Распределение произведения двух случайных величин - Distribution of the product of two random variables

Распределение продуктов является распределение вероятностей строятся как распределение продукта из случайных величин , имеющих два других известных распределений. Учитывая две статистически независимые случайные величины X и Y , распределение случайной величины Z , которое формируется как произведение

${\ Displaystyle Z = XY}$

это распространение продукта .

Алгебра случайных величин

Продукт - это один из типов алгебры для случайных величин: с распределением продукта связаны распределение соотношений, распределение сумм (см. Список сверток распределений вероятностей ) и распределение разностей. В более общем смысле можно говорить о комбинациях сумм, разностей, произведений и соотношений.

Многие из этих распределений описаны в книге Мелвина Д. Спрингера 1979 года «Алгебра случайных величин» .

Вывод независимых случайных величин

Если и - две независимые непрерывные случайные величины, описываемые функциями плотности вероятности, а функция плотности вероятности равна ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f_ {X}}$${\ displaystyle f_ {Y}}$${\ Displaystyle Z = XY}$

${\ displaystyle f_ {Z} (z) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} (x) f_ {Y} (z / x) {\ frac {1} {| x | }} \, dx.}$

Доказательство

Сначала написать интегральную функцию распределения в начиная с его определением ${\ displaystyle Z}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} F_ {Z} (z) & \, {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ mathbb {P} (Z \ leq z) \\ & = \ mathbb {P} (XY \ leq z) \\ & = \ mathbb {P} (XY \ leq z, X \ geq 0) + \ mathbb {P} (XY \ leq z, X \ leq 0) \\ & = \ mathbb {P} (Y \ leq z / X, X \ geq 0) + \ mathbb {P} (Y \ geq z / X, X \ leq 0) \\ & = \ int _ {0} ^ { \ infty} f_ {X} (x) \ int _ {- \ infty} ^ {z / x} f_ {Y} (y) \, dy \, dx + \ int _ {- \ infty} ^ {0} f_ {X} (x) \ int _ {z / x} ^ {\ infty} f_ {Y} (y) \, dy \, dx \ end {выровнено}}}$

Мы находим искомую функцию плотности вероятности, взяв производную от обеих частей по . Поскольку в правой части появляется только в пределах интегрирования, производная легко вычисляется с использованием основной теоремы исчисления и цепного правила . (Обратите внимание на отрицательный знак, который необходим, когда переменная находится в нижнем пределе интегрирования.) ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f_ {Z} (z) & = \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {X} (x) f_ {Y} (z / x) {\ frac {1 } {x}} \, dx- \ int _ {- \ infty} ^ {0} f_ {X} (x) f_ {Y} (z / x) {\ frac {1} {x}} \, dx \\ & = \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {X} (x) f_ {Y} (z / x) {\ frac {1} {| x |}} \, dx + \ int _ { - \ infty} ^ {0} f_ {X} (x) f_ {Y} (z / x) {\ frac {1} {| x |}} \, dx \\ & = \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} f_ {X} (x) f_ {Y} (z / x) {\ frac {1} {| x |}} \, dx. \ end {выровнено}}}$

где абсолютное значение используется для удобного объединения двух терминов.

Альтернативное доказательство

Более быстрое и компактное доказательство начинается с того же шага написания кумулятивного распределения, начиная с его определения: ${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle {\ begin {align} F_ {Z} (z) & {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ \ mathbb {P} (Z \ leq z) \\ & = \ mathbb {P} (XY \ leq z) \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} ( x) f_ {Y} (y) u (z-xy) \, dy \, dx \ end {выровнено}}}$

где - ступенчатая функция Хевисайда и служит для ограничения области интегрирования значениями и удовлетворяющими . ${\ Displaystyle и (\ cdot)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle xy \ leq z}$

Мы находим искомую функцию плотности вероятности, взяв производную от обеих частей по . ${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f_ {Z} (z) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} (x ) f_ {Y} (y) \ delta (z-xy) \, dy \, dx \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} (x) f_ {Y} ( z / x) \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (z-xy) \, dy \ right] \, dx \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} f_ {X} (x) f_ {Y} (z / x) {\ frac {1} {| x |}} \, dx. \ end {выровнено}}}$

где мы используем свойства переноса и масштабирования дельта-функции Дирака . ${\ displaystyle \ delta}$

Более интуитивное описание процедуры показано на рисунке ниже. Объединенный PDF-файл существует в плоскости -, и дуга постоянного значения показана заштрихованной линией. Чтобы найти предельную вероятность на этой дуге, проинтегрируйте по приращениям площади на этом контуре. ${\ displaystyle f_ {X} (x) f_ {Y} (y)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle f_ {Z} (z)}$${\ Displaystyle dx \, dy \; е (х, у)}$

Начнем с того , что у нас есть . Таким образом, приращение вероятности равно . Поскольку подразумевается , мы можем связать приращение вероятности с приращением -инкрементом, а именно . Затем интегрирование завершается . ${\ displaystyle y = {\ frac {z} {x}}}$${\ displaystyle dy = - {\ frac {z} {x ^ {2}}} \, dx = - {\ frac {y} {x}} \, dx}$${\ displaystyle \ delta p = f (x, y) \, dx \, | dy | = f_ {X} (x) f_ {Y} (z / x) {\ frac {y} {| x |}} \, dx \, dx}$${\ displaystyle z = yx}$${\ displaystyle dz = y \, dx}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ delta p = f_ {X} (x) f_ {Y} (z / x) {\ frac {1} {| x |}} \, dx \, dz}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle f_ {Z} (z) = \ int f_ {X} (x) f_ {Y} (z / x) {\ frac {1} {| x |}} \, dx}$

