Matricea Symplectic - Symplectic matrix

În matematică, o matrice simplectică este o matrice cu intrări reale care îndeplinește condiția ${\ displaystyle 2n \ times 2n}$ ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle M ^ {\ text {T}} \ Omega M = \ Omega,}$

( 1 )

unde denotă transpusa lui și este fixat nesingular , matricea skew simetrică . Această definiție poate fi extinsă la matrici cu intrări în alte câmpuri , cum ar fi numerele complexe , câmpurile finite , numerele p -adice și câmpurile funcționale . ${\ displaystyle M ^ {\ text {T}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle 2n \ times 2n}$ ${\ displaystyle 2n \ times 2n}$

De obicei este ales să fie matricea bloc${\ displaystyle \ Omega}$

unde este matricea identității . Matricea are determinant, iar inversul său este . ${\ displaystyle I_ {n}}$${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle \ Omega ^ {- 1} = \ Omega ^ {\ text {T}} = - \ Omega}$

Proprietăți

Generatoare pentru matrici simplectice

Fiecare matrice simplectică are un factor determinant , iar matricile simplectice cu intrări reale formează un

subgrup al grupului liniar general sub multiplicare matricială, deoarece simplplic este o proprietate stabilă sub multiplicare matricială. Topologic , acest grup simplectic este un grup Lie conectat necompact real de dimensiune reală și este notat . Grupul simplectic poate fi definit ca ansamblul transformărilor liniare care păstrează forma simplectică a unui spațiu vectorial simplectic real . ${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle 2n \ times 2n}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (2n; \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle n (2n + 1)}$${\ displaystyle \ mathrm {Sp} (2n; \ mathbb {R})}$

Acest grup simplectic are un set distins de generatoare, care pot fi folosite pentru a găsi toate matricile simplectice posibile. Aceasta include următoarele seturi

$${\ displaystyle {\ begin {align} D (n) = & \ left \ {{\ begin {pmatrix} A & 0 \\ 0 & (A ^ {T}) ^ {- 1} \ end {pmatrix}}: A \ în {\ text {GL}} (n; \ mathbb {R}) \ right \} \\ N (n) = & \ left \ {{\ begin {pmatrix} I_ {n} & B \\ 0 & I_ {n} \ end {pmatrix}}: B \ in {\ text {Sym}} (n; \ mathbb {R}) \ right \} \ end {align}}}$$

unde este mulțimea matricilor simetrice . Apoi, este generat de setul ^{p. 2}${\ displaystyle {\ text {Sym}} (n; \ mathbb {R})}$${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Sp} (2n; \ mathbb {R})}$ de matrice. Cu alte cuvinte, orice matrice simplectică poate fi construită prin înmulțirea matricilor în și împreună, împreună cu o anumită putere de . ${\ displaystyle D (n)}$${\ displaystyle N (n)}$${\ displaystyle \ Omega}$

Matrice inversă

Fiecare matrice simplectică este inversabilă cu matricea inversă dată de

Mai mult, produsul a două matrice simplectice este, din nou, o matrice simplectică. Acest lucru conferă setului tuturor matricelor simplectice structura unui grup . Există o structură naturală a varietății pe acest grup care o transformă într-un grup Lie (real sau complex) numit grup simplectic .

Proprietăți determinante

Din definiție rezultă cu ușurință că determinantul oricărei matrice simplectice este ± 1. De fapt, se dovedește că determinantul este întotdeauna +1 pentru orice câmp. O modalitate de a vedea acest lucru este prin utilizarea Pfaffian și a identității

De atunci și avem asta . ${\ displaystyle M ^ {\ text {T}} \ Omega M = \ Omega}$${\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (\ Omega) \ neq 0}$${\ displaystyle \ det (M) = 1}$

Atunci când câmpul de bază este real sau complex, se poate arăta acest lucru și prin factorizarea inegalității . ${\ displaystyle \ det (M ^ {\ text {T}} M + I) \ geq 1}$

