Timpul de creștere - Rise time

În electronică , atunci când se descrie o tensiune sau curent funcție treaptă , timpul de creștere este timpul necesar de un semnal la trecerea de la o valoare mică specificată la o valoare ridicată specificată. Aceste valori pot fi exprimate ca rapoarte sau, echivalent, ca procente față de o anumită valoare de referință. În electronica analogică și electronica digitală , aceste procente sunt în mod obișnuit 10% și 90% (sau echivalent $0,1$ și $0,9$ ) din înălțimea pasului de ieșire: cu toate acestea, alte valori sunt utilizate în mod obișnuit. Pentru aplicațiile din teoria controlului, conform Levine (1996 , p. 158), timpul de creștere este definit ca „ timpul necesar pentru ca răspunsul să crească de la $x%$ la $y%$ din valoarea sa finală ”, cu o creștere de la 0% la 100% timp obișnuit pentru sistemele subordine de ordinul doi, 5% până la 95% pentru amortizarea critică și 10% până la 90% pentru cele supraamortizate . Potrivit lui Orwiler (1969 , p. 22), termenul "timp de creștere" se aplică fie răspunsului pozitiv, fie negativ , chiar dacă o excursie negativă afișată este denumită popular timp de cădere .

Prezentare generală

Timpul de creștere este un parametru analog de importanță fundamentală în electronica de mare viteză , deoarece este o măsură a capacității unui circuit de a răspunde la semnalele de intrare rapide. S-au depus multe eforturi pentru a reduce timpul de creștere a circuitelor, generatoarelor și echipamentelor de măsurare și transmisie a datelor. Aceste reduceri tind să provină din cercetarea dispozitivelor electronice mai rapide și din tehnicile de reducere a parametrilor circuitului rătăcit (în principal capacități și inductanțe). Pentru aplicații în afara domeniului electronicelor de mare viteză , uneori sunt de dorit perioade lungi de creștere (în comparație cu stadiul tehnicii realizabile): exemple sunt diminuarea unei lumini, unde o creștere mai lungă duce, printre altele, la o perioadă mai lungă de timp durata de viață a becului sau în controlul semnalelor analogice de către cele digitale prin intermediul unui comutator analogic , unde un timp de creștere mai lung înseamnă un avans capacitiv mai mic și, astfel, un zgomot mai mic de cuplare la liniile de semnal analogice controlate.

Factori care afectează timpul de creștere

Pentru o ieșire de sistem dată, timpul său de creștere depinde atât de timpul de creștere al semnalului de intrare, cât și de caracteristicile sistemului .

De exemplu, valorile timpului de creștere într-un circuit rezistiv se datorează în primul rând capacității și inductanței rătăcite . Deoarece fiecare circuit are nu numai rezistență , ci și capacitate și inductanță , o întârziere a tensiunii și / sau curentului la sarcină este evidentă până la atingerea stării de echilibru . Într-un circuit RC pur , timpul de creștere a ieșirii (10% până la 90%) este aproximativ egal cu $2,2 RC$ .

Definiții alternative

Alte definiții ale timpului de creștere, în afară de cea dată de Standardul Federal 1037C (1997 , p. R-22) și ușoara generalizare dată de Levine (1996 , p. 158), sunt folosite ocazional: aceste definiții alternative diferă de standard nu numai pentru nivelurile de referință avute în vedere. De exemplu, intervalul de timp corespunzător grafic punctelor de interceptare ale tangentei trase prin punctul de 50% al răspunsului funcției pas este ocazional folosit. O altă definiție, introdusă de Elmore (1948 , p. 57), folosește concepte din statistici și teoria probabilităților . Având în vedere un răspuns de pas $V (t)$ , el redefinește timpul de întârziere $t D$ ca primul moment al primei sale derivate $V ' (t)$ , adică

