+{\ partiell v_ {z } \ över \ partiell z} = \ nabla \ cdot {\ vec {v}}}

Divergensen är ungefär ett mått på ett vektorfälts ökning i den riktning den pekar; men närmare bestämt är det ett mått på det fältets tendens att konvergera mot eller avvika från en punkt.

Kraften i delbeteckningen visas med följande produktregel:

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (f {\ vec {v}}) = (\ nabla f) \ cdot {\ vec {v}}+f (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})}}

Formeln för vektorprodukten är något mindre intuitiv, eftersom den här produkten inte är kommutativ:

{\ displaystyle \ nabla \ cdot ({\ vec {u}} \ times {\ vec {v}}) = (\ nabla \ times {\ vec {u}}) \ cdot {\ vec {v}}-{ \ vec {u}} \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {v}})}

Ringla

Den curl av ett vektorfält är en vektorfunktion som kan representeras som: ${\ displaystyle {\ vec {v}} (x, y, z) = v_ {x} {\ vec {e}} _ {x}+v_ {y} {\ vec {e}} _ {y}+ v_ {z} {\ vec {e}} _ {z}}$

{\ displaystyle \ operatorname {curl} {\ vec {v}} = \ left ({\ partiell v_ {z} \ över \ partiell y}-{\ partiell v_ {y} \ över \ partiell z} \ höger) { \ vec {e}} _ {x}+\ vänster ({\ partiell v_ {x} \ över \ partiell z}-{\ partiell v_ {z} \ över \ partiell x} \ höger) {\ vec {e} } _ {y}+\ vänster ({\ partiell v_ {y} \ över \ partiell x}-{\ partiell v_ {x} \ över \ partiell y} \ höger) {\ vec {e}} _ {z} = \ nabla \ gånger {\ vec {v}}}

Krulningen vid en punkt är proportionell mot vridmomentet på axeln som ett litet tapphjul skulle utsättas för om det var centrerat vid den punkten.

Vektorproduktoperationen kan visualiseras som en pseudo- determinant :

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {v}} = \ left | {\ begin {matrix} {\ vec {e}} _ {x} & {\ vec {e}} _ {y} & {\ vec {e}} _ {z} \\ [2pt] {\ frac {\ partiell} {\ partiell x}} & {\ frac {\ partiell} {\ partiell y}} & {\ frac {\ partiell} { \ partiell z}} \\ [2pt] v_ {x} & v_ {y} & v_ {z} \ slut {matris}} \ höger |}

Återigen visas notationens kraft genom produktregeln:

{\ displaystyle \ nabla \ times (f {\ vec {v}}) = (\ nabla f) \ times {\ vec {v}}+f (\ nabla \ times {\ vec {v}}))}

Tyvärr visar sig inte regeln för vektorprodukten vara enkel:

{\ displaystyle \ nabla \ times ({\ vec {u}} \ times {\ vec {v}}) = {\ vec {u}} \, (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})-{ \ vec {v}} \, (\ nabla \ cdot {\ vec {u}})+({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) \, {\ vec {u}}-({\ vec { u}} \ cdot \ nabla) \, {\ vec {v}}}

Riktningsderivat

Den riktnings derivatet av en skalär fält i riktningen definieras som: ${\ displaystyle f (x, y, z)}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} (x, y, z) = a_ {x} {\ vec {e}} _ {x}+a_ {y} {\ vec {e}} _ {y}+ a_ {z} {\ vec {e}} _ {z}}$

{\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot \ operatorname {grad} f = a_ {x} {\ partiell f \ över \ partiell x}+a_ {y} {\ partiell f \ över \ partiell y}+a_ {z} {\ partiell f \ över \ partiell z} = {\ vec {a}} \ cdot (\ nabla f)}

Detta ger förändringstakten för ett fält i riktning mot , skalat med storleken på . I operatörsnotation kan elementet inom parentes betraktas som en enda koherent enhet; vätskedynamik använder denna konvention i stor utsträckning och kallar den konvektiva derivatet - vätskans "rörliga" derivat. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$

Observera att det är en operator som tar skalär till en skalär. Den kan utökas för att fungera på en vektor, genom att separat arbeta på var och en av dess komponenter. ${\ displaystyle ({\ vec {a}} \ cdot \ nabla)}$

Laplacian

Den Laplaceoperatorn är en skalär operator som kan appliceras på endera vektor eller skalära fält; För kartesiska koordinatsystem definieras det som:

{\ displaystyle \ Delta = {\ partiell ^{2} \ över \ partiell x ^{2}}+{\ partiell ^{2} \ över \ partiell y ^{2}}+{\ partiell ^{2} \ över \ partiell z ^{2}} = \ nabla \ cdot \ nabla = \ nabla ^{2}}

och definitionen för mer allmänna koordinatsystem ges i vektorn Laplacian .

Laplacian är allestädes närvarande genom modern matematisk fysik , som till exempel förekommer i Laplaces ekvation , Poissons ekvation , värmeekvationen , vågekvationen och Schrödinger -ekvationen .

