Funcție cu mai multe valori - Multivalued function

Această diagramă reprezintă un multivalentă, dar nu o corectă ( o singură valoare) funcția , deoarece elementul 3 din X este asociat cu două elemente, b și c , în Y .

În matematică , o funcție cu mai multe valori , numită și funcție multifuncțională , funcție cu multe valori , funcție cu valoare setată , este similară cu o funcție , dar poate asocia mai multe valori fiecărei intrări. Mai precis, o funcție multivalentă de la un domeniu $X$ la un codomain $Y$ asociază fiecare $x$ din $X$ la una sau mai multe valori $y$ în $Y$ ; este astfel o relație binară în serie . Unii autori permit ca o funcție multivalorată să nu aibă valoare pentru unele intrări (în acest caz o funcție multivalorată este pur și simplu o relație binară).

Cu toate acestea, în unele contexte, cum ar fi analiza complexă ( X = Y = C ), autorii preferă să imite teoria funcției, deoarece extind concepte ale funcțiilor obișnuite (cu o singură valoare). În acest context, o funcție obișnuită este adesea numită funcție cu o singură valoare pentru a evita confuzia.

Termenul de funcție cu mai multe valori a provenit din analiza complexă, de la continuarea analitică . Se întâmplă adesea că se cunoaște valoarea unei funcții analitice complexe într-un vecinătate a unui punct . Acesta este cazul funcțiilor definite de teorema funcției implicite sau de o serie Taylor în jur . Într-o astfel de situație, se poate extinde domeniul funcției cu o singură valoare de-a lungul curbelor în planul complex începând cu . Procedând astfel, se constată că valoarea funcției extinse într-un punct depinde de curba aleasă de la la ; deoarece niciuna dintre noile valori nu este mai naturală decât celelalte, toate acestea sunt încorporate într-o funcție multivalentă. ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle z = a}$ ${\ displaystyle z = a}$ ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle z = b}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

De exemplu, să fie funcția rădăcină pătrată obișnuită pe numerele reale pozitive. Se poate extinde domeniul său la o vecinătate a în planul complex și apoi mai departe de-a lungul curbelor începând de la , astfel încât valorile de-a lungul unei curbe date variază continuu de la . Extinzându-se la numere reale negative, se obține două valori opuse pentru rădăcina pătrată - de exemplu $\pm$ $i$ pentru $-1 - în$ funcție de dacă domeniul a fost extins prin jumătatea superioară sau inferioară a planului complex. Acest fenomen este foarte frecvent, apare pentru rădăcinile $n$ , logaritmi și funcții trigonometrice inverse . ${\ displaystyle f (z) = {\ sqrt {z}} \,}$ ${\ displaystyle z = 1}$ ${\ displaystyle z = 1}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1}} = 1}$

Pentru a defini o funcție cu o singură valoare dintr-o funcție complexă cu mai multe valori, se poate distinge una dintre valorile multiple ca valoare principală , producând o funcție cu o singură valoare pe întregul plan, care este discontinuă de-a lungul anumitor curbe de graniță. Alternativ, tratarea funcției cu mai multe valori permite să aveți ceva care este pretutindeni continuu, cu prețul posibilelor schimbări de valoare atunci când cineva urmează o cale închisă ( monodromie ). Aceste probleme sunt rezolvate în teoria suprafețelor Riemann : pentru a considera o funcție multivalorată ca o funcție obișnuită fără a renunța la nici o valoare, se înmulțește domeniul într-un spațiu de acoperire cu mai multe straturi , o varietate care este suprafața Riemann asociată . ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle f (z)}$