{\ displaystyle t_ {D} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {+ \ infty} tV ^ {\ prime} (t) \ mathrm {d} t} {\ int _ {0} ^ {+ \ infty} V ^ {\ prime} (t) \ mathrm {d} t}}.}

În cele din urmă, el definește timpul de creștere $t r$ folosind al doilea moment

{\ displaystyle t_ {r} ^ {2} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {+ \ infty} (t-t_ {D}) ^ {2} V ^ {\ prime} (t) \ mathrm {d} t} {\ int _ {0} ^ {+ \ infty} V ^ {\ prime} (t) \ mathrm {d} t}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad t_ {r} = {\ sqrt {\ frac {\ int _ {0} ^ {+ \ infty} (t-t_ {D}) ^ {2} V ^ {\ prime} (t) \ mathrm {d} t} {\ int _ {0 } ^ {+ \ infty} V ^ {\ prime} (t) \ mathrm {d} t}}}}

Timp de creștere al sistemelor model

Notaţie

Toate notațiile și ipotezele necesare pentru analiză sunt enumerate aici.

Urmând Levine ( 1996 , p. 158, 2011 , 9-3 (313)), definim $x%$ ca procentaj de valoare scăzută și $y%$ procentual de valoare ridicată față de o valoare de referință a semnalului al cărui timp de creștere este de estimat .
$t 1$ este timpul la care ieșirea sistemului analizat este la $x%$ din valoarea stării de echilibru, în timp ce $t 2$ este cel la care este la $y%$ , ambele măsurate în secunde .
$t r$ este timpul de creștere al sistemului analizat, măsurat în secunde. Prin definitie, ${\ displaystyle t_ {r} = t_ {2} -t_ {1}.}$
$f L$ este frecvența de tăiere mai mică (-3 dB punct) a sistemului analizat, măsurată în hertz .
$f H$ este frecvența de tăiere mai mare (-3 dB punct) a sistemului analizat, măsurată în hertz.
$h (t)$ este răspunsul de impuls al sistemului analizat în domeniul timpului.
$H (ω)$ este răspunsul în frecvență al sistemului analizat în domeniul frecvenței.
Lățime de bandă este definită ca ${\ displaystyle BW = f_ {H} -f_ {L}}$ și întrucât frecvența de întrerupere mai mică $f L$ este de obicei cu câteva decenii mai mică decât frecvența de întrerupere mai mare $f H$ , ${\ displaystyle BW \ cong f_ {H}}$
Toate sistemele analizate aici au un răspuns de frecvență care se extinde la $0$ (sisteme low-pass), astfel ${\ displaystyle f_ {L} = 0 \, \ Longleftrightarrow \, f_ {H} = BW}$ exact.
Din motive de simplitate, toate sistemele analizate în secțiunea „ Exemple simple de calcul al timpului de creștere ” sunt rețele electrice cu câștig de unitate și toate semnalele sunt considerate ca tensiuni : intrarea este o funcție pas a $V$ $0$ volți , iar acest lucru implică faptul că ${\ displaystyle {\ frac {V (t_ {1})} {V_ {0}}} = {\ frac {x \%} {100}} \ qquad {\ frac {V (t_ {2})} { V_ {0}}} = {\ frac {y \%} {100}}}$
$ζ$ este raportul de amortizare și $ω 0$ este frecvența naturală a unui sistem dat de ordinul doi .

Exemple simple de calcul al timpului de creștere

Scopul acestei secțiuni este calcularea timpului de creștere a răspunsului pasului pentru unele sisteme simple:

Sistem de răspuns gaussian

Se spune că un sistem are un răspuns gaussian dacă este caracterizat de următorul răspuns de frecvență

{\ displaystyle | H (\ omega) | = e ^ {- {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}}}}

unde $σ > 0$ este o constantă, legată de frecvența mare de întrerupere prin următoarea relație:

{\ displaystyle f_ {H} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi}} {\ sqrt {{\ frac {3} {20}} \ ln 10}} \ cong 0.0935 \ sigma.}

