Производящая функция (физика) - Generating function (physics)

В физике, а точнее в гамильтоновой механике , производящая функция , грубо говоря, представляет собой функцию, частные производные которой порождают дифференциальные уравнения, определяющие динамику системы. Распространенными примерами являются статистическая сумма статистической механики, гамильтониан и функция, которая действует как мост между двумя наборами канонических переменных при выполнении канонического преобразования .

В канонических преобразованиях

Существуют четыре основные производящие функции, представленные в следующей таблице:

Производящая функция	Его производные
${\ Displaystyle F = F_ {1} (д, Q, т) \, \!}$	${\ displaystyle p = ~~ {\ frac {\ partial F_ {1}} {\ partial q}} \, \!}$ а также ${\ displaystyle P = - {\ frac {\ partial F_ {1}} {\ partial Q}} \, \!}$
${\ Displaystyle F = F_ {2} (q, P, t) = F_ {1} + QP \, \!}$	${\ displaystyle p = ~~ {\ frac {\ partial F_ {2}} {\ partial q}} \, \!}$ а также ${\ displaystyle Q = ~~ {\ frac {\ partial F_ {2}} {\ partial P}} \, \!}$
${\ Displaystyle F = F_ {3} (p, Q, t) = F_ {1} -qp \, \!}$	${\ displaystyle q = - {\ frac {\ partial F_ {3}} {\ partial p}} \, \!}$ а также ${\ displaystyle P = - {\ frac {\ partial F_ {3}} {\ partial Q}} \, \!}$
${\ Displaystyle F = F_ {4} (p, P, t) = F_ {1} -qp + QP \, \!}$	${\ displaystyle q = - {\ frac {\ partial F_ {4}} {\ partial p}} \, \!}$ а также ${\ displaystyle Q = ~~ {\ frac {\ partial F_ {4}} {\ partial P}} \, \!}$

Пример

Иногда заданный гамильтониан можно превратить в гамильтониан, похожий на гамильтониан гармонического осциллятора , т.е.

${\ Displaystyle H = AP ^ {2} + bQ ^ {2}.}$

Например, с гамильтонианом

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2q ^ {2}}} + {\ frac {p ^ {2} q ^ {4}} {2}},}$

где p - обобщенный импульс, а q - обобщенная координата, хорошим каноническим преобразованием для выбора было бы

${\ displaystyle P = pq ^ {2} {\ text {and}} Q = {\ frac {-1} {q}}. \,}$

( 1 )

Это превращает гамильтониан в

${\ displaystyle H = {\ frac {Q ^ {2}} {2}} + {\ frac {P ^ {2}} {2}},}$

который имеет форму гамильтониана гармонического осциллятора.

Производящая функция F для этого преобразования относится к третьему виду:

${\ displaystyle F = F_ {3} (p, Q).}$

Чтобы найти F явно, используйте уравнение для его производной из таблицы выше,

${\ displaystyle P = - {\ frac {\ partial F_ {3}} {\ partial Q}},}$

и подставим выражение для P из уравнения ( 1 ), выраженное через p и Q :

${\ displaystyle {\ frac {p} {Q ^ {2}}} = - {\ frac {\ partial F_ {3}} {\ partial Q}}}$

Интегрирование этого по Q приводит к уравнению для производящей функции преобразования, заданной уравнением ( 1 ):

${\ displaystyle F_ {3} (p, Q) = {\ frac {p} {Q}}}$

Чтобы убедиться, что это правильная генерирующая функция, убедитесь, что она соответствует ( 1 ):

${\ displaystyle q = - {\ frac {\ partial F_ {3}} {\ partial p}} = {\ frac {-1} {Q}}}$

Смотрите также

• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Скобка Пуассона

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Гольдштейн, Герберт; Пул, CP; Сафко, JL (2001). Классическая механика (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-65702-9.