Cuantificarea unicității - Uniqueness quantification

În matematică și logică , termenul „unicitate” se referă la proprietatea de a fi singurul obiect care îndeplinește o anumită condiție. Acest tip de cuantificare este cunoscut sub numele de cuantificare unicitate sau cuantificare existențială unică și este adesea notat cu simbolurile „ ∃ !” sau „∃ _{= 1} ”. De exemplu, afirmația formală

${\ displaystyle \ există! n \ în \ mathbb {N} \, (n-2 = 4)}$

poate fi citit ca "există exact un număr natural astfel încât ". ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n-2 = 4}$

Dovedind unicitate

Cea mai obișnuită tehnică pentru a demonstra existența unică a unui anumit obiect este de a demonstra mai întâi existența entității cu condiția dorită și apoi de a demonstra că oricare două astfel de entități (de exemplu, și ) trebuie să fie egale între ele (adică  ) . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a = b}$

De exemplu, pentru a arăta că ecuația are exact o soluție, s-ar începe mai întâi prin stabilirea faptului că există cel puțin o soluție, și anume 3; dovada acestei părți este pur și simplu verificarea că ecuația de mai jos deține: ${\ displaystyle x + 2 = 5}$

${\ displaystyle 3 + 2 = 5.}$

Pentru a stabili unicitatea soluției, s-ar proceda apoi presupunând că există două soluții, și anume și satisfăcătoare . Acesta este, ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x + 2 = 5}$

${\ displaystyle a + 2 = 5 {\ text {și}} b + 2 = 5.}$

Prin tranzitivitatea egalității,

${\ displaystyle a + 2 = b + 2.}$

Scăzând 2 din ambele părți, atunci se obține

${\ displaystyle a = b.}$

care completează dovada că 3 este soluția unică a . ${\ displaystyle x + 2 = 5}$

În general, atât existența (există cel puțin un obiect), cât și unicitatea (există cel mult un obiect) trebuie dovedite, pentru a concluziona că există exact un obiect care îndeplinește o condiție menționată.

O modalitate alternativă de a demonstra unicitatea este de a demonstra că există un obiect care îndeplinește condiția și apoi de a demonstra că fiecare obiect care îndeplinește condiția trebuie să fie egal cu . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

Reducerea la cuantificarea existențială și universală obișnuită

Cuantificarea unicității poate fi exprimată în termenii cuantificatorilor existențiali și universali ai logicii predicate , prin definirea formulei pentru a însemna ${\ displaystyle \ există! xP (x)}$

${\ displaystyle \ există x \, (P (x) \, \ wedge \ neg \ există y \, (P (y) \ wedge y \ neq x)),}$

care echivalează logic cu

${\ displaystyle \ există x \, (P (x) \ wedge \ forall y \, (P (y) \ to y = x)).}$

O definiție echivalentă care separă noțiunile de existență și unicitate în două clauze, în detrimentul conciziei, este

${\ displaystyle \ există x \, P (x) \ wedge \ forall y \, \ forall z \, (P (y) \ wedge P (z) \ to y = z).}$

O altă definiție echivalentă, care are avantajul conciziei, este

${\ displaystyle \ există x \, \ forall y \, (P (y) \ leftrightarrow y = x).}$

Generalizări

Cuantificarea unicității poate fi generalizată în cuantificarea numărării (sau cuantificării numerice). Aceasta include atât cuantificarea formei "exact k obiecte există astfel încât ...", cât și "infinit de multe obiecte există astfel încât ..." și "numai finit multe obiecte există astfel încât ...". Prima dintre aceste forme este exprimabilă folosind cuantificatori obișnuiți, dar ultimele două nu pot fi exprimate în logica obișnuită de prim ordin .

Unicitatea depinde de o noțiune de egalitate . Slăbind acest lucru într-o relație de echivalență mai grosieră se obține cuantificarea unicității până la echivalența respectivă (în acest cadru, unicitatea regulată este „unicitatea până la egalitate”). De exemplu, multe concepte din teoria categoriilor sunt definite ca fiind unice până la izomorfism .

Semnul de exclamare ( ), poate fi folosit și ca simbol de cuantificare separat, deci , unde . De exemplu, poate fi utilizat în siguranță în axioma de înlocuire , în loc de . ${\ displaystyle!}$${\ displaystyle (\ există! xP (x)) \ leftrightarrow ((\ există xP (x)) \ land (! xP (x)))}$${\ displaystyle (! xP (x)): = (\ forall a \ forall bP (a) \ land P (b) \ rightarrow a = b)}$${\ displaystyle \ există!}$

Vezi si

• Esențial unic
• One-hot
• Singleton (matematică)
• Teorema unicității

Referințe

Bibliografie

• Kleene, Stephen (1952). Introducere în metamatematică . Ishi Press International. p. 199.
• Andrews, Peter B. (2002). O introducere în logica matematică și teoria tipurilor la adevăr prin dovadă (2. ed.). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. p. 233. ISBN 1-4020-0763-9.