Байесовская интерпретация

Позвольте быть случайной выборкой, взятой из распределения вероятностей . Масштабирование по генерирует выборку из масштабированного распределения, которую можно записать как условное распределение . ${\ displaystyle X \ sim f (x)}$${\ displaystyle f_ {x} (x)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta X \ sim {\ frac {1} {| \ theta |}} f_ {X} \ left ({\ frac {x} {\ theta}} \ right)}$${\ displaystyle g_ {x} (x | \ theta) = {\ frac {1} {| \ theta |}} f_ {x} \ left ({\ frac {x} {\ theta}} \ right)}$

Позволить быть случайной величиной с PDF , распределение нормированного образца становится и интегрируя из мы получаем так рисуется из этого распределения . Однако, заменяя определение, мы также получаем, которое имеет ту же форму, что и распределение продукта выше. Таким образом, байесовское апостериорное распределение - это распределение произведения двух независимых случайных выборок и . ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle f _ {\ theta} (\ theta)}$${\ displaystyle f_ {X} (\ theta x) = g_ {X} (x \ mid \ theta) f _ {\ theta} (\ theta)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle h_ {x} (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g_ {X} (x | \ theta) f _ {\ theta} (\ theta) d \ theta}$${\ displaystyle \ theta X}$${\ displaystyle \ theta X \ sim h_ {X} (x)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h_ {X} (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {| \ theta |}} f_ {x} \ left ({\ frac {x} {\ theta}} \ right) f _ {\ theta} (\ theta) \, d \ theta}$${\ displaystyle h_ {X} (x)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle X}$

Для случая, когда одна переменная является дискретной, пусть имеет вероятность на уровнях с . Условная плотность . Следовательно . ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle P_ {i}}$${\ displaystyle \ theta _ {я}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я} P_ {я} = 1}$${\ displaystyle f_ {X} (x \ mid \ theta _ {i}) = {\ frac {1} {| \ theta _ {i} |}} f_ {x} \ left ({\ frac {x} { \ theta _ {i}}} \ right)}$${\ displaystyle f_ {X} (\ theta x) = \ sum {\ frac {P_ {i}} {| \ theta _ {i} |}} f_ {X} \ left ({\ frac {x} {\ theta _ {i}}} \ right)}$

Ожидание произведения случайных величин

Когда две случайные величины статистически независимы, ожидание их продукта является продуктом их ожиданий . Это можно доказать из закона полного ожидания :

${\ displaystyle \ operatorname {E} (XY) = \ operatorname {E} (\ operatorname {E} (XY \ mid Y))}$

Во внутреннем выражении Y - константа. Следовательно:

${\ displaystyle \ operatorname {E} (XY \ mid Y) = Y \ cdot \ operatorname {E} [X \ mid Y]}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (XY) = \ operatorname {E} (Y \ cdot \ operatorname {E} [X \ mid Y])}$

Это справедливо , даже если Х и Y являются статистически зависимыми в этом случае является функцией Y . В частном случае , в котором Х и Y статистически независимы, то константа , не зависящая от Y . Следовательно: ${\ displaystyle \ operatorname {E} [X \ mid Y]}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {E} (XY) = \ OperatorName {E} (Y \ cdot \ OperatorName {E} [X])}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {E} (XY) = \ OperatorName {E} (X) \ cdot \ OperatorName {E} (Y)}$

Дисперсия произведения независимых случайных величин

Позвольте быть некоррелированными случайными величинами со средними и дисперсиями . Если, кроме того, случайные величины и некоррелированы, то дисперсия продукта XY равна ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle \ mu _ {X}, \ mu _ {Y},}$${\ Displaystyle \ sigma _ {X} ^ {2}, \ sigma _ {Y} ^ {2}}$${\ displaystyle X ^ {2}}$${\ displaystyle Y ^ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (XY) = (\ sigma _ {X} ^ {2} + \ mu _ {X} ^ {2}) (\ sigma _ {Y} ^ {2} + \ mu _ {Y} ^ {2}) - \ mu _ {X} ^ {2} \ mu _ {Y} ^ {2}}$

В случае продукта более двух переменных, если они статистически независимы, то дисперсия их продукта равна ${\ Displaystyle X_ {1} \ cdots X_ {n}, \; \; n> 2}$

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (X_ {1} X_ {2} \ cdots X_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (\ sigma _ {i} ^ {2} + \ mu _ {i} ^ {2}) - \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ mu _ {i} ^ {2}}$

Характеристическая функция произведения случайных величин

Предположим, что X , Y - независимые случайные величины. Характеристическая функция X равна , а распределение Y известно. Тогда из закона полного ожидания имеем ${\ Displaystyle \ varphi _ {X} (т)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi _ {Z} (t) & = \ operatorname {E} (e ^ {itXY}) \\ & = \ operatorname {E} (\ operatorname {E} (e ^ {itXY} \ mid Y)) \\ & = \ operatorname {E} (\ operatorname {E} (e ^ {itXY} \ mid Y)) \\ & = \ operatorname {E} (\ varphi _ {X} (tY)) \ end {выровнено}}}$