Exemple

Fiecare număr real mai mare decât zero are două rădăcini pătrate reale , astfel încât rădăcina pătrată poate fi considerată o funcție cu mai multe valori. De exemplu, putem scrie ; deși zero are o singură rădăcină pătrată ,. ${\ displaystyle {\ sqrt {4}} = \ pm 2 = \ {2, -2 \}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {0}} = \ {0 \}}$
Fiecare nenul număr complex are două rădăcini pătrate, trei rădăcini cub , și , în general , n n th rădăcini . Singura a n- a rădăcină a lui 0 este 0.
Funcția complexă de logaritm are valori multiple. Valorile asumate de pentru numerele reale și sunt pentru toate numerele întregi . ${\ displaystyle \ log (a + bi)}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle \ log {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} + i \ arg (a + bi) +2 \ pi ni}$ ${\ displaystyle n}$
Funcțiile trigonometrice inverse au valori multiple, deoarece funcțiile trigonometrice sunt periodice. Avem ${\ displaystyle \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {4}} \ right) = \ tan \ left ({\ tfrac {5 \ pi} {4}} \ right) = \ tan \ left ({ \ tfrac {-3 \ pi} {4}} \ right) = \ tan \ left ({\ tfrac {(2n + 1) \ pi} {4}} \ right) = \ cdots = 1.}$ În consecință, arctan (1) este intuitiv legat de mai multe valori: $π$ / 4, 5 $π$ / 4, −3 $π$ / 4 și așa mai departe. Putem trata arctanul ca o funcție cu o singură valoare, restricționând domeniul tan x la - $π$ / 2 < x < $π$ / 2 - un domeniu peste care tan x crește monoton. Astfel, intervalul arctan ( x ) devine - $π$ / 2 < y < $π$ / 2 . Aceste valori dintr-un domeniu restricționat se numesc valori principale .
Antiderivative poate fi considerată ca o funcție multivaloare. Antiderivativul unei funcții este ansamblul de funcții a căror derivată este acea funcție. Constantă de integrare rezultă din faptul că derivata unei funcții constantă este 0.
Funcțiile hiperbolice inverse din domeniul complex au valori multiple, deoarece funcțiile hiperbolice sunt periodice de-a lungul axei imaginare. Peste reali, acestea au o singură valoare, cu excepția arcosh și arsech.
Argmax este multivaloare, de exemplu , ${\ displaystyle \ operatorname {argmax} _ {x \ in \ mathbb {R}} \ cos (x) = \ {2 \ pi k \ mid k \ in \ mathbb {Z} \}}$

Acestea sunt toate exemple de funcții cu mai multe valori care provin din funcții neinjective . Deoarece funcțiile originale nu păstrează toate informațiile despre intrările lor, acestea nu sunt reversibile. Adesea, restricția unei funcții cu mai multe valori este un invers parțial al funcției originale.

Funcțiile cu mai multe valori ale unei variabile complexe au puncte ramificate . De exemplu, pentru a n- a funcție rădăcină și logaritm, 0 este un punct de ramificare; pentru funcția arctangentă, unitățile imaginare i și - i sunt puncte ramificate. Folosind punctele de ramificare, aceste funcții pot fi redefinite pentru a fi funcții cu o singură valoare, prin restricționarea intervalului. Un interval adecvat poate fi găsit prin utilizarea unei tăieturi de ramură , un fel de curbă care conectează perechi de puncte de ramificare, reducând astfel suprafața Riemann multistratificată a funcției la un singur strat. Ca și în cazul funcțiilor reale, domeniul restricționat poate fi numit ramura principală a funcției.

Analiză de valoare

Analiza setată este studiul mulțimilor în spiritul analizei matematice și al topologiei generale .

În loc să ia în considerare colecțiile de puncte, analiza valorică a setului are în vedere colecțiile de seturi. Dacă o colecție de mulțimi este dotată cu o topologie sau moștenește o topologie adecvată dintr-un spațiu topologic subiacent, atunci poate fi studiată convergența seturilor.

O mare parte a analizei cu valori setate a apărut prin studiul economiei matematice și al controlului optim , parțial ca o generalizare a analizei convexe ; termenul „ analiză variațională ” este folosit de autori precum R. Tyrrell Rockafellar și Roger JB Wets , Jonathan Borwein și Adrian Lewis și Boris Mordukhovich . În teoria optimizării, convergența aproximării subdiferențialelor la o subdiferențială este importantă pentru înțelegerea condițiilor necesare sau suficiente pentru orice punct de minimizare.

