Teorema transversalității - Transversality theorem

În topologia diferențială , teorema transversalității , cunoscută și sub numele de teorema transversalității Thom după matematicianul francez René Thom , este un rezultat major care descrie proprietățile de intersecție transversală ale unei familii netede de hărți netede. Se spune că transversalitatea este o proprietate generică : orice hartă netedă , poate fi deformată de o cantitate mică arbitrară într-o hartă care este transversală la un submanifold dat . Împreună cu construcția Pontryagin – Thom , este inima tehnică a teoriei cobordismului și punctul de plecare pentru teoria chirurgiei . Versiunea cu dimensiuni finite a teoremei transversalității este, de asemenea, un instrument foarte util pentru stabilirea genericității unei proprietăți care este dependentă de un număr finit de parametri reali și care este exprimabilă folosind un sistem de ecuații neliniare. Aceasta poate fi extinsă la o parametrizare cu dimensiune infinită utilizând versiunea cu dimensiune infinită a teoremei transversalității. ${\ displaystyle f \ colon X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle Z \ subseteq Y}$

Versiune cu dimensiuni finite

Definiții anterioare

Să fie o hartă netedă între varietățile netede și să fie un submanifold al . Spunem că este transversal , notat ca , dacă și numai dacă pentru fiecare avem asta ${\ displaystyle f \ colon X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f \ pitchfork Z}$${\ displaystyle x \ in f ^ {- 1} \ left (Z \ right)}$

${\ displaystyle \ operatorname {im} \ left (df_ {x} \ right) + T_ {f \ left (x \ right)} Z = T_ {f \ left (x \ right)} Y}$ .

Un rezultat important despre transversalitate afirmă că dacă o hartă netedă este transversală , atunci este un submanifold regulat al . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (Z \ right)}$${\ displaystyle X}$

În cazul în care este un colector cu limită , atunci putem defini restricția hărții la limita, după cum . Harta este netedă și ne permite să afirmăm o extensie a rezultatului anterior: dacă ambele și , atunci este un submanifold obișnuit cu limită și ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ partial f \ colon \ partial X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle \ partial f}$${\ displaystyle f \ pitchfork Z}$${\ displaystyle \ partial f \ pitchfork Z}$${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (Z \ right)}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ partial f ^ {- 1} \ left (Z \ right) = f ^ {- 1} \ left (Z \ right) \ cap \ partial X}$ .

Teorema transversalității parametrice

Luați în considerare harta și definiți . Acest lucru generează o familie de mapări . Cerem ca familia să varieze ușor presupunând că este o varietate (netedă) și să fie netedă. ${\ displaystyle F \ colon X \ times S \ rightarrow Y}$${\ displaystyle f_ {s} \ left (x \ right) = F \ left (x, s \ right)}$${\ displaystyle f_ {s} \ colon X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle F}$

Enunțul teoremei transversalității parametrice este:

Să presupunem că aceasta este o hartă netedă a varietăților, în care numai are limită și să fie orice submanifold fără limită. Dacă ambele și sunt transversale la , atunci pentru aproape fiecare , ambele și sunt transversale la . ${\ displaystyle F \ colon X \ times S \ rightarrow Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ partial F}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle s \ în S}$${\ displaystyle f_ {s}}$${\ displaystyle \ partial f_ {s}}$${\ displaystyle Z}$

Teoreme de transversalitate mai generale

Teorema transversală parametrică de mai sus este suficientă pentru multe aplicații elementare (vezi cartea lui Guillemin și Pollack).

Există enunțuri mai puternice (cunoscute colectiv sub numele de teoreme de transversalitate ) care implică teorema de transversalitate parametrică și sunt necesare pentru aplicații mai avansate.

În mod informal, „teorema transversalității” afirmă că setul de mapări care sunt transversale la un submanifold dat este un subset dens deschis (sau, în unele cazuri, doar un dens ) al setului de mapări. Pentru a face o astfel de afirmație precisă, este necesar să se definească spațiul mapărilor luate în considerare și care este topologia în ea. Există mai multe posibilități; vezi cartea lui Hirsch. ${\ displaystyle G _ {\ delta}}$

Ceea ce este de obicei înțeles de teorema transversalității lui Thom este o afirmație mai puternică despre transversalitatea jetului . Vedeți cărțile lui Hirsch și ale lui Golubitsky și Guillemin. Referința originală este Thom, Bol. Soc. Mat. Mexicana (2) 1 (1956), pp. 59–71.

