n -скелет - n-skeleton

Эта статья не о концепции топологического каркаса компьютерной графики.

В математике , особенно в алгебраической топологии , то п осты из топологического пространства X , представленное в виде симплициальных комплекса (соотв. CW комплекса ) относятся к подпространству X _п , что является объединением симплексов X (соотв. Клетки X ) размером m ≤ n . Другими словами, при индуктивном определении комплекса n -скелет получается остановкой на n -м шаге .

Эти подпространства увеличиваются с увеличением n . 0-скелет представляет собой дискретное пространство , а также 1-скелет топологический граф . Каркасы пространства используются в теории препятствий , для построения спектральных последовательностей посредством фильтрации и, как правило, для индуктивных аргументов . Они особенно важны, когда X имеет бесконечную размерность, в том смысле, что X _n не становятся постоянными при n → ∞.

В геометрии

В геометрии , А к остов из п - многогранник P (функционально представлен в виде Skel _к ( Р )) состоит из всех я -многогранник элементов размерности вплоть до к .

Например:

skel ₀ (куб) = 8 вершин

skel ₁ (куб) = 8 вершин, 12 ребер

skel ₂ (куб) = 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратных граней

Для симплициальных множеств

Приведенное выше определение скелета симплициального комплекса является частным случаем понятия скелета симплициального множества . Вкратце, симплициальное множество может быть описано набором множеств вместе с гранями и отображениями вырождения между ними, удовлетворяющими ряду уравнений. Идея n -скелета состоит в том, чтобы сначала отбросить множества с, а затем завершить набор с до «наименьшего возможного» симплициального множества, чтобы полученный симплициальный набор не содержал невырожденных симплексов по степеням . ${\ displaystyle K _ {*}}$${\ Displaystyle К_ {я}, \ я \ geq 0}$${\ displaystyle sk_ {n} (K _ {*})}$${\ displaystyle K_ {i}}$${\ displaystyle i> n}$${\ displaystyle K_ {i}}$${\ Displaystyle я \ Leq п}$${\ displaystyle i> n}$

Точнее, функтор ограничения

${\ displaystyle i _ {*}: \ Delta ^ {op} Наборы \ rightarrow \ Delta _ {\ leq n} ^ {op} Наборы}$

имеет левый сопряженный, обозначенный . (Обозначения сравнимы с обозначениями функторов изображений для пучков .) N -скелет некоторого симплициального множества определяется как ${\ displaystyle i ^ {*}}$${\ displaystyle i ^ {*}, i _ {*}}$${\ displaystyle K _ {*}}$

${\ displaystyle sk_ {n} (K): = i ^ {*} i _ {*} K.}$

Скелет

Кроме того, имеет сопряженный справа . П -coskeleton определяется как ${\ displaystyle i _ {*}}$${\ displaystyle i ^ {!}}$

${\ displaystyle cosk_ {n} (K): = i ^ {!} i _ {*} K.}$

Например, 0-скелет K является постоянным симплициальным множеством, определяемым . 0-скелет задается чешским нервом.${\ displaystyle K_ {0}}$

${\ displaystyle \ dots \ rightarrow K_ {0} \ times K_ {0} \ rightarrow K_ {0}.}$

(Граничный морфизм и морфизм вырождения задаются различными проекциями и диагональными вложениями соответственно.)

Вышеуказанные конструкции работают и для более общих категорий (вместо наборов), при условии, что в категории есть изделия из волокна . Скелет необходим для определения концепции гиперпокрытия в гомотопической алгебре и алгебраической геометрии .

Ссылки

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Скелет» . MathWorld .