Если характеристические функции и распределения как X, так и Y известны, то, в качестве альтернативы, также верно. ${\ Displaystyle \ varphi _ {Z} (t) = \ OperatorName {E} (\ varphi _ {Y} (tX))}$

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина распределения с поддержкой только на случайной выборке имеет вид ${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle х \ geq 0}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} f (x) = \ varphi (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, dx = \ operatorname { E} [X ^ {s-1}].}$

Обратное преобразование

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ^ {- 1} \ varphi (s) = f (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} x ^ {- s} \ varphi (s) \, ds.}$

если это две независимые случайные выборки из разных распределений, то преобразование Меллина их продукта равно произведению их преобразований Меллина: ${\ displaystyle X {\ text {и}} Y}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {XY} (s) = {\ mathcal {M}} _ {X} (s) {\ mathcal {M}} _ {Y} (s)}$

Если s ограничен целыми значениями, более простой результат будет

${\ displaystyle \ operatorname {E} [(XY) ^ {n}] = \ operatorname {E} [X ^ {n}] \; \ operatorname {E} [Y ^ {n}]}$

Таким образом, моменты случайного произведения являются произведением соответствующих моментов, и это распространяется на нецелые моменты, например ${\ displaystyle XY}$${\ displaystyle X {\ text {и}} Y}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [{\ sqrt [{p}] {XY}}] = \ operatorname {E} [{\ sqrt [{p}] {X}}] \; \ operatorname {E} [ {\ sqrt [{p}] {Y}}].}$

PDF функции может быть восстановлен по ее моментам, используя метод приближения точки перевала .

Дальнейший результат состоит в том, что для независимых X , Y

${\ displaystyle \ operatorname {E} [X ^ {p} Y ^ {q}] = \ operatorname {E} [X ^ {p}] \ operatorname {E} [Y ^ {q}]}$

Пример гамма-распределения Чтобы проиллюстрировать, как произведение моментов дает гораздо более простой результат, чем нахождение моментов распределения произведения, позвольте взять выборку из двух гамма-распределений с параметрами , моменты которых равны ${\ displaystyle X, Y}$${\ Displaystyle \ Гамма (\ тета) ^ {- 1} х ^ {\ тета -1} е ^ {- х}}$${\ Displaystyle \ тета = \ альфа, \ бета}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {E} [X ^ {p}] = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {p} \ Gamma (x, \ theta) \, dx = {\ frac {\ Gamma (\ theta + p)} {\ Gamma (\ theta)}}.}$

Умножение соответствующих моментов дает результат преобразования Меллина

${\ displaystyle \ operatorname {E} [(XY) ^ {p}] = \ operatorname {E} [X ^ {p}] \; \ operatorname {E} [Y ^ {p}] = {\ frac {\ Гамма (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)}} \; {\ frac {\ Gamma (\ beta + p)} {\ Gamma (\ beta)}}}$

Независимо, известно, что произведение двух независимых выборок гаммы имеет распределение

${\ Displaystyle е (г, \ альфа, \ бета) = 2 \ гамма (\ альфа) ^ {- 1} \ гамма (\ бета) ^ {- 1} г ^ {{\ гидроразрыва {\ альфа + \ бета} {2}} - 1} K _ {\ alpha - \ beta} (2 {\ sqrt {z}}), \; z \ geq 0.}$

Чтобы найти моменты этого, произведите замену переменной , упростив аналогичные интегралы до: ${\ displaystyle y = 2 {\ sqrt {z}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} z ^ {p} K _ {\ nu} (2 {\ sqrt {z}}) \, dz = 2 ^ {- 2p-1} \ int _ { 0} ^ {\ infty} y ^ {2p + 1} K _ {\ nu} (y) \, dy}$

таким образом

${\ displaystyle 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} z ^ {{\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} - 1} K _ {\ alpha - \ beta} (2 {\ sqrt {z }}) \, dz = 2 ^ {- (\ alpha + \ beta) -2p + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} y ^ {(\ alpha + \ beta) + 2p-1} K_ {\ alpha - \ beta} (y) \, dy}$

Определенный интеграл

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} y ^ {\ mu} K _ {\ nu} (y) \, dy = 2 ^ {\ mu -1} \ Gamma \ left ({\ frac {1 + \ mu + \ nu} {2}} \ right) \ Gamma \ left ({\ frac {1+ \ mu - \ nu} {2}} \ right)}$ хорошо задокументирован, и мы наконец

${\ displaystyle {\ begin {align} E [Z ^ {p}] & = {\ frac {2 ^ {- (\ alpha + \ beta) -2p + 1} \; 2 ^ {(\ alpha + \ beta) ) + 2p-1}} {\ Gamma (\ alpha) \; \ Gamma (\ beta)}} \ Gamma \ left ({\ frac {(\ alpha + \ beta + 2p) + (\ alpha - \ beta) } {2}} \ right) \ Gamma \ left ({\ frac {(\ alpha + \ beta + 2p) - (\ alpha - \ beta)} {2}} \ right) \\\\ & = {\ гидроразрыв {\ Gamma (\ alpha + p) \, \ Gamma (\ beta + p)} {\ Gamma (\ alpha) \, \ Gamma (\ beta)}} \ end {align}}}$

который, после некоторых трудностей, согласился с приведенным выше результатом продукта.

