Минимальное сцепление - Minimal coupling

В аналитической механике и квантовой теории поля , минимальное сцепление относится к связи между полями , которая влечет за собой только заряд распределение и не выше мультипольных моментов распределения заряда. Эта минимальная муфта в отличие, например, Паули муфта , которая включает в себя магнитный момент в качестве электрона непосредственно в лагранжиане .

Электродинамика

В электродинамике минимальная связь достаточна для учета всех электромагнитных взаимодействий. Более высокие моменты частиц являются следствием минимального взаимодействия и ненулевого спина .

Нерелятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

В декартовой системе координат , то лагранжиан из нерелятивистской классической частицы в электромагнитном поле (в единицах СИ ):

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} {\ tfrac {1} {2}} m {\ dot {x}} _ {i} ^ {2} + \ sum _ {i} q {\ dot {x}} _ {i} A_ {i} -q \ varphi}$

где q - электрический заряд частицы, φ - электрический скалярный потенциал , а A _i - компоненты векторного магнитного потенциала, которые все могут явно зависеть от и . ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle t}$

Этот лагранжиан в сочетании с уравнением Эйлера – Лагранжа дает закон силы Лоренца

${\ Displaystyle м {\ ddot {\ mathbf {x}}} = q \ mathbf {E} + q {\ dot {\ mathbf {x}}} \ times \ mathbf {B} \ ,,}$

и называется минимальной связью.

Обратите внимание, что значения скалярного потенциала и векторного потенциала будут меняться во время калибровочного преобразования , и сам лагранжиан также получит дополнительные члены; Но дополнительные члены в лагранжиане складываются в полную производную по времени скалярной функции и, следовательно, по-прежнему приводят к тому же уравнению Эйлера-Лагранжа.

В канонических импульсах задаются следующим образом:

${\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}} _ {i}}} = m {\ dot {x}} _ {я } + qA_ {i}}$

Обратите внимание, что канонические импульсы не являются калибровочно-инвариантными и физически не измеримыми. Однако кинетический импульс

${\ Displaystyle P_ {i} \ Equiv m {\ dot {x}} _ {i} = p_ {i} -qA_ {i}}$

калибровочно инвариантен и физически измерим.

Гамильтонова , как преобразования Лежандра лагранжиана, поэтому:

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ left \ {\ sum _ {i} {\ dot {x}} _ {i} p_ {i} \ right \} - {\ mathcal {L}} = \ сумма _ {i} {\ frac {\ left (p_ {i} -qA_ {i} \ right) ^ {2}} {2m}} + q \ varphi}$

Это уравнение часто используется в квантовой механике .

Под калибровочным преобразованием:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + \ nabla f \ ,, \ quad \ varphi \ rightarrow \ varphi - {\ dot {f}} \ ,,}$

где f ( r , t ) - любая скалярная функция пространства и времени, вышеупомянутый лагранжиан, канонические импульсы и гамильтоново преобразование, например:

${\ Displaystyle L \ rightarrow L '= L + Q {\ frac {df} {dt}} \ ,, \ quad \ mathbf {p} \ rightarrow \ mathbf {p'} = \ mathbf {p} + q \ nabla f \ ,, \ quad H \ rightarrow H '= Hq {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ ,,}$

который по-прежнему дает то же уравнение Гамильтона:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left. {\ frac {\ partial H '} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p' _ {i}} & = \ left. { \ frac {\ partial} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p '_ ​​{i}} ({\ dot {x}} _ {i} p' _ {i} -L ' ) = - \ left. {\ frac {\ partial L '} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p' _ {i}} \\ & = - \ left. {\ frac { \ partial L} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p '_ ​​{i}} - q \ left. {\ frac {\ partial} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p '_ ​​{i}} {\ frac {df} {dt}} \\ & = - {\ frac {d} {dt}} \ left (\ left. {\ frac {\ partial L } {\ partial {{\ dot {x}} _ {i}}}} \ right | _ {p '_ ​​{i}} + q \ left. {\ frac {\ partial f} {\ partial {x_ { i}}}} \ right | _ {p '_ ​​{i}} \ right) \\ & = - {\ dot {p}}' _ {i} \ end {align}}}$

В квантовой механике волновая функция также будет подвергаться локальному преобразованию группы U (1) во время калибровочного преобразования, что означает, что все физические результаты должны быть инвариантными относительно локальных преобразований U (1).

Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

Релятивистский лагранжиан для частицы ( масса покоя т и заряд д ) определяется по формуле:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (t) = - mc ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {{{\ dot {\ mathbf {x}}} (t)} ^ {2} } {c ^ {2}}}} + q {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) \ cdot \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {x} (t), t \ right) -q \ varphi \ left (\ mathbf {x} (t), t \ right)}$

Таким образом, канонический импульс частицы равен

${\ displaystyle \ mathbf {p} (t) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {x}}}}} = {\ frac {m {\ точка {\ mathbf {x}}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {{\ dot {\ mathbf {x}}} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} + q \ mathbf {A}}$

то есть сумма кинетического импульса и потенциального импульса.

Решая для скорости, мы получаем

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = {\ frac {\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}} {\ sqrt {m ^ {2} + {\ frac {1) } {c ^ {2}}} {\ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right)} ^ {2}}}}}$

Итак, гамильтониан

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (t) = {\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ mathbf {p} - {\ mathcal {L}} = c {\ sqrt {m ^ {2 } c ^ {2} + {\ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right)} ^ {2}}} + q \ varphi}$

Это приводит к уравнению силы (эквивалентному уравнению Эйлера – Лагранжа )

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {x}}} = q {\ dot {\ mathbf {x }}} \ cdot ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {A}) -q {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi = q {\ boldsymbol {\ nabla}} ({\ dot {\ mathbf { x}}} \ cdot \ mathbf {A}) -q {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi}$

из которого можно вывести

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {m {\ dot {\ mathbf {x}}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {{\ dot {\ mathbf {x}}} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \ right) & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}) = {\ dot {\ mathbf {p}}} - q {\ frac {\ partial A} {\ partial t} } -q ({\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} \\ & = q {\ boldsymbol {\ nabla}} ({\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ mathbf {A}) -q {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi -q {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} - q ({\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} \\ & = q \ mathbf {E} + q {\ dot {\ mathbf {x}}} \ times \ mathbf {B} \ end {align}}}$

Приведенный выше вывод использует тождество векторного исчисления :

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ nabla \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A} \ right) \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} _ { \ mathbf {A}} \ = \ \ mathbf {A} \ cdot (\ nabla \ mathbf {A}) \ = \ (\ mathbf {A} {\ cdot} \ nabla) \ mathbf {A} \, + \ , \ mathbf {A} {\ times} (\ nabla {\ times} \ mathbf {A}).}$

Эквивалентное выражение для гамильтониана как функция релятивистского (кинетического) импульса, Р = Г т х ( т ) = р - д А , является

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (t) = {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) \ cdot \ mathbf {P} (t) + {\ frac {mc ^ {2}} { \ gamma}} + q \ varphi (\ mathbf {x} (t), t) = \ gamma mc ^ {2} + q \ varphi (\ mathbf {x} (t), t) = E + V}$

Это имеет то преимущество, что кинетический импульс P можно измерить экспериментально, тогда как канонический импульс p нельзя. Обратите внимание, что гамильтониан ( полная энергия ) можно рассматривать как сумму релятивистской энергии (кинетическая + покой) , E = γmc ² , плюс потенциальная энергия , V = eφ .

Инфляция

В исследованиях космологической инфляции , минимальная связь скалярного поля , как правило , относится к минимальной связи силы тяжести. Это означает, что действие поля инфлатона не связано со скалярной кривизной . Его единственная связь с гравитацией - это связь с инвариантной мерой Лоренца, построенной из метрики (в единицах Планка ): ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {g}} \, d ^ {4} x}$

${\ displaystyle S = \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {g}} \, \ left (- {\ frac {1} {2}} R + {\ frac {1} {2}} \ nabla _ {\ mu} \ varphi \ nabla ^ {\ mu} \ varphi -V (\ varphi) \ right)}$

где , и используя калибровочную ковариантную производную . ${\ displaystyle g: = \ det g _ {\ mu \ nu}}$

использованная литература