Hessian matris

Medan den vanligtvis representerar Laplacian , representerar den ibland också den hessiska matrisen . Den förra avser den inre produkten av , medan den senare hänvisar till den dyadiska produkten av : ${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$ ${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle \ nabla}$

{\ displaystyle \ nabla ^{2} = \ nabla \ cdot \ nabla ^{T}}

.

Så om det hänvisar till en Laplacian eller en Hessian matris beror på sammanhanget. ${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$

Tensor -derivat

Del kan också appliceras på ett vektorfält med resultatet som en tensor . Den tensor derivat av ett vektorfält (i tre dimensioner) är en 9-term sekund-rank tensor - det vill säga ett 3 x 3 matris - men kan betecknas helt enkelt som , där representerar den tvåställiga produkten . Denna kvantitet är ekvivalent med transponeringen av den jakobiska matrisen av vektorfältet med avseende på rymden. Divergensen av vektorfältet kan sedan uttryckas som spåret av denna matris. ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ otimes {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle \ otimes}$

För en liten förskjutning ges förändringen i vektorfältet av: ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}}}$

{\ displaystyle \ delta {\ vec {v}} = (\ nabla \ otimes {\ vec {v}})^{T} \ cdot \ delta {\ vec {r}}}

Produktregler

För vektorberäkning :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla (fg) & = f \ nabla g+g \ nabla f \\\ nabla ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) & = { \ vec {u}} \ times (\ nabla \ times {\ vec {v}})+{\ vec {v}} \ times (\ nabla \ times {\ vec {u}})+({\ vec { u}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}}+({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {u}} \\\ nabla \ cdot (f {\ vec {v} }) & = f (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})+{\ vec {v}} \ cdot (\ nabla f) \\\ nabla \ cdot ({\ vec {u}} \ times { \ vec {v}}) & = {\ vec {v}} \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {u}})-{\ vec {u}} \ cdot (\ nabla \ times {\ vec { v}}) \\\ nabla \ times (f {\ vec {v}}) & = (\ nabla f) \ times {\ vec {v}}+f (\ nabla \ times {\ vec {v}} ) \\\ nabla \ times ({\ vec {u}} \ times {\ vec {v}}) & = {\ vec {u}} \, (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})- {\ vec {v}} \, (\ nabla \ cdot {\ vec {u}})+({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) \, {\ vec {u}}-({\ vec {u}} \ cdot \ nabla) \, {\ vec {v}} \ end {align}}}

För matrisberäkning (som kan skrivas ): ${\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}^{\ text {T}} {\ vec {v}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left (\ mathbf {A} \ nabla \ right) ^{\ text {T}} {\ vec {u}} & = \ nabla ^{\ text {T}} \ vänster (\ mathbf {A} ^{\ text {T}} {\ vec {u}} \ höger)-\ vänster (\ nabla ^{\ text {T}} \ mathbf {A} ^{\ text {T }} \ höger) {\ vec {u}} \ end {anpassad}}}

En annan relation av intresse (se t.ex. Euler -ekvationer ) är följande, där är den yttre produktens tensor: ${\ displaystyle {\ vec {u}} \ otimes {\ vec {v}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot ({\ vec {u}} \ otimes {\ vec {v}}) = (\ nabla \ cdot {\ vec {u}}) {\ vec {v }}+({\ vec {u}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} \ end {align}}}

Andra derivat

DCG -diagram: Ett enkelt diagram som visar alla regler avseende andra derivat. D, C, G, L och CC står för divergens, curl, gradient, Laplacian respektive curl of curl. Pilar indikerar förekomsten av andra derivat. Blå cirkel i mitten representerar curl of curl, medan de andra två röda cirklarna (streckade) betyder att DD och GG inte existerar.

När del fungerar på en skalär eller vektor returneras antingen en skalär eller vektor. På grund av mångfalden av vektorprodukter (skalare, prick, kors) ger en tillämpning av del redan upphov till tre stora derivat: gradienten (skalärprodukten), divergensen (punktprodukten) och krullen (tvärprodukten). Att åter tillämpa dessa tre typer av derivat ger varandra fem möjliga andra derivat, för ett skalfält f eller ett vektorfält v ; användningen av skalaren Laplacian och vektor Laplacian ger ytterligare två:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} f) & = \ nabla \ cdot (\ nabla f) \\\ operatorname {curl} (\ operatorname {grad} f) & = \ nabla \ times (\ nabla f) \\\ Delta f & = \ nabla ^{2} f \\\ operatorname {grad} (\ operatorname {div} {\ vec {v}}) & = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) \\\ operatorname {div} (\ operatorname {curl} {\ vec {v}}) & = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {v}}) \\\ operatorname {curl} (\ operatorname {curl} {\ vec {v}}) & = \ nabla \ times (\ nabla \ times {\ vec {v}}) \\\ Delta {\ vec {v} } & = \ nabla ^{2} {\ vec {v}} \ end {align}}}

