Element zero - Zero element

În matematică , un element zero este una dintre mai multe generalizări ale numărului zero la alte structuri algebrice . Aceste semnificații alternative se pot reduce sau nu la același lucru, în funcție de context.

Identități aditive

O identitate aditivă este elementul de identitate dintr-un grup aditiv . Corespunde elementului 0 astfel încât pentru toate x din grup, 0 + x = x + 0 = x . Câteva exemple de identitate aditivă includ:

• Vectorul zero , sub plus vector : vectorul de lungime 0 și ale cărei componente sunt 0. Adesea notată sau . ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$${\ displaystyle {\ vec {0}}}$
• Funcția zero sau harta zero definită de z ( x ) = 0 , sub adunarea punctuală ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x )
• Setul gol sub uniunea setată
• O sumă goală sau un coprodus gol
• Un obiect inițial dintr-o categorie (un coprodus gol și deci o identitate sub coproduse )

Elemente absorbante

Un element absorbant într-un semigrup multiplicativ sau semire generalizează proprietatea 0 ⋅ x = 0 . Exemplele includ:

• Setul gol , care este un element absorbant sub produsul cartezian al seturilor, deoarece {} × S = {}
• Funcția zero sau harta zero definită de z ( x ) = 0 sub multiplicare punctuală ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )

Multe elemente absorbante sunt, de asemenea, identități aditive, inclusiv setul gol și funcția zero. Un alt exemplu important este elementul distins 0 dintr-un câmp sau inel , care este atât identitatea aditivă cât și elementul absorbant multiplicativ și al cărui ideal principal este cel mai mic ideal.

Obiecte zero

Un obiect zero dintr-o categorie este atât un obiect inițial cât și un obiect terminal (și deci o identitate atât sub coproduse, cât și pe produse ). De exemplu, structura banală (care conține doar identitatea) este un obiect zero în categoriile în care morfismele trebuie să mapeze identitățile cu identitățile. Exemple specifice includ:

• Grupul trivial , care conține doar identitatea (un obiect zero în categoria grupurilor )
• Modulul de zero , care conține numai identitatea (un obiect zero în categoria modulelor peste un inel)

Zero morfisme

Un morfism zero într-o categorie este un element de absorbție generalizat sub compoziția funcției : orice morfism compus cu un morfism zero dă un morfism zero. Mai exact, dacă 0 _XY  : X → Y este morfismul zero dintre morfismele de la X la Y și f  : A → X și g  : Y → B sunt morfisme arbitrare, atunci g ∘ 0 _XY = 0 _XB și 0 _XY ∘ f = 0 _AY .

În cazul în care o categorie are un obiect de zero 0 , atunci există morfisme canonice X → 0 și 0 → Y , iar compunerea le dă un zero morfism 0 _XY  : X → Y . În categoria grupurilor , de exemplu, zero morfisme sunt morfisme care returnează întotdeauna identități de grup, generalizând astfel funcția z ( x ) = 0.

Elemente minime

Un cel mai mic element dintr-un set parțial ordonat sau rețea poate fi uneori numit element zero și scris fie ca 0, fie ⊥.

Modul zero

În matematică , modulul zero este modulul care constă doar din identitatea aditivă pentru funcția de adăugare a modulului . În numerele întregi , această identitate este zero , ceea ce dă numele modulului zero . Faptul că modulul zero este de fapt un modul este ușor de arătat; este închis sub adunare și multiplicare banal.

Ideal zero

În matematică , idealul zero dintr-un inel este idealul constând doar din identitatea aditivă (sau elementul zero ). Faptul că acesta este un ideal rezultă direct din definiție. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ {0 \}}$

Matrice zero

În matematică , în special algebra liniară , o matrice zero este o matrice cu toate intrările sale fiind zero . Se notează alternativ cu simbolul . Câteva exemple de matrice zero sunt ${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle 0_ {1,1} = {\ begin {bmatrix} 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,3} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \}$

Setul de matrici m  ×  n cu intrări într-un inel K formează un modul . Matricea de zero în este matricea cu toate intrările egală , în cazul în care este identitatea aditiv în K . ${\ displaystyle K_ {m, n}}$${\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}}}$${\ displaystyle K_ {m, n}}$${\ displaystyle 0_ {K}}$${\ displaystyle 0_ {K}}$

${\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} = {\ begin {bmatrix} 0_ {K} și 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K} \\ 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K } \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K} \ end {bmatrix}}}$

Matricea zero este identitatea aditivă în . Adică pentru toți : ${\ displaystyle K_ {m, n}}$${\ displaystyle A \ în K_ {m, n}}$

${\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} + A = A + 0_ {K_ {m, n}} = A}$

Există exact un zero matrice de orice mărime dată m  ×  n (cu intrările dintr - un anumit inel), astfel încât atunci când contextul este clar, se referă adesea la matricea zero. În general, elementul zero al unui inel este unic și este de obicei notat ca 0 fără niciun indiciu care să indice inelul părinte. Prin urmare, exemplele de mai sus reprezintă zero matrice peste orice inel.

Matricea zero reprezintă, de asemenea, transformarea liniară care trimite toți vectorii la vectorul zero.

Tensor zero

În matematică , tensorul zero este un tensor , de orice ordin, ale cărui componente sunt zero . Tensorul zero de ordinul 1 este uneori cunoscut sub numele de vector zero.

Luând un produs tensor al oricărui tensor cu orice tensor zero rezultă un alt tensor zero. Adăugarea tensorului zero este echivalentă cu operația de identitate.

Vezi si

• Semigrup nul
• Divizor zero
• Obiect zero
• Zero al unei funcții
• Zero - utilizări nematematice

Referințe