Probit - Probit

Complotul funcției probit

În teoria probabilității și statisticile , funcția probit este funcția cuantilă asociată cu distribuția normală standard . Are aplicații în analiza datelor și învățarea automată, în special grafica statistică exploratorie și modelarea de regresie specializată a variabilelor de răspuns binar .

Matematic, probit este inversul funcției de distribuție cumulativă a distribuției normale standard, care este notată ca , deci probit este definit ca ${\ displaystyle \ Phi (z)}$

${\ displaystyle \ operatorname {probit} (p) = \ Phi ^ {- 1} (p) \ quad {\ text {for}} \ quad p \ in (0,1)}$.

În mare parte datorită teoremei limitei centrale , distribuția normală normală joacă un rol fundamental în teoria probabilității și statistică. Dacă luăm în considerare faptul că distribuția normală standard plasează 95% din probabilitate între -1,96 și 1,96 și este simetrică în jurul valorii de zero, rezultă că

${\ displaystyle \ Phi (-1.96) = 0.025 = 1- \ Phi (1.96). \, \!}$

Funcția probit oferă calculul „invers”, generând o valoare a unei variabile aleatoare normale standard, asociată cu probabilitatea cumulată specificată. Continuând exemplul,

${\ displaystyle \ operatorname {probit} (0,025) = - 1,96 = - \ operatorname {probit} (0,975)}$.

În general,

${\ displaystyle \ Phi (\ operatorname {probit} (p)) = p}$

și

${\ displaystyle \ operatorname {probit} (\ Phi (z)) = z.}$

Dezvoltare conceptuală

Ideea funcției probit a fost publicată de Chester Ittner Bliss într-un articol din 1934 în Science despre modul de tratare a datelor precum procentul unui dăunător ucis de un pesticid . Bliss a propus transformarea procentului ucis într-o „ probabilitate un it ” (sau „probit”) care era legată liniar de definiția modernă (el a definit-o în mod arbitrar ca fiind egală cu 0 pentru 0.0001 și 1 pentru 0.9999). El a inclus un tabel pentru a-i ajuta pe alți cercetători să-și convertească procentele de ucidere în probit, pe care apoi să-l poată complota împotriva logaritmului dozei și, prin urmare, se spera, să obțină o linie mai mult sau mai puțin dreaptă. Un astfel de așa-numit model probit este încă important în toxicologie, precum și în alte domenii. Abordarea este justificată în special dacă variația răspunsului poate fi raționalizată ca o distribuție lognormală a toleranțelor între subiecții testați, unde toleranța unui anumit subiect este doza suficientă doar pentru răspunsul de interes.

Metoda introdusă de Bliss a fost continuată în Probit Analysis , un text important despre aplicațiile toxicologice de DJ Finney . Valorile prezentate de Finney pot fi derivate din probite definite aici prin adăugarea unei valori de 5. Această distincție este rezumată de Collett (p. 55): „Definiția inițială a unui probit [cu 5 adăugate] a fost în primul rând pentru a evita să funcționeze cu probite negative; ... Această definiție este încă utilizată în unele trimestre, dar în pachetele software statistice majore pentru ceea ce se numește analiza probit , probitele sunt definite fără adăugarea de 5. " Trebuie observat că metodologia probit, inclusiv optimizarea numerică pentru ajustarea funcțiilor probit, a fost introdusă înainte de disponibilitatea pe scară largă a calculelor electronice. Când se utilizează tabele, a fost convenabil să existe probe uniform pozitive. Domeniile comune de aplicare nu necesită probe pozitive.

Diagnosticarea abaterii unei distribuții de la normalitate

Pe lângă faptul că oferă o bază pentru tipuri importante de regresie, funcția probit este utilă în analiza statistică pentru diagnosticarea abaterii de la normalitate, conform metodei reprezentării Q-Q. Dacă un set de date este de fapt un eșantion al unei distribuții normale , un grafic al valorilor în raport cu scorurile probitelor lor va fi aproximativ liniar. Abaterile specifice de la normalitate, cum ar fi asimetria , cozile grele sau bimodalitatea, pot fi diagnosticate pe baza detectării abaterilor specifice de la linearitate. În timp ce graficul Q-Q poate fi utilizat pentru comparație cu orice familie de distribuție (nu numai cea normală), graficul Q-Q normal este o procedură de analiză a datelor exploratorii relativ standard, deoarece presupunerea normalității este adesea un punct de plecare pentru analiză.

