Inel topologic - Topological ring

În matematică , un inel topologic este un inel R care este, de asemenea, un spațiu topologic astfel încât atât adunarea, cât și multiplicarea sunt continue ca hărți:

${\ displaystyle R \ times R \ to R}$

unde poartă topologia produsului . Asta înseamnă că R este un grup topologic aditiv și un semigrup topologic multiplicativ . ${\ displaystyle R \ times R}$

Inelele topologice sunt legate în mod fundamental de câmpurile topologice și apar în mod natural în timpul studierii lor, deoarece, de exemplu, completarea unui câmp topologic poate fi un inel topologic care nu este un câmp .

Comentarii generale

Grupul de unități R ^x al unui inel topologic R este un grup topologic când înzestrat cu topologia care vine din încastrarea lui R ^x în produsul R × R ca ( x , x ^-1 ). Cu toate acestea, dacă grupul de unități este dotat cu topologia subspaiului ca subspai al lui R , este posibil să nu fie un grup topologic, deoarece inversarea pe R ^× nu trebuie să fie continuă în raport cu topologia subspaiului. Un exemplu al acestei situații este inelul adele al unui câmp global ; grupul său de unități, numit grupul idele , nu este un grup topologic în topologia subspaiului . Dacă inversiunea pe R ^× este continuă în topologia subspaiului lui R, atunci aceste două topologii pe R ^× sunt aceleași.

Dacă nu este nevoie de un inel pentru a avea o unitate, atunci trebuie să adăugați cerința de continuitate a inversului aditiv, sau echivalent, pentru a defini inelul topologic ca un inel care este un grup topologic (pentru +) în care multiplicarea este continuă, de asemenea.

Exemple

Inelele topologice apar în analiza matematică , de exemplu, ca inele cu funcții de valoare reală continue pe un anumit spațiu topologic (unde topologia este dată de convergență punctuală), sau ca inele de operatori lineari continui pe un anumit spațiu vector normat ; toate algebrele Banach sunt inele topologice. Cele mai raționale , reale , complexe și p -adic numerele sunt , de asemenea , inele topologice (chiar și câmpurile topologice, vezi mai jos) , cu topologii lor standard. În plan, numerele crapare complexe și numere duble forma inele topologice alternative. Vezi numerele hipercomplexe pentru alte exemple cu dimensiuni reduse.

În algebră , următoarea construcție este obișnuită: se începe cu un inel comutativ R care conține un I ideal și apoi se ia în considerare topologia I -adică pe R : un subset U al lui R este deschis dacă și numai dacă pentru fiecare x din U există un număr natural n astfel încât x + I ⁿ ⊆ U . Aceasta transformă R într-un inel topologic. I topologie -adic este Hausdorff dacă și numai dacă intersecția tuturor puterilor I este idealul zero (0).

P topologie -adic pe numerele întregi este un exemplu de I topologie -adic (cu I = ( p )).

Completare

Fiecare inel topologic este un grup topologic (în ceea ce privește adăugarea) și, prin urmare, un spațiu uniform într-un mod natural. Astfel, se poate întreba dacă un inel topologic dat R este complet . Dacă nu este, atunci acesta poate fi completat : se poate găsi un complet , în esență , unic inel topologic S care conține R ca o densă subinel astfel încât dat topologia R este egală cu topologia subspațiu care rezultă din S . Dacă inelul de pornire R este metric, inelul S poate fi construit ca un set de clase de echivalență a secvențelor Cauchy în R , această relație de echivalență face inelul S Hausdorff și folosind secvențe constante (care sunt Cauchy) se realizează un (uniform) continuu morfism (CM în continuare) c  : R → S astfel încât, pentru toate CM f  : R → T unde T este Hausdorff și complet, există un CM g unic  : S → T astfel încât . Dacă R nu este metric (ca, de exemplu, inelul tuturor funcțiilor cu valoare rațională variabilă reală, adică toate funcțiile f  : R → Q dotate cu topologia convergenței punctuale), construcția standard utilizează filtre Cauchy minime și îndeplinește aceeași proprietate universală ca mai sus (vezi Bourbaki , Topologie generală, III.6.5). ${\ displaystyle f = g \ circ c}$

Inelele de serii de puteri formale și p -adic întregi sunt cel mai natural definite ca completări ale unor inele topologice care transportă I topologii -adic.

Câmpuri topologice

Unele dintre cele mai importante exemple sunt câmpurile topologice . Un câmp topologic este un inel topologic care este, de asemenea, un câmp , și astfel încât inversarea elementelor diferite de zero este o funcție continuă. Cele mai frecvente exemple sunt numerele complexe și toate subcâmpurile sale și câmpurile evaluate , care includ câmpurile p -adic .

Citații

Referințe