Dessa är av intresse främst eftersom de inte alltid är unika eller oberoende av varandra. Så länge funktionerna är välskötta är två av dem alltid noll:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {curl} (\ operatorname {grad} f) & = \ nabla \ times (\ nabla f) = 0 \\\ operatorname {div} (\ operatorname {curl} {\ vec {v}}) & = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {v}}) = 0 \ end {align}}}

Två av dem är alltid lika:

{\ displaystyle \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} f) = \ nabla \ cdot (\ nabla f) = \ nabla ^{2} f = \ Delta f}

De tre återstående vektorderivaten är relaterade med ekvationen:

{\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times {\ vec {v}} \ right) = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})-\ nabla ^{2} {\ vec {v}}}

Och en av dem kan till och med uttryckas med tensorprodukten om funktionerna är välskötta:

{\ displaystyle \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) = \ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ otimes \ nabla)}

Försiktighetsåtgärder

De flesta av ovannämnda vektoregenskaper (förutom de som uttryckligen förlitar sig på delens differentialegenskaper - till exempel produktregeln) förlitar sig endast på symbolarrangemang och måste nödvändigtvis hålla om del -symbolen ersätts av någon annan vektor. Detta är en del av värdet som ska uppnås genom att notativt representera denna operatör som en vektor.

Även om man ofta kan ersätta del med en vektor och erhålla en vektoridentitet, vilket gör dessa identiteter mnemoniska, är det omvända inte nödvändigtvis tillförlitligt, eftersom del inte pendlar i allmänhet.

Ett motexempel som bygger på delens misslyckande med att pendla:

{\ displaystyle {\ begin {align} ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) f & \ equiv ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {u}}) f \ \ (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) f & = \ left ({\ frac {\ partiell v_ {x}} {\ partiell x}}+{\ frac {\ partiell v_ {y}} {\ delvis y}}+{\ frac {\ partiell v_ {z}} {\ partiell z}} \ höger) f = {\ frac {\ partiell v_ {x}} {\ partiell x}} f+{\ frac {\ partiell v_ {y}} {\ partiell y}} f+{\ frac {\ partiell v_ {z}} {\ partiell z}} f \\ ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) f & = \ vänster (v_ {x} {\ frac {\ partial} {\ partiell x}}+v_ {y} {\ frac {\ partiell} {\ partiell y}}+v_ {z} {\ frac {\ partiell} {\ partiell z}} \ höger) f = v_ {x} {\ frac {\ partiell f} {\ partiell x}}+v_ {y} {\ frac {\ partiell f} {\ partiell y}}+v_ {z } {\ frac {\ partiell f} {\ partiell z}} \\\ Högerpil (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) f & \ neq ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) f \ \\ end {align}}}

Ett motexempel som förlitar sig på delens differentialegenskaper:

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ nabla x) \ times (\ nabla y) & = \ left ({\ vec {e}} _ {x} {\ frac {\ partiell x} {\ partiell x} }+{\ vec {e}} _ {y} {\ frac {\ partiell x} {\ partiell y}}+{\ vec {e}} _ {z} {\ frac {\ partiell x} {\ partiell z}} \ höger) \ gånger \ vänster ({\ vec {e}} _ {x} {\ frac {\ partiell y} {\ partiell x}}+{\ vec {e}} _ {y} {\ frac {\ partiell y} {\ partiell y}}+{\ vec {e}} _ {z} {\ frac {\ partiell y} {\ partiell z}} \ höger) \\ & = ({\ vec { e}} _ {x} \ cdot 1+{\ vec {e}} _ {y} \ cdot 0+{\ vec {e}} _ {z} \ cdot 0) \ times ({\ vec {e} } _ {x} \ cdot 0+{\ vec {e}} _ {y} \ cdot 1+{\ vec {e}} _ {z} \ cdot 0) \\ & = {\ vec {e}} _ {x} \ gånger {\ vec {e}} _ {y} \\ & = {\ vec {e}} _ {z} \\ ({\ vec {u}} x) \ times ({\ vec {u}} y) & = xy ({\ vec {u}} \ times {\ vec {u}}) \\ & = xy {\ vec {0}} \\ & = {\ vec {0}} \ end {align}}}

Centralt för dessa skillnader är det faktum att del inte bara är en vektor; det är en vektoroperatör . Medan en vektor är ett objekt med både storlek och riktning, har del varken en storlek eller riktning förrän den fungerar på en funktion.

Av den anledningen måste identiteter som involverar del härledas med omsorg, med hjälp av både vektoridentiteter och differentieringsidentiteter som produktregeln.

Se även

Referenser

Willard Gibbs & Edwin Bidwell Wilson (1901) Vektoranalys , Yale University Press , 1960: Dover Publications .
Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl och allt det där: En informell text på vektorkalkyl . New York: Norton. ISBN 0-393-96997-5.
Miller, Jeff. "Tidigaste användningen av symboler för kalkyl" .
Arnold Neumaier (26 januari 1998). Cleve Moler (red.). "Nablas historia" . NA Digest, volym 98, nummer 03. netlib.org.

externa länkar

En undersökning av felaktig användning av ∇ i vektoranalys (1994) Tai, Chen

Languages

In other projects