Omvända hyperboliska funktioner - Inverse hyperbolic functions

En stråle genom enhetens hyperbol i punkten , där är dubbelt så stort område mellan strålen, hyperbolen och -axeln${\ displaystyle \ scriptstyle x^{2} \ -\ y^{2} \ = \ 1}$${\ displaystyle \ scriptstyle (\ cosh \, a, \, \ sinh \, a)}$${\ displaystyle \ scriptstyle a}$${\ displaystyle \ scriptstyle x}$

De inversa hyperboliska funktionerna

I matematik är de inversa hyperboliska funktionerna de inversa funktionerna hos de hyperboliska funktionerna .

För ett givet värde för en hyperbolisk funktion tillhandahåller motsvarande invers hyperboliska funktion motsvarande hyperboliska vinkel . Storleken på den hyperboliska vinkeln är lika med ytan för motsvarande hyperbolsektor för hyperbolen xy = 1 , eller två gånger ytan för motsvarande sektor av enheten hyperbola x ² - y ² = 1 , precis som en cirkulär vinkel är två gånger området för den cirkelsektor av enhetscirkeln . Vissa författare har kallat inversa hyperboliska funktioner " områdesfunktioner " för att inse de hyperboliska vinklarna.

Hyperboliska funktioner förekommer i beräkningarna av vinklar och avstånd i hyperbolisk geometri . Det förekommer också i lösningarna för många linjära differentialekvationer (t.ex. ekvationen som definierar en kontaktledare ), kubiska ekvationer och Laplaces ekvation i kartesiska koordinater . Laplaces ekvationer är viktiga inom många fysikområden , inklusive elektromagnetisk teori , värmeöverföring , vätskedynamik och särskild relativitet .

Notation

De vanligaste förkortningarna är de som anges av ISO 80000-2- standarden. De består av ar- följt av förkortningen av motsvarande hyperboliska funktion (t.ex. arsinh, arcosh).

Emellertid, ARC- följt av den motsvarande hyperboliska funktionen (t.ex. arcsinh, arccosh) är också allmänt sett, i analogi med nomenklaturen för inversa trigonometriska funktioner . Dessa är misnomers, eftersom prefixet bågen är en förkortning för arcus , medan prefixet ar står för område ; de hyperboliska funktionerna är inte direkt relaterade till bågar.

Andra författare föredrar att använda beteckningen arg sinh, argcosh, argtanh och så vidare, där prefixet arg är förkortningen av det latinska argumentum . Inom datavetenskap förkortas detta ofta till asinh .

Notationen sinh ⁻¹ ( x ) , cosh ⁻¹ ( x ) , etc., används också, trots att man måste se till att undvika felaktiga tolkningar av överskriften −1 som en makt, i motsats till en stenografi att beteckna den inversa funktionen (t.ex. cosh ⁻¹ ( x ) kontra cosh ( x ) ⁻¹ ).

Definitioner när det gäller logaritmer

Eftersom de hyperboliska funktionerna är rationella funktioner för e ^x vars täljare och nämnare är högst två, kan dessa funktioner lösas i termer av e ^x , med hjälp av den kvadratiska formeln ; då tar den naturliga logaritmen följande uttryck för de inversa hyperboliska funktionerna.

För komplexa argument är de inversa hyperboliska funktionerna, kvadratroten och logaritmen flervärdesfunktioner , och likheterna i de kommande undersektionerna kan ses som likheter med flervärdesfunktioner.

För alla inversa hyperboliska funktioner (utom den inversa hyperboliska cotangenten och den inversa hyperboliska kosekanten) är den verkliga funktionens domän ansluten .

Invers hyperbolisk sinus

Invers hyperbolisk sinus (aka area hyperbolic sinus) (latin: Area sinus hyperbolicus ):

${\ displaystyle \ operatorname {arsinh} x = \ ln \ vänster (x+{\ sqrt {x^{2} +1}} \ höger)}$

Domänen är hela den riktiga linjen .

Invers hyperbolisk cosinus

Invers hyperbolisk cosinus (aka area hyperbolic cosinus ) (latin: Area cosinus hyperbolicus ):

${\ displaystyle \ operatorname {arcosh} x = \ ln \ left (x+{\ sqrt {x^{2} -1}} \ right)}$

Domänen är det slutna intervallet [1, +∞) .