John Mather a dovedit în anii 1970 un rezultat și mai general numit teorema transversalității multijet . Vezi cartea lui Golubitsky și Guillemin.

Versiune cu dimensiune infinită

Versiunea infinit-dimensională a teoremei transversalității ia în considerare faptul că varietățile pot fi modelate în spații Banach.

Declarație formală

Să presupunem că este o hartă a varietăților -Banach. Să presupunem: ${\ displaystyle F: X \ times S \ to Y}$${\ displaystyle C ^ {k}}$${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$

(i) și sunt non-goale, variabile metrizabile -Banach cu spații de diagramă peste un câmp ${\ displaystyle X, S}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ mathbb {K}.}$

(ii) -map cu are ca valoare regulată. ${\ displaystyle C ^ {k}}$${\ displaystyle F: X \ times S \ to Y}$${\ displaystyle k \ geq 1}$${\ displaystyle y}$

(iii) Pentru fiecare parametru , harta este o hartă Fredholm , unde pentru fiecare ${\ displaystyle s \ în S}$${\ displaystyle f_ {s} (x) = F (x, s)}$${\ displaystyle \ operatorname {ind} Df_ {s} (x) <k}$${\ displaystyle x \ in f_ {s} ^ {- 1} (\ {y \}).}$

(iv) Convergența asupra ca și pentru toate implică existența unei subsecvențe convergente ca și pentru ${\ displaystyle s_ {n} \ to s}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ displaystyle F (x_ {n}, s_ {n}) = y}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x_ {n} \ to x}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ displaystyle x \ în X.}$

Dacă (i) - (iv) țineți, atunci există un subset deschis, dens, astfel încât să fie o valoare regulată pentru fiecare parametru ${\ displaystyle S_ {0} \ subset S}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle f_ {s}}$${\ displaystyle s \ în S_ {0}.}$

Acum, remediați un element Dacă există un număr cu pentru toate soluțiile de , atunci setul de soluții constă dintr-un colector -Banach -dimensional sau setul de soluții este gol. ${\ displaystyle s \ în S_ {0}.}$${\ displaystyle n \ geq 0}$${\ displaystyle \ operatorname {ind} Df_ {s} (x) = n}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle f_ {s} (x) = y}$${\ displaystyle f_ {s} ^ {- 1} (\ {y \})}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle C ^ {k}}$

Rețineți că, dacă pentru toate soluțiile de atunci există un subset dens deschis de astfel încât să existe cel mult finit multe soluții pentru fiecare parametru fix În plus, toate aceste soluții sunt regulate. ${\ displaystyle \ operatorname {ind} Df_ {s} (x) = 0}$${\ displaystyle f_ {s} (x) = y,}$${\ displaystyle S_ {0}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle s \ în S_ {0}.}$

Referințe

• Arnold, Vladimir I. (1988). Metode geometrice în teoria ecuațiilor diferențiale ordinare . Springer. ISBN   0-387-96649-8 .
• Golubitsky, Martin ; Guillemin, Victor (1974). Mapări stabile și particularitățile lor . Springer-Verlag. ISBN   0-387-90073-X .
• Guillemin, Victor ; Pollack, Alan (1974). Topologie diferențială . Prentice-Hall. ISBN   0-13-212605-2 .
• Hirsch, Morris W. (1976). Topologie diferențială . Springer. ISBN   0-387-90148-5 .
• Thom, René (1954). „Quelques propriétés globales des variétés differentiables”. Commentarii Mathematici Helvetici . 28 (1): 17–86. doi : 10.1007 / BF02566923 .
• Thom, René (1956). "Un lemme sur les applications différentiables". Bol. Soc. Mat. Mexicana . 2 (1): 59–71.
• Zeidler, Eberhard (1997). Analiza funcțională neliniară și aplicațiile sale: Partea 4: Aplicații la fizica matematică . Springer. ISBN   0-387-96499-1 .