Если X , Y нарисованы независимо от гамма-распределения с параметрами формы, тогда ${\ Displaystyle \ альфа, \; \ бета}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [X ^ {p} Y ^ {q}] = \ operatorname {E} [X ^ {p}] \; \ operatorname {E} [Y ^ {q}] = {\ frac {\ Gamma (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)}} \; {\ frac {\ Gamma (\ beta + q)} {\ Gamma (\ beta)}}}$

Этот тип результата является универсальным, поскольку для двумерных независимых переменных, таким образом, ${\ Displaystyle f_ {X, Y} (x, y) = f_ {X} (x) f_ {Y} (y)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} [X ^ {p} Y ^ {q}] & = \ int _ {x = - \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {y = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {p} y ^ {q} f_ {X, Y} (x, y) \, dy \, dx \\ & = \ int _ {x = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {p} {\ Big [} \ int _ {y = - \ infty} ^ {\ infty} y ^ {q} f_ {Y} (y) \, dy {\ Big]} f_ {X} (x) \, dx \\ & = \ int _ {x = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {p} f_ {X} (x) \, dx \ int _ {y = - \ infty} ^ {\ infty} y ^ {q} f_ {Y} (y) \, dy \\ & = \ operatorname {E} [X ^ {p}] \; \ operatorname {E} [Y ^ { q}] \ end {выровнен}}}$

или, что то же самое, ясно, что это независимые переменные. ${\ displaystyle X ^ {p} {\ text {and}} Y ^ {q}}$

Особые случаи

Логнормальные распределения

Распределение произведения двух случайных величин, которые имеют логнормальное распределение , снова логнормально. Это сам по себе частный случай более общего набора результатов, где логарифм произведения может быть записан как сумма логарифмов. Таким образом, в случаях, когда простой результат можно найти в списке сверток распределений вероятностей , когда сворачиваемые распределения являются логарифмами компонентов продукта, результат может быть преобразован, чтобы обеспечить распределение продукта. . Однако этот подход полезен только в том случае, если логарифмы компонентов продукта входят в некоторые стандартные семейства распределений.

Равномерно распределенные независимые случайные величины

Позвольте быть произведением двух независимых переменных, каждая из которых равномерно распределена на интервале [0,1], возможно, результатом преобразования копулы . Как отмечено выше в разделе «Логнормальные распределения», операции свертки PDF в домене журнала соответствуют произведению значений выборки в исходном домене. Таким образом, делая преобразование так , что каждая переменная распределяется независимо на u как ${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle Z = X_ {1} X_ {2}}$${\ Displaystyle и = \ ln (х)}$${\ Displaystyle p_ {U} (u) \, | du | = p_ {X} (x) \, | dx |}$

${\ displaystyle {\ frac {p_ {U} (u) = p_ {X} (x)} {| du / dx |}} = {\ frac {1} {x ^ {- 1}}} = e ^ {u}, \; \; - \ infty <u \ leq 0}$.

а свертка двух распределений - автосвертка

${\ displaystyle c (y) = \ int _ {u = 0} ^ {y} e ^ {u} e ^ {yu} du = - \ int _ {u = y} ^ {0} e ^ {y} du = -ye ^ {y}, \; \; - \ infty <y \ leq 0}$

Затем повторно преобразуйте переменную, чтобы получить распределение ${\ Displaystyle г = е ^ {у}}$

${\ displaystyle c_ {2} (z) = c_ {Y} (y) / | dz / dy | = {\ frac {-ye ^ {y}} {e ^ {y}}} = - y = \ ln (1 / z)}$ на интервале [0,1]

Для произведения нескольких (> 2) независимых выборок характерный функциональный маршрут является благоприятным. Если мы определим, то выше будет гамма-распределение формы 1 и масштабного коэффициента 1 , и его известная CF равна . Обратите внимание, что таким образом якобиан преобразования равен единице. ${\ displaystyle {\ tilde {y}} = - y}$${\ Displaystyle с ({\ тильда {y}})}$${\ Displaystyle с ({\ тильда {у}}) = {\ тильда {у}} е ^ {- {\ тильда {у}}}}$${\ displaystyle (1-оно) ^ {- 1}}$${\ displaystyle | d {\ тильда {y}} | = | dy |}$

Следовательно, свертка независимых выборок из имеет CF, который, как известно, является CF гамма-распределения формы : ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ tilde {Y}}}$${\ Displaystyle (1-оно) ^ {- п}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle c_ {n} ({\ tilde {y}}) = \ Gamma (n) ^ {- 1} {\ tilde {y}} ^ {(n-1)} e ^ {- {\ tilde { y}}} = \ Gamma (n) ^ {- 1} (- y) ^ {(n-1)} e ^ {y}}$.

