Линейное приближение - Linear approximation

Касательная линия в точке ( a , f ( a ))

В математике , А линейное приближение является приближением общей функции , используя линейную функцию (точнее, функция аффинна ). Они широко используются в методе конечных разностей для получения методов первого порядка для решения или аппроксимации решений уравнений.

Определение

Учитывая дважды непрерывно дифференцируемую функцию одной действительной переменной, теорема Тейлора для этого случая утверждает, что ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle n = 1}$

{\ Displaystyle f (x) = f (a) + f '(a) (xa) + R_ {2} \}

где - остаточный член. Линейное приближение получается отбрасыванием остатка: ${\ displaystyle R_ {2}}$

{\ Displaystyle f (x) \ приблизительно f (a) + f '(a) (xa)}

.

Это хорошее приближение, когда оно достаточно близко к ; поскольку кривая при внимательном рассмотрении начинает напоминать прямую линию. Следовательно, выражение в правой части - это просто уравнение для касательной к графику at . По этой причине этот процесс также называют приближением касательной . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle (а, е (а))}$

Если в интервале между и находится вогнутый вниз , приближение будет завышенным (так как производная убывает в этом интервале). Если он вогнутый , приближение будет заниженным. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle f}$

Линейные приближения для векторных функций векторной переменной получаются таким же образом, с заменой производной в точке матрицей Якоби . Например, для дифференцируемой функции с действительными значениями можно аппроксимировать для близких к формуле ${\ displaystyle f (x, y)}$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ ${\ Displaystyle (х, у)}$ ${\ Displaystyle (а, б)}$

{\ Displaystyle е \ влево (х, у \ вправо) \ приблизительно е \ влево (а, б \ вправо) + {\ гидроразрыва {\ partial f} {\ partial x}} \ влево (а, б \ вправо) \ left (xa \ right) + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ left (a, b \ right) \ left (yb \ right).}

Правая часть - это уравнение плоскости, касательной к графику при ${\ Displaystyle г = е (х, у)}$ ${\ displaystyle (a, b).}$

В более общем случае банаховых пространств имеем

{\ Displaystyle f (x) \ приблизительно f (a) + Df (a) (xa)}

где - производная Фреше функции at . ${\ Displaystyle Df (а)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$

Приложения

Оптика

Гауссова оптика - это метод в геометрической оптике, который описывает поведение световых лучей в оптических системах с использованием параксиального приближения , в котором рассматриваются только лучи, которые образуют небольшие углы с оптической осью системы. В этом приближении тригонометрические функции могут быть выражены как линейные функции углов. Гауссова оптика применяется к системам, в которых все оптические поверхности либо плоские, либо являются частями сферы . В этом случае можно дать простые явные формулы для параметров системы формирования изображения, таких как фокусное расстояние, увеличение и яркость, с точки зрения геометрических форм и свойств материалов составляющих элементов.

Период колебания

Период качания простого гравитационного маятника зависит от его длины , местной силы тяжести и, в небольшой степени, от максимального угла , на который маятник отклоняется от вертикали, θ ₀ , называемого амплитудой . Это не зависит от массы боба. Истинный период T простого маятника, время, необходимое для полного цикла идеального простого гравитационного маятника, может быть записан в нескольких различных формах (см. Маятник ), одним из примеров является бесконечная серия :

{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {L \ over g}} \ left (1 + {\ frac {1} {16}} \ theta _ {0} ^ {2} + {\ frac {11}) {3072}} \ theta _ {0} ^ {4} + \ cdots \ right)}

где L - длина маятника, а g - местное ускорение свободного падения .

Однако, если взять линейное приближение (т. Е. Если амплитуда ограничена небольшими колебаниями), период равен:

{\ Displaystyle Т \ приблизительно 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}} \ qquad \ qquad \ qquad \ theta _ {0} \ ll 1 \ qquad (1) \,}

В линейном приближении период качания примерно одинаков для качелей разного размера: то есть период не зависит от амплитуды . Это свойство, называемое изохронизмом , является причиной того, что маятники так полезны для хронометража. Последовательные колебания маятника, даже если они меняются по амплитуде, занимают одинаковое время.

Удельное электрическое сопротивление

Удельное электрическое сопротивление большинства материалов изменяется с температурой. Если температура T не меняется слишком сильно, обычно используется линейное приближение:

{\ Displaystyle \ rho (T) = \ rho _ {0} [1+ \ альфа (T-T_ {0})]}

где называется температурным коэффициентом удельного сопротивления , - фиксированная эталонная температура (обычно комнатная температура) и - удельное сопротивление при температуре . Параметр представляет собой эмпирический параметр, подобранный на основе данных измерений. Поскольку линейное приближение является только приближением, оно отличается для разных эталонных температур. По этой причине принято указывать температуру, которая была измерена при помощи суффикса, например , и соотношение сохраняется только в диапазоне температур вокруг эталона. Когда температура изменяется в большом диапазоне температур, линейное приближение неадекватно, и следует использовать более подробный анализ и понимание. ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {0}}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {15}}$

Смотрите также

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

Вайнштейн, Алан; Марсден, Джерролд Э. (1984). Исчисление III . Берлин: Springer-Verlag. п. 775. ISBN 0-387-90985-0.
Стрэнг, Гилберт (1991). Исчисление . Колледж Уэллсли. п. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
Бок, Дэвид; Хокетт, Ширли О. (2005). Как подготовиться к исчислению AP . Хауппог, Нью-Йорк: Образовательная серия Бэрронса. п. 118 . ISBN 0-7641-2382-3.

Languages

In other projects