Omvänd hyperbolisk tangent

Invers hyperbolisk tangent (aka a rea hyperbolic tangent ) (latin: Area tangens hyperbolicus ):

${\ displaystyle \ operatorname {artanh} x = {\ frac {1} {2}} \ ln \ vänster ({\ frac {1+x} {1-x}} \ höger)}$

Domänen är det öppna intervallet (-1, 1) .

Omvänd hyperbolisk cotangent

Invers hyperbolic cotangent (aka, area hyperbolic cotangent ) (latin: Area cotangens hyperbolicus ):

${\ displaystyle \ operatorname {arcoth} x = {\ frac {1} {2}} \ ln \ vänster ({\ frac {x+1} {x-1}} \ höger)}$

Domänen är föreningen mellan de öppna intervallen (−∞, −1) och (1, +∞) .

Invers hyperbolisk sekant

Invers hyperbolisk sekant (aka, area hyperbolisk sekant ) (latin: Area secans hyperbolicus ):

${\ displaystyle \ operatorname {arsech} x = \ ln \ left ({\ frac {1} {x}}+{\ sqrt {{\ frac {1} {x^{2}}}-1}} \ höger ) = \ ln \ vänster ({\ frac {1+{\ sqrt {1-x^{2}}}} {x}} \ höger)}$

Domänen är det halvöppna intervallet (0, 1] .

Omvänd hyperbolisk kosekant

Invers hyperbolic cosecant (aka, area hyperbolic cosecant ) (latin: Area cosecans hyperbolicus ):

${\ displaystyle \ operatorname {arcsch} x = \ ln \ left ({\ frac {1} {x}}+{\ sqrt {{\ frac {1} {x^{2}}}+1}} \ höger )}}$

Domänen är den riktiga raden med 0 borttagen.

Tilläggsformler

${\ displaystyle \ operatorname {arsinh} u \ pm \ operatorname {arsinh} v = \ operatorname {arsinh} \ left (u {\ sqrt {1+v^{2}}} \ pm v {\ sqrt {1+u ^{2}}} \ höger)}$

${\ displaystyle \ operatorname {arcosh} u \ pm \ operatorname {arcosh} v = \ operatorname {arcosh} \ left (uv \ pm {\ sqrt {(u^{2} -1) (v^{2} -1 )}}\höger)}$

${\ displaystyle \ operatorname {artanh} u \ pm \ operatorname {artanh} v = \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {u \ pm v} {1 \ pm uv}} \ right)}$

${\ displaystyle \ operatorname {arcoth} u \ pm \ operatorname {arcoth} v = \ operatorname {arcoth} \ left ({\ frac {1 \ pm uv} {u \ pm v}} \ right)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {arsinh} u+\ operatorname {arcosh} v & = \ operatorname {arsinh} \ left (uv+{\ sqrt {(1+u^{2}) (v^{2} -1)}} \ höger) \\ & = \ operatorname {arcosh} \ vänster (v {\ sqrt {1+u^{2}}}+u {\ sqrt {v^{2} -1}} \ höger) \ end {align}}}$

Andra identiteter

${\ displaystyle {\ begin {align} 2 \ operatorname {arcosh} x & = \ operatorname {arcosh} (2x^{2} -1) & \ quad {\ hbox {for}} x \ geq 1 \\ 4 \ operatorname {arcosh} x & = \ operatorname {arcosh} (8x^{4} -8x^{2} +1) & \ quad {\ hbox {för}} x \ geq 1 \\ 2 \ operatorname {arsinh} x & = \ operatorname {arcosh} (2x^{2} +1) & \ quad {\ hbox {for}} x \ geq 0 \\ 4 \ operatorname {arsinh} x & = \ operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x ^{2} +1) & \ quad {\ hbox {för}} x \ geq 0 \ end {align}}}$

${\ displaystyle \ ln (x) = \ operatorname {arcosh} \ left ({\ frac {x^{2} +1} {2x}} \ right) = \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {x ^{2} -1} {2x}} \ höger) = \ operatornamn {artanh} \ vänster ({\ frac {x^{2} -1} {x^{2} +1}} \ höger)}$