Сделав обратное преобразование, мы получим PDF продукта n образцов: ${\ Displaystyle г = е ^ {у}}$

${\ displaystyle f_ {n} (z) = {\ frac {c_ {n} (y)} {| dz / dy |}} = \ Gamma (n) ^ {- 1} {\ Big (} - \ log z {\ Big)} ^ {n-1} e ^ {y} / e ^ {y} = {\ frac {{\ Big (} - \ log z {\ Big)} ^ {n-1}} { (n-1)! \; \; \;}} \; \; \; 0 <z \ leq 1}$

Следующий, более традиционный вывод из Stackexchange согласуется с этим результатом. Прежде всего, позволяя его CDF ${\ Displaystyle Z_ {2} = X_ {1} X_ {2}}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} F_ {Z_ {2}} (z) = \ Pr {\ Big [} Z_ {2} \ leq z {\ Big]} & = \ int _ {x = 0} ^ {1} \ Pr {\ Big [} X_ {2} \ leq {\ frac {z} {x}} {\ Big]} f_ {X_ {1}} (x) \, dx \\ & = \ int _ {x = 0} ^ {z} dx + \ int _ {x = z} ^ {1} {\ frac {z} {x}} \, dx \\ & = zz \ ​​log z, \; \; 0 <z \ leq 1 \ end {выровнено}}}$

Плотность ${\ displaystyle z_ {2} {\ text {is then}} f (z_ {2}) = - \ log (z_ {2})}$

Умножение на третью независимую выборку дает функцию распределения

${\ displaystyle {\ begin {align} F_ {Z_ {3}} (z) = \ Pr {\ Big [} Z_ {3} \ leq z {\ Big]} & = \ int _ {x = 0} ^ {1} \ Pr {\ Big [} X_ {3} \ leq {\ frac {z} {x}} {\ Big]} f_ {Z_ {2}} (x) \, dx \\ & = - \ int _ {x = 0} ^ {z} \ log (x) \, dx- \ int _ {x = z} ^ {1} {\ frac {z} {x}} \ log (x) \, dx \\ & = - z {\ Big (} \ log (z) -1 {\ Big)} + {\ frac {1} {2}} z \ log ^ {2} (z) \ end {выровнено}} }$

Взяв производную доходность ${\ displaystyle f_ {Z_ {3}} (z) = {\ frac {1} {2}} \ log ^ {2} (z), \; \; 0 <z \ leq 1.}$

Автор заметки предполагает, что в целом ${\ displaystyle f_ {Z_ {n}} (z) = {\ frac {(- \ log z) ^ {n-1}} {(n-1)! \; \; \;}}, \; \ ; 0 <z \ leq 1}$

Рисунок иллюстрирует природу приведенных выше интегралов. Заштрихованная область внутри единичного квадрата и ниже линии z = xy представляет CDF z. Это делится на две части. Первый - для 0 <x <z, где приращение площади в вертикальном слоте просто равно dx . Вторая часть находится ниже линии xy , имеет высоту y z / x и площадь приращения dx z / x .

Независимые центрально-нормальные распределения

Произведение двух независимых нормальных выборок следует модифицированной функции Бесселя. Позвольте быть выборками из нормального (0,1) распределения и . потом ${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle z = xy}$

${\ Displaystyle p_ {Z} (z) = {\ frac {K_ {0} (| z |)} {\ pi}}, \; \; \; - \ infty <z <+ \ infty}$

В принципе, дисперсию этого распределения можно определить с помощью определенного интеграла Градшейна и Рыжика:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {\ mu} K _ {\ nu} (ax) \, dx = 2 ^ {\ mu -1} a ^ {- \ mu -1} \ Гамма {\ Big (} {\ frac {1+ \ mu + \ nu} {2}} {\ Big)} \ Gamma {\ Big (} {\ frac {1+ \ mu - \ nu} {2}} {\ Big)}, \; \; a> 0, \; \ nu +1 \ pm \ mu> 0}$

таким образом ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {2} K_ {0} (| z |)} {\ pi}} \, dz = {\ frac {4} {\ pi}} \; \ Gamma ^ {2} {\ Big (} {\ frac {3} {2}} {\ Big)} = 1}$

Гораздо более простой результат, изложенный в разделе выше, заключается в том, что дисперсия продукта независимых выборок с нулевым средним равна произведению их дисперсий. Поскольку дисперсия каждой нормальной выборки равна единице, дисперсия продукта также равна единице.

Коррелированные центрально-нормальные распределения

Случай коррелированных нормальных выборок был недавно рассмотрен Надараджахой и Погани. Пусть будет нулевое среднее, единичная дисперсия, нормально распределенные переменные с коэффициентом корреляции${\ displaystyle X {\ text {,}} Y}$${\ displaystyle \ rho {\ text {и пусть}} Z = XY}$

потом

${\ displaystyle f_ {Z} (z) = {\ frac {1} {\ pi {\ sqrt {1- \ rho ^ {2}}}}} \ exp \ left ({\ frac {\ rho z} { 1- \ rho ^ {2}}} \ right) K_ {0} \ left ({\ frac {| z |} {1- \ rho ^ {2}}} \ right)}$

Среднее и дисперсия : среднее значение, полученное из определения коэффициента корреляции. Дисперсия может быть найдена путем преобразования двух некоррелированных переменных U, V с нулевым средним значением . Позволять ${\ Displaystyle \ OperatorName {E} [Z] = \ rho}$

${\ Displaystyle X = U, \; \; Y = \ rho U + {\ sqrt {(1- \ rho ^ {2})}} V}$

Тогда X, Y - переменные единичной дисперсии с коэффициентом корреляции и ${\ displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle (XY) ^ {2} = U ^ {2} {\ bigg (} \ rho U + {\ sqrt {(1- \ rho ^ {2})}} V {\ bigg)} ^ {2} = U ^ {2} {\ bigg (} \ rho ^ {2} U ^ {2} +2 \ rho {\ sqrt {1- \ rho ^ {2}}} UV + (1- \ rho ^ {2} ) V ^ {2} {\ bigg)}}$