Forma bloc a matricelor simplectice

Să presupunem că Ω este dat în forma standard și să fie o matrice de bloc dată de ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 2n \ times 2n}$

unde sunt matricile. Condiția pentru a fi simplectică este echivalentă cu următoarele două condiții echivalente${\ displaystyle A, B, C, D}$${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle A ^ {\ text {T}} C, B ^ {\ text {T}} D}$ simetric și ${\ displaystyle A ^ {\ text {T}} DC ^ {\ text {T}} B = I}$

${\ displaystyle AB ^ {\ text {T}}, CD ^ {\ text {T}}}$ simetric și ${\ displaystyle AD ^ {\ text {T}} - BC ^ {\ text {T}} = I}$

Când aceste condiții se reduc la condiția unică . Astfel, o matrice este simplectică dacă are un factor determinant. ${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle \ det (M) = 1}$${\ displaystyle 2 \ times 2}$

Matricea inversă a matricei bloc

Cu în formă standard, inversul lui este dat de ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle M}$

Grupul are dimensiune . Acest lucru poate fi observat observând că este antisimetric. Deoarece spațiul matricilor antisimetrice are dimensiune , identitatea impune constrângeri asupra coeficienților și pleacă cu coeficienți independenți. ${\ displaystyle n (2n + 1)}$${\ displaystyle (M ^ {\ text {T}} \ Omega M) ^ {\ text {T}} = - M ^ {\ text {T}} \ Omega M}$${\ displaystyle {\ binom {2n} {2}},}$${\ displaystyle M ^ {\ text {T}} \ Omega M = \ Omega}$${\ displaystyle 2n \ choose 2}$${\ displaystyle (2n) ^ {2}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n (2n + 1)}$

Transformări simplectice

În formularea abstractă a algebrei liniare , matricile sunt înlocuite cu transformări liniare ale spațiilor vectoriale cu dimensiuni finite . Analogul abstract al unei matrice simplectice este o transformare simplectică a unui spațiu vectorial simplectic . Pe scurt, un spațiu vectorial simplectică este un spațiu vectorial -dimensional echipat cu un nedegenerat , oblic-simetric formă biliniară numită forma simplectică . ${\ displaystyle (V, \ omega)}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ omega}$

O transformare simplectică este apoi o transformare liniară care păstrează , adică ${\ displaystyle L: V \ to V}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ omega (Lu, Lv) = \ omega (u, v).}$

Fixarea unei baze pentru , poate fi scrisă ca o matrice și ca o matrice . Condiția care să fie o transformare simplectică este tocmai condiția ca M să fie o matrice simplectică: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle M ^ {\ text {T}} \ Omega M = \ Omega.}$

Sub o schimbare de bază , reprezentată de o matrice A , avem

${\ displaystyle \ Omega \ mapsto A ^ {\ text {T}} \ Omega A}$

${\ displaystyle M \ mapsto A ^ {- 1} MA.}$

Se poate aduce întotdeauna să fie formularul standard prezentat în introducere sau sub formă diagonală de bloc este descris mai jos printr - o alegere adecvată a A . ${\ displaystyle \ Omega}$

Matricea Ω

Matricile simplectice sunt definite în raport cu o matrice fixă nesingulară , simetrică . Așa cum sa explicat în secțiunea precedentă, poate fi gândită ca o reprezentare a unei coordonatei nedegenerat formă biliniară oblic simetrică . Este un rezultat de bază în algebră liniară că oricare două astfel de matrici diferă între ele printr-o schimbare de bază . ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Cea mai comună alternativă la standardul dat mai sus este forma diagonală bloc${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ Omega = {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {matrix}} && 0 \\ & \ ddots & \\ 0 && {\ begin {matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}.}$

Această alegere diferă de cea precedentă printr-o permutare a vectorilor de bază .