Chiar dacă acest tip de răspuns în frecvență nu este realizabil de un filtru cauzal , utilitatea sa constă în faptul că comportamentul unei conexiuni în cascadă a filtrelor de trecere joasă de ordinul întâi se apropie de comportamentul acestui sistem mai mult pe măsură ce numărul de etape în cascadă crește asimptotic la infinit . Răspunsul la impuls corespunzător poate fi calculat folosind transformata Fourier inversă a răspunsului de frecvență arătat

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ {H \} (t) = h (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int \ limits _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} {e ^ {- {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}}} e ^ {i \ omega t}} d \ omega = {\ frac { \ sigma} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} e ^ {- {\ frac {1} {4}} \ sigma ^ {2} t ^ {2}}}

Aplicând direct definiția răspunsului la pas ,

{\ displaystyle V (t) = V_ {0} {H * h} (t) = {\ frac {V_ {0}} {\ sqrt {\ pi}}} \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ frac {\ sigma t} {2}} e ^ {- \ tau ^ {2}} d \ tau = {\ frac {V_ {0}} {2}} \ left [1+ \ mathrm {erf} \ left ({\ frac {\ sigma t} {2}} \ right) \ right] \ quad \ Longleftrightarrow \ quad {\ frac {V (t)} {V_ {0}}} = {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ mathrm {erf} \ left ({\ frac {\ sigma t} {2}} \ right) \ right].}

Pentru a determina timpul de creștere de la 10% la 90% al sistemului, este necesar să se rezolve pentru timp următoarele două ecuații:

{\ displaystyle {\ frac {V (t_ {1})} {V_ {0}}} = 0.1 = {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ mathrm {erf} \ left ({\ frac {\ sigma t_ {1}} {2}} \ right) \ right] \ qquad {\ frac {V (t_ {2})} {V_ {0}}} = 0.9 = {\ frac {1} { 2}} \ left [1+ \ mathrm {erf} \ left ({\ frac {\ sigma t_ {2}} {2}} \ right) \ right],}

Prin utilizarea proprietăților cunoscute ale funcției de eroare , se găsește valoarea $t = - t 1 = t 2$ : deoarece $t r = t 2 - t 1 = 2 t$ ,

{\ displaystyle t_ {r} = {\ frac {4} {\ sigma}} {\ operatorname {erf} ^ {- 1} (0.8)} \ cong {\ frac {0.3394} {f_ {H}}}, }

și, în sfârșit

{\ displaystyle t_ {r} \ cong {\ frac {0.34} {BW}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad BW \ cdot t_ {r} \ cong 0.34.}

Rețea RC cu o etapă low-pass

Pentru o rețea RC cu trecere joasă într-o etapă simplă, timpul de creștere de la 10% la 90% este proporțional cu constanta de timp a rețelei $τ = RC$ :

{\ displaystyle t_ {r} \ cong 2.197 \ tau}

Constanta de proporționalitate poate fi derivată din cunoașterea răspunsului la pas al rețelei la un semnal de intrare funcție pas pas cu amplitudine $V 0$ :

{\ displaystyle V (t) = V_ {0} \ left (1-e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \ right)}

Rezolvarea timpului

{\ displaystyle {\ frac {V (t)} {V_ {0}}} = \ left (1-e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \ right) \ quad \ Longleftrightarrow \ quad {\ frac {V (t)} {V_ {0}}} - 1 = -e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad 1 - {\ frac {V ( t)} {V_ {0}}} = e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}},}

și, în sfârșit,

{\ displaystyle \ ln \ left (1 - {\ frac {V (t)} {V_ {0}}} \ right) = - {\ frac {t} {\ tau}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad t = - \ tau \; \ ln \ left (1 - {\ frac {V (t)} {V_ {0}}} \ right)}