Удаляя члены с нечетной степенью, ожидания которых, очевидно, равны нулю, получаем

${\ displaystyle \ operatorname {E} [(XY) ^ {2}] = \ rho ^ {2} \ operatorname {E} [U ^ {4}] + (1- \ rho ^ {2}) \ operatorname { E} [U ^ {2}] \ operatorname {E} [V ^ {2}] = 3 \ rho ^ {2} + (1- \ rho ^ {2}) = 1 + 2 \ rho ^ {2} }$

Поскольку у нас есть ${\ displaystyle (\ operatorname {E} [Z]) ^ {2} = \ rho ^ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Z) = \ operatorname {E} [Z ^ {2}] - (\ operatorname {E} [Z]) ^ {2} = 1 + 2 \ rho ^ {2} - \ rho ^ {2} = 1 + \ rho ^ {2}}$

Асимптота с высокой корреляцией В случае с высокой корреляцией произведение сходится в квадрате одной выборки. В этом случае асимптота равна и${\ displaystyle \ rho \ rightarrow 1}$${\ displaystyle K_ {0}}$${\ displaystyle K_ {0} (x) \ rightarrow {\ sqrt {\ tfrac {\ pi} {2x}}} e ^ {- x} {\ text {в пределе as}} x = {\ frac {| z |} {1- \ rho ^ {2}}} \ rightarrow \ infty}$

${\ displaystyle {\ begin {align} p (z) & \ rightarrow {\ frac {1} {\ pi {\ sqrt {1- \ rho ^ {2}}}}} \ exp \ left ({\ frac { \ rho z} {1- \ rho ^ {2}}} \ right) {\ sqrt {\ frac {\ pi (1- \ rho ^ {2})} {2z}}} \ exp \ left (- { \ frac {| z |} {1- \ rho ^ {2}}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi z}}} \ exp {\ Bigg (} { \ frac {- | z | + \ rho z} {(1- \ rho) (1+ \ rho)}} {\ Bigg)} \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi z }}} \ exp {\ Bigg (} {\ frac {-z} {1+ \ rho}} {\ Bigg)}, \; \; z> 0 \\ & \ rightarrow {\ frac {1} {\ Гамма ({\ tfrac {1} {2}}) {\ sqrt {2z}}}} e ^ {- {\ tfrac {z} {2}}}, \; \; {\ text {as}} \ rho \ rightarrow 1 \\\ конец {выровнено}}}$

которое представляет собой распределение хи-квадрат с одной степенью свободы.

Множественные коррелированные выборки . Nadarajaha et. al. далее показывают, что если iid случайных величин, взятых из и является их средним значением, то${\ displaystyle Z_ {1}, Z_ {2}, .. Z_ {n} {\ text {are}} n}$${\ displaystyle f_ {Z} (z)}$${\ displaystyle {\ bar {Z}} = {\ tfrac {1} {n}} \ sum Z_ {i}}$

${\ displaystyle f _ {\ bar {Z}} (z) = {\ frac {n ^ {n / 2} 2 ^ {- n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}}) }} | z | ^ {n / 2-1} \ exp \ left ({\ frac {\ beta - \ gamma} {2}} z \ right) {W} _ {0, {\ frac {1-n } {2}}} (| z |), \; \; - \ infty <z <\ infty.}$

где W - функция Уиттекера, а . ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {n} {1- \ rho}}, \; \; \ gamma = {\ frac {n} {1+ \ rho}}}$

Используя идентификатор , см., Например, компиляцию DLMF. уравнение (13.13.9), это выражение можно несколько упростить до ${\ displaystyle W_ {0, \ nu} (x) = {\ sqrt {\ frac {x} {\ pi}}} K _ {\ nu} (x / 2), \; \; x \ geq 0}$

${\ displaystyle f _ {\ bar {z}} (z) = {\ frac {n ^ {n / 2} 2 ^ {- n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}}) }} | z | ^ {n / 2-1} \ exp \ left ({\ frac {\ beta - \ gamma} {2}} z \ right) {\ sqrt {{\ frac {\ beta + \ gamma} {\ pi}} | z |}} \; K _ {\ frac {1-n} {2}} \ left ({\ frac {\ beta + \ gamma} {2}} | z | \ right), \ ; \; - \ infty <z <\ infty.}$

PDF дает распределение выборочной ковариации. Приблизительное распределение коэффициента корреляции можно найти с помощью преобразования Фишера.

Множественные нецентральные коррелированные выборки . Распределение продукта коррелированных нецентральных нормальных выборок было получено Cui et.al. и принимает вид бесконечного ряда модифицированных функций Бесселя первого рода.