Sammansättning av hyperboliska och inversa hyperboliska funktioner

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ sinh (\ operatorname {arcosh} x) = {\ sqrt {x^{2} -1}} \ quad {\ text {för}} \ quad | x |> 1 \\ & \ sinh (\ operatorname {artanh} x) = {\ frac {x} {\ sqrt {1 -x^{2}}}} \ quad {\ text {för}} \ quad -1 <x < 1 \\ & \ cosh (\ operatorname {arsinh} x) = {\ sqrt {1+x^{2}}} \\ & \ cosh (\ operatorname {artanh} x) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 -x^{2}}}} \ quad {\ text {för}} \ quad -1 <x <1 \\ & \ tanh (\ operatorname {arsinh} x) = {\ frac {x} { \ sqrt {1+x^{2}}}} \\ & \ tanh (\ operatorname {arcosh} x) = {\ frac {\ sqrt {x^{2} -1}} {x}} \ quad { \ text {för}} \ quad | x |> 1 \ end {align}}}$

Sammansättning av inversa hyperboliska och trigonometriska funktioner

${\ displaystyle \ operatorname {arsinh} \ left (\ tan \ alpha \ right) = \ operatorname {artanh} \ left (\ sin \ alpha \ right) = \ ln \ left ({\ frac {1+ \ sin \ alpha } {\ cos \ alpha}} \ right) = \ pm \ operatorname {arcosh} \ left ({\ frac {1} {\ cos \ alpha}} \ right)}$

${\ displaystyle \ ln \ left (\ left | \ tan \ alpha \ right | \ right) =-\ operatorname {artanh} \ left (\ cos 2 \ alpha \ right)}$

Konverteringar

${\ displaystyle \ ln x = \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {x^{2} -1} {x^{2} +1}} \ right) = \ operatorname {arsinh} \ left ({ \ frac {x^{2} -1} {2x}} \ höger) = \ pm \ operatornamn {arcosh} \ vänster ({\ frac {x^{2} +1} {2x}} \ höger)}$

${\ displaystyle \ operatorname {artanh} x = \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {1-x^{2}}}} \ right) = \ pm \ operatorname {arcosh} \ vänster ({\ frac {1} {\ sqrt {1-x^{2}}}} \ höger)}$

${\ displaystyle \ operatorname {arsinh} x = \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {1+x^{2}}}} \ right) = \ pm \ operatorname {arcosh} \ vänster ({\ sqrt {1+x^{2}}} \ höger)}$

${\ displaystyle \ operatorname {arcosh} x = \ left | \ operatorname {arsinh} \ left ({\ sqrt {x^{2} -1}} \ right) \ right | = \ left | \ operatorname {artanh} \ vänster ({\ frac {\ sqrt {x^{2} -1}} {x}} \ höger) \ höger |}$

Derivat

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arsinh} x & {} = {\ frac {1} {\ sqrt {x^{2} +1}}}, { \ text {för alla verkliga}} x \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arcosh} x & {} = {\ frac {1} {\ sqrt {x^{2} -1}}} , {\ text {för alla verkliga}} x> 1 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {artanh} x & {} = {\ frac {1} {1-x^{2}}} , {\ text {for all real}} | x | <1 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arcoth} x & {} = {\ frac {1} {1-x^{2} }}, {\ text {för alla verkliga}} | x |> 1 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arsech} x & {} = {\ frac {-1} {x {\ sqrt {1-x^{2}}}}}, {\ text {för alla verkliga}} x \ in (0,1) \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arcsch} x & {} = {\ frac {-1} {| x | {\ sqrt {1+x^{2}}}}}, {\ text {för alla verkliga}} x {\ text {, utom}} 0 \\\ slut {align}}}$

För ett exempel på differentiering: låt θ = arsinh x , så (där sinh ² θ = (sinh θ ) ² ):

${\ displaystyle {\ frac {d \, \ operatorname {arsinh} x} {dx}} = {\ frac {d \ theta} {d \ sinh \ theta}} = {\ frac {1} {\ cosh \ theta }} = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ sinh ^{2} \ theta}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1+x ^{2}}}}.}$

