5-куб - 5-cube

5-кубический пентеракт (пент)
Тип	равномерный 5-многогранник
Символ Шлефли	{4,3,3,3} {4,3,3} × {} {4,3} × {4} {4,3} × {} 2 {4} × {4} × {} {4} × {} 3 {} 5
Диаграмма Кокстера
4-гранный	10	тессеракты
Клетки	40	кубики
Лица	80	квадраты
Края	80
Вершины	32
Фигура вершины	5-элементный
Группа Коксетера	B 5 , [4,3 3 ], порядок 3840 [4,3,3,2], порядок 768 [4,3,2,4], порядок 384 [4,3,2,2], порядок 192 [4 , 2,4,2], порядок 128 [4,2,2,2], порядок 64 [2,2,2,2], порядок 32
Двойной	5-ортоплекс
Базовая точка	(1,1,1,1,1,1)
Circumradius	sqrt (5) / 2 = 1,118034
Характеристики	выпуклый , изогональный правильный

В пятимерной геометрии , A 5-куб представляет собой имя для пятимерного гиперкуба с 32 вершинами , 80 ребер , 80 квадратных граней , 40 кубических клетками , и 10 тессерактом 4-граней .

Он представлен символом Шлефли {4,3,3,3} или {4,3 ³ }, построенным как 3 мозаики, {4,3,3}, вокруг каждого кубического гребня . Его можно назвать penteract , чемоданом греческого слова pénte , означающего «пять» (измерения), и слова tesseract (4-куб). Его также можно назвать правильным дека-5-топом или декаатероном , поскольку он представляет собой 5-мерный многогранник, состоящий из 10 правильных граней .

Связанные многогранники

Это часть бесконечного семейства гиперкубов . Двойной 5-куба является 5-orthoplex , бесконечного семейства orthoplexes .

Применение операции чередования , удаление чередующихся вершин 5-куба, создает другой однородный 5-многогранник , называемый 5-полукубом , который также является частью бесконечного семейства, называемого полугиперкубами .

5-куб можно рассматривать как тессерактические соты третьего порядка на 4-сферической сфере . Он связан с евклидовыми 4-пространственными (порядка 4) тессерактическими сотами и паракомпактными гиперболическими сотами тессерактических сот пятого порядка .

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет собой 5-куб. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам и 4-граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 5-кубе. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 32 & 5 & 10 & 10 & 5 \\ 2 & 80 & 4 & 6 & 4 \\ 4 & 4 & 80 & 3 & 3 \\ 8 & 12 & 6 & 40 & 2 \\ 16 & 32 & 24 & 8 & 10 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}$

Декартовы координаты

В декартовы координаты вершин 5-куба с центром в начале координат и имеющей длину ребра 2 являются

(± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1),

в то время как внутренность этого 5-куба состоит из всех точек ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) с -1 < x _i <1 для всех i .

Изображений

n -кубические проекции плоскости Кокстера в группах Кокстера B _k проектируются в k-кубические графы с перекрытием двух вершин в проективных графах.

Ортографические проекции

Самолет Кокстера	В 5	B 4 / D 5	B 3 / D 4 / A 2
График
Двугранная симметрия	[10]	[8]	[6]
Самолет Кокстера	Другой	В 2	А 3
График
Двугранная симметрия	[2]	[4]	[4]

Больше орфографических проекций

Направление наклона каркаса

Самолет Кокстера B5

График

Вершинно-реберный граф.

Перспективные прогнозы

Перспективная проекция 3D-2D из стереографической проекции 4D в 3D из Schlegel диаграммы 5D до 4D.

Сеть

4D сеть 5-куба, перспектива проецируется в 3D.

Проекция

5-куб можно спроецировать до 3-х измерений с помощью ромбической огибающей икосаэдра . Есть 22 внешние вершины и 10 внутренних вершин. 10 внутренних вершин имеют выпуклую оболочку пятиугольной антипризмы . 80 ребер переходят в 40 внешних и 40 внутренних. 40 кубов выступают в золотые ромбоэдры, которые можно использовать, чтобы разрезать ромбический икосаэдр. Векторы проекции: u = {1, φ, 0, -1, φ}, v = {φ, 0, 1, φ, 0}, w = {0, 1, φ, 0, -1}, где φ это золотое сечение , . ${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$

ромбический икосаэдр		5-куб
Перспектива	ортогональный

Связанные многогранники

Этот многогранник является одним из 31 равномерных 5-многогранников, порожденных правильным 5-кубом или 5-ортоплексом .

Многогранники B5
β 5	т 1 β 5	t 2 γ 5	t 1 γ 5	γ 5	т 0,1 β 5	т 0,2 β 5	т 1,2 β 5
т 0,3 β 5	т 1,3 γ 5	т 1,2 γ 5	т 0,4 γ 5	t 0,3 γ 5	t 0,2 γ 5	t 0,1 γ 5	т 0,1,2 β 5
т 0,1,3 β 5	т 0,2,3 β 5	т 1,2,3 γ 5	т 0,1,4 β 5	т 0,2,4 γ 5	т 0,2,3 γ 5	т 0,1,4 γ 5	т 0,1,3 γ 5
т 0,1,2 γ 5	т 0,1,2,3 β 5	т 0,1,2,4 β 5	т 0,1,3,4 γ 5	т 0,1,2,4 γ 5	т 0,1,2,3 γ 5	т 0,1,2,3,4 γ 5

Рекомендации

• HSM Coxeter :
  • Coxeter, Regular Polytopes , (3-е издание, 1973 г.), Dover edition, ISBN   0-486-61480-8 , p. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
    • (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
• Клитцинг, Ричард. «5D однородные многогранники (polytera) o3o3o3o4x - pent» .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперкуб» . MathWorld .
• Ольшевский, Георгий. «Мерный многогранник» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
• Многомерный глоссарий: гиперкуб Гарретт Джонс