Interpolare multivariată - Multivariate interpolation

În analiza numerică , interpolare multivariată este interpolare asupra funcțiilor mai multor variabile; atunci când variațiile sunt coordonate spațiale , este cunoscut și sub numele de interpolare spațială .

Funcția care trebuie interpolată este cunoscută în puncte date, iar problema de interpolare constă în obținerea de valori în puncte arbitrare . ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i}, \ dots)}$${\ displaystyle (x, y, z, \ dots)}$

Interpolația multivariată este deosebit de importantă în geostatistică , unde este utilizată pentru a crea un model digital de elevație dintr-un set de puncte de pe suprafața Pământului (de exemplu, înălțimile punctelor într-un sondaj topografic sau adâncimile într-un sondaj hidrografic ).

Grilă regulată

Comparația unor interpolații cu 1 și 2 dimensiuni. Punctele
negre și roșii / galbene / verzi / albastre corespund punctului interpolat și respectiv eșantioanelor învecinate.
Înălțimile lor deasupra solului corespund valorilor lor.

Pentru valorile funcției cunoscute pe o rețea obișnuită (având o distanță predeterminată, nu neapărat uniformă), sunt disponibile următoarele metode.

Orice dimensiune

• Interpolare cu cel mai apropiat vecin
• n-interpolare liniară (vezi interpolare bi- și triliniară și polinom multiliniar )
• n-interpolare cubică (vezi interpolare bi- și tricubică )
• Kriging
• Ponderarea inversă a distanței
• Interpolare naturală a vecinilor
• Interpolare spline
• Interpolarea funcției bazei radiale

2 dimensiuni

• Interpolare Barnes
• Interpolare biliniară
• Interpolare bicubică
• Suprafața Bézier
• Reeșantionarea Lanczos
• Triangularea Delaunay

Reeșantionarea bitmap-ului este aplicarea interpolației multivariate 2D în procesarea imaginilor .

Trei dintre metodele aplicate pe același set de date, din 25 de valori situate la punctele negre. Culorile reprezintă valorile interpolate.

A se vedea, de asemenea , punctele Padova , pentru interpolare polinomială în două variabile.

3 dimensiuni

• Interpolare triliniară
• Interpolare tricubică

Vezi și resamplarea bitmap-ului .

Dispozitive de tensiune pentru spline pentru N dimensiuni

Canelurile Catmull-Rom pot fi ușor generalizate la orice număr de dimensiuni. Articolul spline cubic Hermite vă va reaminti că pentru un 4-vector care este doar o funcție a lui x , unde este valoarea funcției de interpolat. Rescrieți această aproximare ca ${\ displaystyle \ mathrm {CINT} _ {x} (f _ {- 1}, f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}) = \ mathbf {b} (x) \ cdot \ left (f_ { -1} f_ {0} f_ {1} f_ {2} \ dreapta)}$${\ displaystyle \ mathbf {b} (x)}$${\ displaystyle f_ {j}}$${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle \ mathrm {CR} (x) = \ sum _ {i = -1} ^ {2} f_ {i} b_ {i} (x)}$

Această formulă poate fi generalizată direct la N dimensiuni:

${\ displaystyle \ mathrm {CR} (x_ {1}, \ dots, x_ {N}) = \ sum _ {i_ {1}, \ dots, i_ {N} = - 1} ^ {2} f_ {i_ {1} \ dots i_ {N}} \ prod _ {j = 1} ^ {N} b_ {i_ {j}} (x_ {j})}$

Rețineți că se pot face generalizări similare pentru alte tipuri de interpolare spline, inclusiv spline Hermite. În ceea ce privește eficiența, formula generală poate fi de fapt calculată ca o compoziție de operații succesive de tip pentru orice tip de spline tensorale de produs, așa cum se explică în articolul de interpolare tricubică . Cu toate acestea, rămâne faptul că, dacă există termeni în suma-unidimensională , atunci vor exista termeni în sumarea -dimensională. ${\ displaystyle \ mathrm {CINT}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathrm {CR}}$${\ displaystyle n ^ {N}}$${\ displaystyle N}$

Grilă neregulată (date împrăștiate)

Schemele definite pentru date împrăștiate pe o grilă neregulată sunt mai generale. Toți ar trebui să funcționeze pe o rețea obișnuită, reducându-se de obicei la o altă metodă cunoscută.

• Interpolare cu cel mai apropiat vecin
• Triangulație de rețea neregulate pe bază de vecin naturale
• Interpolare liniară triangulară neregulată bazată pe rețea (un tip de funcție liniară în bucăți )
  • n- interpolare simplex (ex. tetraedru) (vezi sistemul de coordonate barentric )
• Ponderarea inversă a distanței
• Kriging
• Kriging cu gradient îmbunătățit (GEK)
• Spline subțire
• Spline poliarmonice ( spline cu plăci subțiri este un caz special al splinei poliarmonice)
• Funcția bazei radiale ( splinele poliarmonice sunt un caz special al funcțiilor bazei radiale cu termeni polinomiali de grad scăzut)
• Minuscule pătrate spline
• Interpolare naturală a vecinilor

Griding este procesul de conversie a datelor distanțate neregulat într-o grilă obișnuită (date cu grilă).

Vezi si

• Montarea suprafeței
• Netezire

Note

linkuri externe

• Exemplu de cod C ++ pentru mai multe interpolare spline 1D, 2D și 3D (inclusiv spline Catmull-Rom).
• Multi-dimensional Hermite Interpolation and Approximation , Prof. Chandrajit Bajaja, Universitatea Purdue
• Biblioteca Python care conține metode de interpolare spline 3D și 4D.