Calcul

Distribuția normală CDF și inversul său nu sunt disponibile în formă închisă , iar calculul necesită o utilizare atentă a procedurilor numerice. Cu toate acestea, funcțiile sunt disponibile pe scară largă în software pentru statistici și modelarea probabilității și în foi de calcul. În Microsoft Excel , de exemplu, funcția probit este disponibilă ca norm.s.inv (p). În mediile de calcul în care sunt disponibile implementări numerice ale funcției de eroare inversă , funcția probit poate fi obținută ca

${\ displaystyle \ operatorname {probit} (p) = {\ sqrt {2}} \, \ operatorname {erf} ^ {- 1} (2p-1).}$

Un exemplu este MATLAB , unde este disponibilă o funcție „erfinv”. Limbajul Mathematica implementează „InverseErf”. Alte medii implementează în mod direct funcția de probitate așa cum se arată în următoarea sesiune în limbajul de programare R .

> qnorm(0.025)
[1] -1.959964
> pnorm(-1.96)
[1] 0.02499790

Detalii pentru calcularea funcției de eroare inversă pot fi găsite la [1] . Wichura oferă un algoritm rapid pentru calcularea funcției probit la 16 zecimale; aceasta este utilizată în R pentru a genera variații aleatorii pentru distribuția normală.

O ecuație diferențială obișnuită pentru funcția probit

Un alt mijloc de calcul se bazează pe formarea unei ecuații diferențiale ordinare neliniare (ODE) pentru probit, conform metodei Steinbrecher și Shaw. Abrevierea funcției probit ca , ODE este ${\ displaystyle w (p)}$

${\ displaystyle {\ frac {dw} {dp}} = {\ frac {1} {f (w)}}}$

unde este funcția densității probabilității lui w . ${\ displaystyle f (w)}$

În cazul Gaussianului:

${\ displaystyle {\ frac {dw} {dp}} = {\ sqrt {2 \ pi}} \ e ^ {\ frac {w ^ {2}} {2}}}$

Diferențierea din nou:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} w} {dp ^ {2}}} = w \ left ({\ frac {dw} {dp}} \ right) ^ {2}}$

cu condițiile centrale (inițiale)

${\ displaystyle w \ left (1/2 \ right) = 0,}$

${\ displaystyle w '\ left (1/2 \ right) = {\ sqrt {2 \ pi}}.}$

Această ecuație poate fi rezolvată prin mai multe metode, inclusiv abordarea clasică a seriei de putere. Din aceasta, pot fi dezvoltate soluții de o precizie arbitrar ridicată pe baza abordării lui Steinbrecher a seriei pentru funcția de eroare inversă. Soluția de serie de putere este dată de

${\ displaystyle w (p) = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {d_ {k}} {(2k + 1 )}} (2p-1) ^ {(2k + 1)}}$

unde coeficienții satisfac recurența neliniară ${\ displaystyle d_ {k}}$

${\ displaystyle d_ {k + 1} = {\ frac {\ pi} {4}} \ sum _ {j = 0} ^ {k} {\ frac {d_ {j} d_ {kj}} {(j + 1) (2j + 1)}}}$

cu . In aceasta forma raportul ca . ${\ displaystyle d_ {0} = 1}$${\ displaystyle d_ {k + 1} / d_ {k} \ rightarrow 1}$${\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}$

Logit

Comparația funcției logit cu un probit scalat (adică CDF invers al distribuției normale ), comparând vs. , ceea ce face ca pantele să fie aceleași la origine.${\ displaystyle \ operatorname {logit} (x)}$${\ displaystyle \ Phi ^ {- 1} (x) / {\ sqrt {\ frac {\ pi} {8}}}}$

În strânsă legătură cu funcția de probitate (și modelul probit ) sunt logit funcția și modelul logit . Inversul funcției logistice este dat de

${\ displaystyle \ operatorname {logit} (p) = \ log \ left ({\ frac {p} {1-p}} \ right).}$

În mod similar cu modelul probit, putem presupune că o astfel de cantitate este legată liniar de un set de predictori, rezultând modelul logit , baza în special a modelului de regresie logistică , cea mai răspândită formă de analiză de regresie pentru datele de răspuns categorice. În practica statistică actuală, modelele de regresie probit și logit sunt adesea tratate ca cazuri ale modelului liniar generalizat .

Vezi si

• Graficele de compensare a erorilor de detectare (grafice DET, o alternativă la ROC)
• Regresie logistică (alias model logit)
• Logit
• Modelul Probit
• Probit multinomial
• Complot Q – Q
• Funcție continuă
• Funcția monotonă
• Funcția cuantilă
• Funcția sigmoidă
• Analiza Rankit , dezvoltată și de Chester Bliss
• Scorul Ridit

Referințe