Deoarece $t 1$ și $t 2$ sunt astfel încât

{\ displaystyle {\ frac {V (t_ {1})} {V_ {0}}} = 0.1 \ qquad {\ frac {V (t_ {2})} {V_ {0}}} = 0.9,}

rezolvând aceste ecuații găsim expresia analitică pentru $t 1$ și $t 2$ :

{\ displaystyle t_ {1} = - \ tau \; \ ln \ left (1-0.1 \ right) = - \ tau \; \ ln \ left (0.9 \ right) = - \ tau \; \ ln \ left ( {\ frac {9} {10}} \ right) = \ tau \; \ ln \ left ({\ frac {10} {9}} \ right) = \ tau ({\ ln 10} - {\ ln 9 })}

{\ displaystyle t_ {2} = \ tau \ ln {10}}

Prin urmare, timpul de creștere este proporțional cu constanta de timp:

{\ displaystyle t_ {r} = t_ {2} -t_ {1} = \ tau \ cdot \ ln 9 \ cong \ tau \ cdot 2.197}

Acum, observând asta

{\ displaystyle \ tau = RC = {\ frac {1} {2 \ pi f_ {H}}},}

atunci

{\ displaystyle t_ {r} = {\ frac {2 \ ln 3} {2 \ pi f_ {H}}} = {\ frac {\ ln 3} {\ pi f_ {H}}} \ cong {\ frac {0.349} {f_ {H}}},}

și întrucât cutoff-ul de înaltă frecvență este egal cu lățimea de bandă,

{\ displaystyle t_ {r} \ cong {\ frac {0.35} {BW}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad BW \ cdot t_ {r} \ cong 0.35.}

În cele din urmă, rețineți că, dacă se ia în considerare timpul de creștere de la 20% la 80%, $t r$ devine:

{\ displaystyle t_ {r} = \ tau \ cdot \ ln {\ frac {8} {2}} = (2 \ ln 2) \ tau \ cong 1.386 \ tau \ quad \ Longleftrightarrow \ quad t_ {r} = { \ frac {\ ln 2} {\ pi BW}} \ cong {\ frac {0.22} {BW}}}

Rețea LR low-pass într-o etapă

Chiar și pentru o simplă rețea RL-pass low-o singură etapă, 10% până la 90% , timpul de creștere este proporțională cu timpul de rețea constantă $τ = .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} L / R$ . Dovada formală a acestei afirmații procedează exact așa cum se arată în secțiunea anterioară: singura diferență între expresiile finale pentru timpul de creștere se datorează diferenței în expresiile pentru constanta de timp $τ$ a celor două circuite diferite, conducând în cazul de față. la următorul rezultat

{\ displaystyle t_ {r} = \ tau \ cdot \ ln 9 = {\ frac {L} {R}} \ cdot \ ln 9 \ cong {\ frac {L} {R}} \ cdot 2.197}

Timp de creștere al sistemelor amortizate de ordinul doi

Conform lui Levine (1996 , p. 158), pentru sistemele subamortizate utilizate în teoria controlului, timpul de creștere este de obicei definit ca timpul pentru ca o formă de undă să treacă de la 0% la 100% din valoarea sa finală: în consecință, timpul de creștere de la 0 la 100% dintr-un sistem subordonat de ordinul 2 are următoarea formă:

{\ displaystyle t_ {r} \ cdot \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}} \ left [\ pi - \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}} {\ zeta}} \ right) \ right]}

Pătratic aproximarea pentru timpul de creștere a normalizat pentru un sistem de două-comandă, ca răspuns pas , fără zerouri este:

{\ displaystyle t_ {r} \ cdot \ omega _ {0} = 2.230 \ zeta ^ {2} -0.078 \ zeta +1.12}

unde $ζ$ este raportul de amortizare și $ω 0$ este frecvența naturală a rețelei.