Моменты произведения коррелированных центральных нормальных выборок

Для центрального нормального распределения N (0,1) моменты равны

${\ displaystyle \ operatorname {E} [X ^ {p}] = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {p} \ exp (- {\ tfrac {x ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}) \, dx = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} p {\ text {нечетно,}} \\\ sigma ^ {p} (p-1) !! & {\ text {if}} p {\ text {четно.}} \ end {cases}}}$

где обозначает двойной факториал . ${\ displaystyle n !!}$

Если - центральные коррелированные переменные, простейший двумерный случай многомерной нормальной проблемы моментов, описанный Каном, то ${\ displaystyle X, Y \ sim {\ text {Norm}} (0,1)}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [X ^ {p} Y ^ {q}] = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} p + q {\ text {нечетное,}} \\ { \ frac {p! q!} {2 ^ {\ tfrac {p + q} {2}}}} \ sum _ {k = 0} ^ {t} {\ frac {(2 \ rho) ^ {2k} } {{\ Big (} {\ frac {p} {2}} - k {\ Big)}! \; {\ Big (} {\ frac {q} {2}} - k {\ Big)}! \; (2k)!}} & {\ Text {if}} p {\ text {and}} q {\ text {четные}} \\ {\ frac {p! Q!} {2 ^ {\ tfrac {p + q} {2}}}} \ sum _ {k = 0} ^ {t} {\ frac {(2 \ rho) ^ {2k + 1}} {{\ Big (} {\ frac {p -1} {2}} - k {\ Big)}! \; {\ Big (} {\ frac {q-1} {2}} - k {\ Big)}! \; (2k + 1)! }} & {\ text {if}} p {\ text {и}} q {\ text {нечетные}} \ end {case}}}$

куда

${\ displaystyle \ rho}$ - коэффициент корреляции, а ${\ Displaystyle т = \ мин ([п, д] / 2)}$

[требует проверки]

Коррелированные нецентральные нормальные распределения

Распределение продукта нецентральных коррелированных нормальных выборок было получено Cui et al. и принимает форму бесконечного ряда.

Эти распределения продуктов в некоторой степени сопоставимы с распределением Уишарта . Последний представляет собой совместное распределение четырех элементов (фактически только трех независимых элементов) выборочной ковариационной матрицы. Если это выборки из двумерного временного ряда, то это матрица Уишарта с K степенями свободы. Приведенные выше распределения продуктов представляют собой безусловное распределение совокупности K > 1 образцов . ${\ displaystyle x_ {t}, y_ {t}}$${\ displaystyle W = \ sum _ {t = 1} ^ {K} {\ dbinom {x_ {t}} {y_ {t}}} {\ dbinom {x_ {t}} {y_ {t}}} ^ {T}}$${\ displaystyle W_ {2,1}}$

Независимые комплекснозначные центрально-нормальные распределения

Позвольте быть независимыми выборками из нормального (0,1) распределения. Установлены независимые комплексные нормальные образцы с нулевым средним и круговой симметрией. Их сложные отклонения${\ displaystyle u_ {1}, v_ {1}, u_ {2}, v_ {2}}$
${\ displaystyle z_ {1} = u_ {1} + iv_ {1} {\ text {and}} z_ {2} = u_ {2} + iv_ {2} {\ text {then}} z_ {1}, z_ {2}}$${\ displaystyle \ operatorname {Var} | z_ {i} | = 2.}$

Плотностные функции

${\ displaystyle r_ {i} \ Equiv | z_ {i} | = (u_ {i} ^ {2} + v_ {i} ^ {2}) ^ {\ frac {1} {2}}, \; \ ; i = 1,2}$являются распределения Рэлея, определенные как:

${\ displaystyle f_ {r} (r_ {i}) = r_ {i} e ^ {- r_ {i} ^ {2} / 2} {\ text {of mean}} {\ sqrt {\ tfrac {\ pi } {2}}} {\ text {и дисперсия}} {\ frac {4- \ pi} {2}}}$

Переменная явно имеет форму хи-квадрат с двумя степенями свободы и имеет PDF. ${\ Displaystyle у_ {я} \ эквив г_ {я} ^ {2}}$

${\ displaystyle f_ {y_ {i}} (y_ {i}) = {\ tfrac {1} {2}} e ^ {- y_ {i} / 2} {\ text {среднего значения}} 2}$

Wells et. al. показывают , что функция плотности является ${\ Displaystyle S \ Equiv | z_ {1} z_ {2} |}$

${\ Displaystyle f_ {s} (s) = sK_ {0} (s), \; \; s \ geq 0}$

а кумулятивная функция распределения равна ${\ displaystyle s}$

${\ Displaystyle P (a) = \ Pr [s \ leq a] = \ int _ {s = 0} ^ {a} sK_ {0} (s) ds = 1-aK_ {1} (a)}$

Таким образом, полярное представление продукта двух некоррелированных комплексных гауссовых выборок имеет вид

${\ displaystyle f_ {s, \ theta} (s, \ theta) = f_ {s} (s) p _ {\ theta} (\ theta) {\ text {где}} p (\ theta) {\ text {это равномерное по}} [0,2 \ pi]}$.

Первый и второй моменты этого распределения можно найти из интеграла в Нормальных распределениях выше.

${\ displaystyle m_ {1} = \ int _ {0} ^ {\ infty} s ^ {2} K_ {0} (s) \, dx = 2 \ Gamma ^ {2} ({\ tfrac {3} { 2}}) = 2 ({\ tfrac {\ sqrt {\ pi}} {2}}) ^ {2} = {\ frac {\ pi} {2}}}$

${\ displaystyle m_ {2} = \ int _ {0} ^ {\ infty} s ^ {3} K_ {0} (s) \, dx = 2 ^ {2} \ Gamma ^ {2} ({\ tfrac {4} {2}}) = 4}$

Таким образом, его дисперсия . ${\ displaystyle \ operatorname {Var} (s) = m_ {2} -m_ {1} ^ {2} = 4 - {\ frac {\ pi ^ {2}} {4}}}$

