Слабая двойственность - Weak duality

В прикладной математике , слабая двойственность является концепцией оптимизации , которая утверждает , что разрыв двойственности всегда больше или равен 0. Это означает , что решение двойственных (минимизация) проблемы всегда больше или равно к раствору для ассоциированного Primal проблема . Это противоположно сильной двойственности, которая имеет место только в определенных случаях.

Использует

Многие алгоритмы прямого двойственного приближения основаны на принципе слабой двойственности.

Слабая теорема двойственности

Изначальная проблема:

Максимизировать c ^T x при условии A x ≤ b , x ≥ 0;

Двойная проблема,

Минимизировать b ^T y при условии, что A ^T y ≥ c , y ≥ 0.

Теорема слабой двойственности утверждает, что c ^T x ≤ b ^T y .

А именно, если это допустимое решение для линейной программы прямой максимизации и допустимое решение для линейной программы двойной минимизации, то слабая теорема двойственности может быть сформулирована как , где и - коэффициенты соответствующих целевых функций. ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ...., x_ {n})}$${\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, ...., y_ {m})}$${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} c_ {j} x_ {j} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {m} b_ {i} y_ {i}}$${\ displaystyle c_ {j}}$${\ displaystyle b_ {i}}$

Доказательство: c ^T x = x ^T c ≤ x ^T A ^T y ≤ b ^T y

Обобщения

В более общем смысле, если это допустимое решение для проблемы прямой максимизации и допустимое решение для проблемы двойной минимизации, то слабая двойственность подразумевает, где и - целевые функции для прямой и двойственной задач соответственно. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle е (х) \ Leq г (у)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

Смотрите также

• Выпуклая оптимизация
• Неравенство макс – мин.

Рекомендации