Serieutvidgningar

Expansionsserier kan erhållas för ovanstående funktioner:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {arsinh} x & = x- \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) {\ frac {x^{3}} {3}}+\ vänster ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ höger) {\ frac {x^{5}} {5}}-\ vänster ({\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 } {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ höger) {\ frac {x^{7}} {7}} \ pm \ cdots \\ & = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \ vänster ({\ frac {(-1)^{n} (2n)!} {2^{2n} (n!)^{2}}} \ höger) {\ frac {x^{2n+1}} {2n+1}}, \ qquad \ vänster | x \ höger | <1 \ slut {anpassad}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {arcosh} x & = \ ln (2x)-\ left (\ left ({\ frac {1} {2}} \ right) {\ frac {x^{-2 }} {2}}+\ vänster ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ höger) {\ frac {x^{-4}} {4}}+\ vänster ({\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ right) {\ frac {x^{-6}} {6}}+\ cdots \ right) \\ & = \ ln (2x)-\ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ vänster ({\ frac {(2n)!} {2^{2n} (n!)^{2}}} \ höger) {\ frac {x^{-2n}} {2n}}, \ qquad \ vänster | x \ höger |> 1 \ slut {anpassad}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {artanh} x & = x+{\ frac {x^{3}} {3}}+{\ frac {x^{5}} {5}}+{\ frac {x^{7}} {7}}+\ cdots \\ & = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {x^{2n+1}} {2n+1}}, \ qquad \ vänster | x \ höger | <1 \ slut {anpassad}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {arcsch} x = \ operatorname {arsinh} {\ frac {1} {x}} & = x^{-1}-\ left ({\ frac {1} { 2}} \ höger) {\ frac {x^{-3}} {3}}+\ vänster ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ höger) {\ frac {x^ {-5}} {5}}-\ vänster ({\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ höger) {\ frac {x^{-7}} { 7}} \ pm \ cdots \\ & = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \ left ({\ frac {(-1)^{n} (2n)!} {2^{2n} (n!)^{2}}} \ höger) {\ frac {x^{-(2n+1)}} {2n+1}}, \ qquad \ vänster | x \ höger |> 1 \ slut {justerad }}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {arsech} x = \ operatorname {arcosh} {\ frac {1} {x}} & = \ ln {\ frac {2} {x}}-\ left (\ vänster ({\ frac {1} {2}} \ höger) {\ frac {x^{2}} {2}}+\ vänster ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ höger) {\ frac {x^{4}} {4}}+\ vänster ({\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ höger) {\ frac {x ^{6}} {6}}+\ cdots \ right) \\ & = \ ln {\ frac {2} {x}}-\ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ left ({\ frac {(2n)!} {2^{2n} (n!)^{2}}} \ höger) {\ frac {x^{2n}} {2n}}, \ qquad 0 <x \ leq 1 \ slut {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {arcoth} x = \ operatorname {artanh} {\ frac {1} {x}} & = x^{-1}+{\ frac {x^{-3} } {3}}+{\ frac {x^{-5}} {5}}+{\ frac {x^{-7}} {7}}+\ cdots \\ & = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {x^{-(2n+1)}} {2n+1}}, \ qquad \ vänster | x \ höger |> 1 \ slut {anpassad}}}$

Asymptotisk expansion för arsinh x ges av

${\ displaystyle \ operatorname {arsinh} x = \ ln (2x)+\ sum \ limit _ {n = 1}^{\ infty} {\ left ({-1} \ right)^{n-1} {\ frac {\ vänster ({2n-1} \ höger) !!} {2n \ vänster ({2n} \ höger) !!}}} {\ frac {1} {x^{2n}}}}$

Huvudvärden i det komplexa planet

Som funktioner i en komplex variabel är inversa hyperboliska funktioner flervärdesfunktioner som är analytiska , förutom vid ett begränsat antal punkter. För en sådan funktion är det vanligt att definiera ett huvudvärde , vilket är en enda värderad analytisk funktion som sammanfaller med en specifik gren av funktionen med flera värden, över en domän som består av det komplexa planet i vilket ett begränsat antal bågar (vanligtvis hälften linjer eller linjesegment ) har tagits bort. Dessa bågar kallas grenskärningar . För att specificera grenen, det vill säga definiera vilket värde för funktionen med flera värden som beaktas vid varje punkt, definierar man i allmänhet den vid en viss punkt och härleder värdet överallt i definitionsområdet för huvudvärdet genom analytisk fortsättning . När det är möjligt är det bättre att definiera huvudvärdet direkt - utan att hänvisa till analytisk fortsättning.

