Функция управления (эконометрика) - Control function (econometrics)

Контрольные функции (также известные как двухэтапное остаточное включение ) представляют собой статистические методы для исправления проблем эндогенности путем моделирования эндогенности в члене ошибки . Таким образом, этот подход во многом отличается от других моделей, которые пытаются объяснить ту же эконометрическую проблему. Инструментальные переменные , например, попытка смоделировать эндогенную переменную X , как часто обратимой модели по отношению к соответствующему и экзогенного инструмента Z . Панельный анализ использует специальные свойства данных, чтобы различать ненаблюдаемую неоднородность, которая, как предполагается, будет исправлена ​​с течением времени.

Функции управления были введены Хекманом и Роббом, хотя принцип можно проследить до более ранних работ. Особая причина их популярности заключается в том, что они работают с необратимыми моделями (такими как модели дискретного выбора ) и допускают неоднородные эффекты, когда эффекты на индивидуальном уровне могут отличаться от эффектов на агрегированном уровне. Хорошо известным примером подхода управляющих функций является поправка Хекмана .

Формальное определение

Предположим, мы начинаем со стандартной настройки эндогенных переменных с аддитивными ошибками, где X - эндогенная переменная, а Z - экзогенная переменная, которая может служить инструментом.

${\ Displaystyle Y = г (X) + U}$

( 1 )

${\ Displaystyle Х = \ пи (Z) + V}$

( 2 )

${\ displaystyle E [U \ mid Z, V] = E [U \ mid V]}$

( 3 )

${\ displaystyle E [V \ mid Z] = 0}$

( 4 )

Популярный подход с использованием инструментальных переменных - сначала использовать двухэтапную процедуру и оценить уравнение ( 2 ), а затем использовать оценки этого первого шага для оценки уравнения ( 1 ) на втором шаге. Однако функция управления использует то, что эта модель подразумевает

${\ displaystyle E [Y \ mid X, V] = g (X) + E [U \ mid X, V] = g (X) + E [U \ mid Z, V] = g (X) + E [ U \ mid V] = g (X) + h (V)}$

( 5 )

Функция h ( V ), по сути, является управляющей функцией, моделирующей эндогенность, и отсюда этот эконометрический подход получил свое название.

В рамках причинно-следственной модели Рубина , где Y ₁ - переменная результата людей, для которых показатель участия D равен 1, подход с использованием функции управления приводит к следующей модели

${\ Displaystyle E [Y_ {1} \ mid X, Z, D = 1] = \ mu _ {1} (X) + E [U \ mid D = 1]}$

( 6 )

до тех пор , как результаты потенциал Y ₀ и Y ₁ не зависят от D условно на X и Z .

Коррекция отклонения

Поскольку регрессия второго этапа включает сгенерированные регрессоры , ее матрица вариаций-ковариаций требует корректировки.

Примеры

Эндогенность в регрессии Пуассона

Вулдридж и Терца предоставляют методологию как для работы, так и для проверки на эндогенность в рамках экспоненциальной регрессии, которой подробно следует последующее обсуждение. Хотя пример фокусируется на модели регрессии Пуассона , его можно обобщить на другие модели экспоненциальной регрессии, хотя это может происходить за счет дополнительных предположений (например, для моделей двоичного ответа или цензурированных моделей данных).

Предположим следующую модель экспоненциальной регрессии, где - ненаблюдаемый член скрытой переменной. Мы допускаем корреляцию между и (подразумевая, что возможно эндогенный), но не допускаем такой корреляции между и . ${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle z_ {i}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [y_ {i} \ mid x_ {i}, z_ {i}, a_ {i}] = \ exp (x_ {i} b_ {0} + z_ {i} c_ {0 } + a_ {i})}$

Переменные служат инструментальными переменными для потенциально эндогенного . Можно предположить линейную зависимость между этими двумя переменными или, в качестве альтернативы, спроецировать эндогенную переменную на инструменты, чтобы получить следующее уравнение сокращенной формы: ${\ displaystyle z_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}}$

${\ displaystyle x_ {i} = z_ {i} \ Pi + v_ {i}}$

( 1 )

Обычное условие ранга необходимо для обеспечения идентификации. Эндогенность затем моделируется следующим образом, где определяется серьезность эндогенности и предполагается, что она не зависит от . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle e_ {i}}$

${\ Displaystyle а_ {я} = v_ {я} \ ро + е_ {я}}$

Наложив эти предположения, предполагая, что модели правильно указаны, и нормализуя , мы можем переписать условное среднее следующим образом: ${\ displaystyle \ operatorname {E} [\ exp (e_ {i})] = 1}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [y_ {i} \ mid x_ {i}, z_ {i}, v_ {i}] = \ exp (x_ {i} b_ {0} + z_ {i} c_ {0) } + v_ {i} \ rho)}$

( 2 )

Если бы они были известны на этом этапе, можно было бы оценить соответствующие параметры с помощью оценки квазимаксимального правдоподобия (QMLE). Следуя двухшаговой стратегии, Вулдридж и Терца предлагают оценить уравнение ( 1 ) с помощью обычных наименьших квадратов . Подобранные остатки из этой регрессии затем могут быть включены в уравнение оценки ( 2 ), и методы QMLE приведут к согласованным оценкам интересующих параметров. Затем тесты значимости можно использовать для проверки эндогенности в модели. ${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle {\ hat {\ rho}}}$

Расширения

Исходная процедура Хеккита делает предположения о распределении в отношении членов ошибки, однако были установлены более гибкие подходы к оценке с более слабыми предположениями о распределении. Более того, Бланделл и Пауэлл показывают, как подход управляющих функций может быть особенно полезным в моделях с неаддитивными ошибками , таких как модели дискретного выбора. Этот последний подход, однако, неявно делает сильные предположения о распределении и функциональной форме.

Смотрите также

• Двухэтапный метод наименьших квадратов
• Поправка Хекмана

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Го, Цзицзянь; Смолл, Дилан С. (2016). "Функция управления инструментальной переменной оценки нелинейных моделей причинно-следственных связей" . Журнал исследований в области машинного обучения . 17 (100): 1–35.
• Вулдридж, Джеффри М. (2015). «Методы функции управления в прикладной эконометрике». Журнал человеческих ресурсов . 50 (2): 420–445. DOI : 10,3368 / jhr.50.2.420 .