Timp de creștere a blocurilor în cascadă

Luați în considerare un sistem compus din $n$ blocuri care nu interacționează în cascadă, fiecare având un timp de creștere $t r i$ , $i = 1, ..., n$ și fără depășire în răspunsul la pas : să presupunem, de asemenea, că semnalul de intrare al primului bloc are un timp de creștere a cărei valoare este $t r S$ . Ulterior, semnalul de ieșire are un timp de creștere $t r 0$ egal cu

{\ displaystyle t_ {r_ {O}} = {\ sqrt {t_ {r_ {S}} ^ {2} + t_ {r_ {1}} ^ {2} + \ dots + t_ {r_ {n}} ^ {2}}}}

Potrivit lui Valley & Wallman (1948 , pp. 77–78), acest rezultat este o consecință a teoremei limitei centrale și a fost dovedit de Wallman (1950) : totuși, o analiză detaliată a problemei este prezentată de Petitt & McWhorter (1961) , §4-9, pp. 107-115), care îl recunosc și pe Elmore (1948) ca primul care a demonstrat formula anterioară pe o bază oarecum riguroasă.

Vezi si

Note

Referințe

Cireș, EM ; Hooper, DE (1968), Amplifying Devices and Low-pass Amplifier Design , New York – Londra– Sidney : John Wiley & Sons , pp. Xxxii + 1036.
Elmore, William C. (ianuarie 1948), „Răspunsul tranzitoriu al rețelelor liniare amortizate cu o atenție deosebită la amplificatoarele de bandă largă”, Journal of Applied Physics , 19 (1): 55–63, doi : 10.1063 / 1.1697872.
Levine, William S. (1996), Manualul de control , Boca Raton, FL : CRC Press , pp. Xvi + 1548, ISBN 0-8493-8570-9.
Levine, William S. (2011) [1996], The Control Handbook: Control Systems Fundamentals (ediția a doua), Boca Raton, FL : CRC Press , pp. Xx + 766, ISBN 978-1-4200-7362-1.
Millman, Jacob; Taub, Herbert (1965), Pulse, forme de undă digitale și de comutare , New York - St. Louis - San Francisco - Toronto - Londra - Sydney : McGraw-Hill , pp. Xiv + 958.
Divizia Națională de Sisteme de Comunicare, Tehnologie și Standarde (1 martie 1997), Standardul Federal 1037C. Telecomunicații: Glosar de termeni de telecomunicații , FSC TELE, FED – STD – 1037, Washington: General Service Administration Information Technology Service, p. 488.
Nise, Norman S. (2011), Control Systems Engineering (ediția a 6-a), New York: John Wiley & Sons , pp. Xviii + 928, ISBN 978-0470-91769-5.
Ogata, Katsuhiko (2010) [1970], Modern Control Engineering (ediția a 5-a), Englewood Cliffs, NJ : Prentice Hall , pp. X + 894, ISBN 978-0-13-615673-4.
Orwiler, Bob (decembrie 1969), Circuite amplificator vertical (PDF) , Circuit Concepts, 062-1145-00 (prima ediție), Beaverton, OR : Tektronix , p. 461.
Petitt, Joseph Mayo ; McWhorter, Malcolm Myers (1961), Circuite electronice de amplificare. Theory and Design , McGraw-Hill Electrical and Electronics Series, New York – Toronto – London: McGraw-Hill , pp. Xiii + 325.
Valley, George E., Jr .; Wallman, Henry (1948), "§2 din capitolul 2 și §1-7 din capitolul 7", Amplificatoare cu tuburi de vid , MIT Radiation Laboratory Series, 18 , New York : McGraw-Hill ., Pp. Xvii + 743.
Wallman, Henry (1950), „Răspunsul tranzitoriu și teorema limită centrală a probabilității”, în Taub, AH (ed.), Electromagnetic Theory (Massachusetts Institute of Technology, 29-31 iulie 1948) , Proceedings of Symposia in Applied Mathematics , 2 , Providence : American Mathematical Society ., P. 91, MR 0034250 , Zbl 0035.08102.

Languages

In other projects