Există extensii cu valori setate ale următoarelor concepte din analiza punctuală: continuitate , diferențiere , integrare , teorema funcției implicite , mapări de contracție , teoria măsurătorilor , teoreme cu punct fix , optimizare și teoria gradului topologic .

Ecuațiile sunt generalizate la incluziuni .

Tipuri de funcții cu mai multe valori

Se pot distinge concepte multiple care generalizează continuitatea , cum ar fi proprietatea graficului închis și hemicontinuitatea superioară și inferioară . Există, de asemenea, diferite generalizări ale măsurii la funcții multiple.

Aplicații

Multifuncțiile apar în teoria controlului optim , în special incluziunile diferențiale și subiecții înrudiți ca teoria jocurilor , unde teorema punctului fix Kakutani pentru multifuncționalitate a fost aplicată pentru a demonstra existența echilibrelor Nash (în contextul teoriei jocurilor, o funcție multivalorată este de obicei menționată ca corespondență ). Aceasta, printre multe alte proprietăți vag asociate cu aproximabilitatea multifuncțiilor hemicontinue superioare prin funcții continue, explică de ce hemicontinuitatea superioară este mai preferată decât hemicontinuitatea inferioară.

Cu toate acestea, multifuncționalele semi-continue inferioare posedă de obicei selecții continue așa cum se afirmă în teorema selecției Michael , care oferă o altă caracterizare a spațiilor paracompacte . Alte teoreme de selecție, cum ar fi selecția continuă direcțională Bressan-Colombo, teorema selecției măsurabile Kuratowski și Ryll- Nardzewski, selecția măsurabilă Aumann și selecția Fryszkowski pentru hărțile descompunătoare sunt importante în controlul optim și teoria incluziunilor diferențiale .

În fizică, funcțiile multivalorate joacă un rol din ce în ce mai important. Ele formează baza matematică pentru monopolurile magnetice ale lui Dirac , pentru teoria defectelor cristalelor și a plasticității rezultate a materialelor, pentru vârtejurile din superfluide și superconductori și pentru tranzițiile de fază în aceste sisteme, de exemplu topirea și confinarea cuarcilor . Ele sunt originea structurilor de câmp ecartament în multe ramuri ale fizicii.

Contrastează cu

Vezi si

Referințe

Note

Lecturi suplimentare

CD Aliprantis și KC Border, analiză dimensională infinită. Ghidul autostopistului , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
J. Andres și L. Górniewicz, Principiile punctelor fixe topologice pentru problemele valorii limită , Kluwer Academic Publishers, 2003
J.-P. Aubin și A. Cellina, Incluzii diferențiale, Hărți stabilite și teoria viabilității , Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Berlin, 1984
J.-P. Aubin și H. Frankowska , Set-Valued Analysis , Birkhäuser, Basel, 1990
K. Deimling, ecuații diferențiale cu mai multe valori , Walter de Gruyter, 1992
Geletu, A. (2006). „Introducere în spațiile topologice și hărțile setate” (PDF) . Note de curs . Technische Universität Ilmenau .
H. Kleinert , Câmpuri multivalorate în materie condensată, electrodinamică și gravitație , World Scientific (Singapore, 2008) (disponibil și online )
H. Kleinert , Gauge Fields in Condensed Matter , Vol. I: Superflow și Vortex Lines, 1–742, vol. II: Stresuri și Defecte, 743–1456, World Scientific, Singapore, 1989 (disponibil și online: Vol. I și Vol. II )
D. Repovš și PV Semenov, Selecții continue de mapări cu mai multe valori , Editori universitari Kluwer, Dordrecht 1998
EU Tarafdar și MSR Chowdhury, Metode topologice pentru analize neliniare cu valoare setată , World Scientific, Singapore, 2008
Mitroi, F.-C .; Nikodem, K .; Wąsowicz, S. (2013). „Inegalități Hermite-Hadamard pentru funcții convexe cu valoare setată” . Demonstratio Mathematica . 46 (4): 655-662. doi : 10.1515 / dema-2013-0483 .

Languages

In other projects