Till exempel för kvadratroten definieras huvudvärdet som kvadratroten som har en positiv verklig del . Detta definierar en enda värderad analytisk funktion, som definieras överallt, med undantag för icke-positiva verkliga värden för variablerna (där de två kvadratrötterna har en noll verklig del). Detta huvudvärde för kvadratrotfunktionen anges i det följande. På samma sätt definieras logaritmens huvudvärde, betecknat i det följande, som det värde för vilket den imaginära delen har det minsta absoluta värdet. Det definieras överallt förutom icke-positiva verkliga värden för variabeln, för vilka två olika värden i logaritmen når minimum. ${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Log}}$

För alla inversa hyperboliska funktioner kan huvudvärdet definieras i termer av kvadratrots huvud- och logaritmfunktion. I vissa fall ger emellertid formlerna för § Definitioner när det gäller logaritmer inte ett korrekt huvudvärde, eftersom det ger en definitionsdomän som är för liten och i ett fall icke-ansluten .

Huvudvärde för den inversa hyperboliska sinusen

Huvudvärdet för den inversa hyperboliska sinusen ges av

${\ displaystyle \ operatorname {arsinh} z = \ operatorname {Log} (z+{\ sqrt {z^{2} +1}} \,) \ ,.}$

Argumentet för kvadratroten är ett icke-positivt reellt tal, om och bara om z tillhör ett av intervallen [ i , + i ∞) och ( -i ∞, -i ] för den imaginära axeln. Om argumentet för logaritmen är verklig, då är den positiv. Således definierar denna formel ett huvudvärde för arsinh, med grensnitt [ i , + i ∞) och ( - i ∞, - i ] . Detta är optimalt, eftersom grenskärningarna måste ansluta ental pekar i och - i till oändligheten.

Huvudvärde för den inversa hyperboliska cosinus

Formeln för den inversa hyperboliska cosinus som ges i § Invers hyperbolisk cosinus är inte bekväm, eftersom liknande värdena för logaritmen och kvadratroten inte skulle vara huvudvärdet för arcosh för imaginär z . Således måste kvadratroten faktoriseras, vilket leder till

${\ displaystyle \ operatorname {arcosh} z = \ operatorname {Log} (z+{\ sqrt {z+1}} {\ sqrt {z-1}} \,) \ ,.}$

Kvadratrots huvudvärden är båda definierade, förutom om z tillhör det verkliga intervallet (−∞, 1] . Om logaritmens argument är verkligt, så är z verkligt och har samma tecken. Så ovanstående formel definierar ett huvudvärde för arcosh utanför det verkliga intervallet (−∞, 1] , vilket alltså är det unika grenavsnittet.

Huvudvärden för den inversa hyperboliska tangenten och cotangenten

Formlerna som ges i § Definitioner i termer av logaritmer antyder

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {artanh} z & = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {Log} \ vänster ({\ frac {1+z} {1-z}} \ höger ) \\\ operatorname {arcoth} z & = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {Log} \ left ({\ frac {z+1} {z-1}} \ right) \ end {align} }}$

för definitionen av huvudvärdena för den inversa hyperboliska tangenten och cotangenten. I dessa formler är logaritmens argument reellt om och bara om z är verkligt. För artanh är detta argument i det verkliga intervallet (−∞, 0] , om z tillhör antingen (−∞, −1] eller [1, ∞) . För arcoth är logaritmens argument i (−∞ , 0] , om och bara om z tillhör det verkliga intervallet [−1, 1] .