Кроме того, плотность соответствует произведению двух независимых выборок хи-квадрат, каждая с двумя степенями свободы. Записывая их как масштабированные гамма-распределения , из приведенных ниже гамма-продуктов плотность продукта равна ${\ Displaystyle Z \ Equiv s ^ {2} = {| r_ {1} r_ {2} |} ^ {2} = {| r_ {1} |} ^ {2} {| r_ {2} |} ^ {2} = г_ {1} г_ {2}}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle f_ {y} (y_ {i}) = {\ tfrac {1} {\ theta \ Gamma (1)}} e ^ {- y_ {i} / \ theta} {\ text {with}} \ тета = 2}$

${\ displaystyle f_ {Z} (z) = {\ tfrac {1} {2}} K_ {0} ({\ sqrt {z}}) {\ text {с ожиданием}} \ operatorname {E} (z) = 4}$

Независимые комплекснозначные нецентральные нормальные распределения

Произведение нецентральных независимых комплексных гауссианов описано О'Доногью и Моурой и образует двойную бесконечную серию модифицированных функций Бесселя первого и второго типов.

Гамма-распределения

Произведение двух независимых гамма-выборок , определяющих , следует ${\ displaystyle z = x_ {1} x_ {2}}$${\ displaystyle \ Gamma (x; k_ {i}, \ theta _ {i}) = {\ frac {x ^ {k_ {i} -1} e ^ {- x / \ theta _ {i}}} { \ Gamma (k_ {i}) \ theta _ {i} ^ {k_ {i}}}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} p_ {Z} (z) & = {\ frac {2} {\ Gamma (k_ {1}) \ Gamma (k_ {2})}} {\ frac {z ^ { {\ frac {k_ {1} + k_ {2}} {2}} - 1}} {(\ theta _ {1} \ theta _ {2}) ^ {\ frac {k_ {1} + k_ {2 }} {2}}}} K_ {k_ {1} -k_ {2}} \ left (2 {\ sqrt {\ frac {z} {\ theta _ {1} \ theta _ {2}}}} \ справа) \\\\ & = {\ frac {2} {\ Gamma (k_ {1}) \ Gamma (k_ {2})}} {\ frac {y ^ {{\ frac {k_ {1} + k_) {2}} {2}} - 1}} {\ theta _ {1} \ theta _ {2}}} K_ {k_ {1} -k_ {2}} \ left (2 {\ sqrt {y}} \ right) {\ text {where}} y = {\ frac {z} {\ theta _ {1} \ theta _ {2}}} \\\ конец {выровнено}}}$

Бета-дистрибутивы

Nagar et. al. определить коррелированное двумерное бета-распределение

${\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {x ^ {a-1} y ^ {b-1} (1-x) ^ {b + c-1} (1-y) ^ {a + c-1}} {B (a, b, c) (1-xy) ^ {a + b + c}}}, \; \; \; 0 <x, y <1}$

куда

${\ Displaystyle B (a, b, c) = {\ гидроразрыва {\ Gamma (a) \ Gamma (b) \ Gamma (c)} {\ Gamma (a + b + c)}}}$

Тогда pdf Z = XY задается формулой

${\ displaystyle f_ {Z} (z) = {\ frac {B (a + c, b + c) z ^ {a-1} (1-z) ^ {c-1}} {B (a, b , c)}} {_ {2} F_ {1}} (a + c, a + c; a + b + 2c; 1-z), \; \; \; 0 <z <1}$

где - гипергеометрическая функция Гаусса, определяемая интегралом Эйлера ${\ displaystyle {_ {2} F_ {1}}}$

${\ Displaystyle {_ {2} F_ {1}} (a, b, c, z) = {\ frac {\ Gamma (c)} {\ Gamma (a) \ Gamma (ca)}} \ int _ { 0} ^ {1} v ^ {a-1} (1-v) ^ {ca-1} (1-vz) ^ {- b} \, dv}$

Обратите внимание, что многомерные распределения, как правило, не уникальны, за исключением случая Гаусса, и могут быть альтернативы.

Равномерное и гамма-распределения

Распределение произведения случайной величины, имеющей равномерное распределение на (0,1), со случайной величиной, имеющей гамма-распределение с параметром формы, равным 2, является экспоненциальным распределением . Более общий случай этого касается распределения произведения случайной величины, имеющей бета-распределение, со случайной величиной, имеющей гамма-распределение : для некоторых случаев, когда параметры двух компонентных распределений связаны определенным образом, результатом является снова гамма-распределение, но с измененным параметром формы.

К-распределение является примером нестандартного распределения , которые могут быть определены как распределение продукта (где оба компонента имеют гамма - распределение).

Гамма и Парето распределения

Произведение независимых выборок n Gamma и m Парето было получено Надараджей.

Смотрите также

• Алгебра случайных величин
• Сумма независимых случайных величин

Примечания

использованная литература

• Спрингер, Мелвин Дейл; Томпсон, WE (1970). «Распределение произведений бета, гамма и гауссовских случайных величин». Журнал СИАМ по прикладной математике . 18 (4): 721–737. DOI : 10.1137 / 0118065 . JSTOR  2099424 .
• Спрингер, Мелвин Дейл; Томпсон, WE (1966). «Распределение произведений независимых случайных величин». Журнал СИАМ по прикладной математике . 14 (3): 511–526. DOI : 10.1137 / 0114046 . JSTOR  2946226 .