Uneori notația este utilizată în locul matricei simetrice înclinate. Aceasta este o alegere deosebit de nefericită, deoarece conduce la confuzie cu noțiunea de structură complexă , care are adesea aceeași expresie de coordonate ca și reprezintă o structură foarte diferită. O structură complexă este reprezentarea de coordonate a unei transformări liniare care se pătrează la , în timp ce este reprezentarea de coordonate a unei forme biliniare nedegenerate înclinate-simetrice. S-ar putea alege cu ușurință baze în care nu este asimetric sau nu se potrivește . ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle -I_ {n}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle -I_ {n}}$

Având o structură hermitiană pe un spațiu vector și sunt legate prin ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ Omega _ {ab} = - g_ {ac} {J ^ {c}} _ {b}}$

unde este metrica . Aceasta și de obicei au aceeași expresie de coordonate (până la un semn general) este pur și simplu o consecință a faptului că metrica g este de obicei matricea identității. ${\ displaystyle g_ {ac}}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ Omega}$

Diagonalizare și descompunere

• Pentru orice matrice simpletică simetrică pozitivă definită S există U în U (2 n , R ) astfel încât

${\ displaystyle S = U ^ {\ text {T}} DU \ quad {\ text {for}} \ quad D = \ operatorname {diag} (\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n} , \ lambda _ {1} ^ {- 1}, \ ldots, \ lambda _ {n} ^ {- 1}),}$
unde elementele diagonale ale lui D sunt valorile proprii ale S .

• Orice matrice simplectică reală S are o descompunere polară a formei:

${\ displaystyle S = UR \ quad {\ text {for}} \ quad U \ in \ operatorname {U} (2n, \ mathbb {R}) {\ text {și}} R \ in \ operatorname {Sp} ( 2n, \ mathbb {R}) \ cap \ operatorname {Sym} _ {+} (2n, \ mathbb {R}).}$

• Orice matrice simplectică reală poate fi descompusă ca produs de trei matrice:

${\ displaystyle S = O {\ begin {pmatrix} D & 0 \\ 0 & D ^ {- 1} \ end {pmatrix}} O ',}$

( 2 )

astfel încât O și O ' sunt ambele simplectice și ortogonale, iar D este pozitiv-definit și diagonal . Această descompunere este strâns legată de descompunerea valorii singulare a unei matrice și este cunoscută sub numele de descompunere „Euler” sau „Bloch-Mesia”.

Matrici complexe

Dacă în schimb M este o matrice de 2 n × 2 n cu intrări complexe , definiția nu este standard în toată literatura. Mulți autori ajustează definiția de mai sus la

${\ displaystyle M ^ {*} \ Omega M = \ Omega \ ,.}$

( 3 )

unde M ^* denotă transpusa conjugată a M . În acest caz, determinantul poate să nu fie 1, dar va avea valoarea absolută 1. În cazul 2 × 2 ( n = 1), M va fi produsul unei matrice simplectice reale și a unui număr complex de valoare absolută 1.

Alți autori păstrează definiția ( 1 ) pentru matrici complexe și apelează matrici care îndeplinesc ( 3 ) conjugat simplectic .

Aplicații

Transformările descrise de matricile simplectice joacă un rol important în optica cuantică și în teoria informației cuantice cu variabilă continuă . De exemplu, matricile simplectice pot fi folosite pentru a descrie transformările Gaussiene (Bogoliubov) ale unei stări cuantice a luminii. La rândul său, descompunerea Bloch-Messiah ( 2 ) înseamnă că o astfel de transformare gaussiană arbitrară poate fi reprezentată ca un set de doi interferometri liniari-optici pasivi (corespunzători matricilor ortogonale O și O ' ) intermitute de un strat de neliniare active stoarcerea transformărilor (date în termeni de matrice D ). De fapt, se poate ocoli necesitatea unor astfel de transformări active de stoarcere în linie dacă stările de vid stoarse în două moduri sunt disponibile doar ca resursă anterioară.

Vezi si

• spațiul vectorial simplectic
• grupul simplectic
• reprezentare simplectică
• matrice ortogonală
• matrice unitară
• Mecanica hamiltoniană
• Structură complexă liniară

Referințe