Därför definierar dessa formler praktiska huvudvärden, för vilka grenskärningarna är (−∞, −1] och [1, ∞) för den inversa hyperboliska tangenten och [−1, 1] för den inversa hyperboliska cotangenten.

Med tanke på en bättre numerisk utvärdering nära grenskärningarna använder vissa författare följande definitioner av huvudvärdena, även om den andra introducerar en borttagbar singularitet vid z = 0 . De två definitionerna av skiljer sig åt för verkliga värden på med . De av skiljer sig åt för verkliga värden av med . ${\ displaystyle \ operatorname {artanh}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z> 1}$${\ displaystyle \ operatorname {arcoth}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z \ i [0,1)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {artanh} z & = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Log} \ left ({1+z} \ right)-{\ tfrac {1} { 2}} \ operatorname {Log} \ left ({1-z} \ right) \\\ operatorname {arcoth} z & = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Log} \ left ({1+ { \ frac {1} {z}}} \ right)-{\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Log} \ left ({1-{\ frac {1} {z}}} \ right) \ slut {align}}}$

Huvudvärde för den inversa hyperboliska kosekanten

För den inversa hyperboliska kosekanten definieras huvudvärdet som

${\ displaystyle \ operatorname {arcsch} z = \ operatorname {Log} \ left ({\ frac {1} {z}}+{\ sqrt {{\ frac {1} {z^{2}}}+1} }\,\höger)}$.

Det definieras när logaritmens och kvadratrots argument inte är icke-positiva reella tal. Kvadratrots huvudvärde definieras således utanför intervallet [ - i , i ] för den imaginära linjen. Om logaritmens argument är verkligt, är z ett reellt tal som inte är noll, och detta innebär att logaritmens argument är positivt.

Således definieras huvudvärdet av ovanstående formel utanför grenavsnittet , bestående av intervallet [ - i , i ] för den imaginära linjen.

För z = 0 finns det en singulär punkt som ingår i grenavsnittet.

Huvudvärde för den inversa hyperboliska sekanten

Här, som i fallet med den inversa hyperboliska cosinus, måste vi faktorisera kvadratroten. Detta ger huvudvärdet

${\ displaystyle \ operatorname {arsech} z = \ operatorname {Log} \ left ({\ frac {1} {z}}+{\ sqrt {{\ frac {1} {z}}+1}} \, { \ sqrt {{\ frac {1} {z}}-1}} \ höger).}$

Om kvadratrots argument är verkligt, så är z verkligt, och det följer att båda huvudvärdena för kvadratrötter är definierade, förutom om z är verkligt och tillhör ett av intervallerna (−∞, 0] och [1, +∞) . Om logaritmens argument är verkligt och negativt, är z också verkligt och negativt. Därav följer att huvudvärdet för arsech är väldefinierat, med ovanstående formel utanför två grenskärningar , de verkliga intervallerna (−∞, 0] och [1, +∞) .

För z = 0 finns det en singulär punkt som ingår i en av grenskärningarna.

Grafisk representation

I den följande grafiska framställningen av de huvudsakliga värdena för de inversa hyperboliska funktionerna visas grenskärningarna som diskontinuiteter av färgen. Det faktum att hela grenavsnittet uppträder som diskontinuiteter visar att dessa huvudvärden inte får utvidgas till analytiska funktioner definierade över större domäner. Med andra ord är de ovan definierade grenskärningarna minimala.

${\ displaystyle \ operatorname {arsinh} (z)}$

${\ displaystyle \ operatorname {arcosh} (z)}$

${\ displaystyle \ operatorname {artanh} (z)}$

${\ displaystyle \ operatorname {arcoth} (z)}$

${\ displaystyle \ operatorname {arsech} (z)}$

${\ displaystyle \ operatorname {arcsch} (z)}$

Inversa hyperboliska funktioner i det komplexa z-planet: färgen vid varje punkt i planet representerar det komplexa värdet för respektive funktion vid den punkten

Se även

• Komplex logaritm
• Hyperbolisk sekant distribution
• ISO 80000-2
• Lista över integraler av inversa hyperboliska funktioner

Referenser

Bibliografi

• Herbert Busemann och Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics , sidan 207, Academic Press .

externa länkar

• "Invers hyperboliska funktioner" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]