Abaterea absolută mediană - Median absolute deviation

În statistici , deviația absolută mediană ( MAD ) este o măsură robustă a variabilității unui eșantion univariat de date cantitative . Se poate referi și la parametrul populației care este estimat de MAD calculat dintr-un eșantion.

Pentru un set de date univariată X ₁ , X ₂ , ..., X _n , MAD este definit ca mediana a abaterilor absolute din anii de date mediană : ${\ displaystyle {\ tilde {X}} = \ operatorname {median} (X)}$

{\ displaystyle \ operatorname {MAD} = \ operatorname {median} (| X_ {i} - {\ tilde {X}} |)}

adică, începând cu reziduurile (deviațiile) de la mediana datelor, MAD este mediana valorilor lor absolute .

Exemplu

Luați în considerare datele (1, 1, 2, 2 , 4, 6, 9). Are o valoare mediană de 2. Abaterile absolute aproximativ 2 sunt (1, 1, 0, 0, 2, 4, 7) care la rândul lor au o valoare mediană de 1 (deoarece abaterile absolute sortate sunt (0, 0, 1, 1 , 2, 4, 7)). Deci, deviația absolută mediană pentru aceste date este 1.

Utilizări

Abaterea absolută mediană este o măsură a dispersiei statistice . Mai mult, MAD este o statistică robustă , fiind mai rezistent la valori anterioare într-un set de date decât deviația standard . În abaterea standard, distanțele față de medie sunt pătrate, astfel încât abaterile mari sunt ponderate mai mult și, prin urmare, valorile aberante pot influența puternic. În MAD, abaterile unui număr mic de valori aberante sunt irelevante.

Deoarece MAD este un estimator de scară mai robust decât varianța eșantionului sau deviația standard , funcționează mai bine cu distribuții fără medie sau varianță, cum ar fi distribuția Cauchy .

Relația cu abaterea standard

MAD poate fi utilizat în mod similar cu modul în care s-ar folosi abaterea pentru medie. Pentru a putea utiliza MAD ca un estimator de consistentă pentru estimarea a abaterii standard , o ia ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} = k \ cdot \ operatorname {MAD},}

unde este un factor de scară constant , care depinde de distribuție. ${\ displaystyle k}$

Pentru că datele distribuite în mod normal sunt considerate a fi ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle k = 1 / \ left (\ Phi ^ {- 1} (3/4) \ right) \ approx 1.4826,}

adică reciproca a funcției cuantila (cunoscută și ca inversul funcției de distribuție cumulativă ) pentru distribuția normală standard . Argumentul 3/4 este de așa natură încât acoperă 50% (între 1/4 și 3/4) din funcția standard de distribuție cumulativă normală , adică ${\ displaystyle \ Phi ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle Z = (X- \ mu) / \ sigma}$ ${\ displaystyle \ pm \ operatorname {MAD}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} = P (| X- \ mu | \ leq \ operatorname {MAD}) = P \ left (\ left | {\ frac {X- \ mu} {\ sigma }} \ right | \ leq {\ frac {\ operatorname {MAD}} {\ sigma}} \ right) = P \ left (| Z | \ leq {\ frac {\ operatorname {MAD}} {\ sigma}} \dreapta).}

Prin urmare, trebuie să avem asta

{\ displaystyle \ Phi \ left (\ operatorname {MAD} / \ sigma \ right) - \ Phi \ left (- \ operatorname {MAD} / \ sigma \ right) = 1/2.}

Observând că

{\ displaystyle \ Phi \ left (- \ operatorname {MAD} / \ sigma \ right) = 1- \ Phi \ left (\ operatorname {MAD} / \ sigma \ right),}

avem asta , din care obținem factorul de scară . ${\ displaystyle \ operatorname {MAD} / \ sigma = \ Phi ^ {- 1} (3/4) = 0.67449}$ ${\ displaystyle k = 1 / \ Phi ^ {- 1} (3/4) = 1.4826}$

O altă modalitate de stabilire a relației constă în faptul că MAD este egal cu mediana de distribuție pe jumătate normală :

{\ displaystyle \ operatorname {MAD} = \ sigma {\ sqrt {2}} \ operatorname {erf} ^ {- 1} (1/2) \ approx 0.67449 \ sigma.}

Această formă este utilizată, de exemplu, în eroarea probabilă .

Abaterea absolută mediană geometrică

În mod similar cu modul în care mediana se generalizează la mediana geometrică în datele multivariate, se poate construi un MAD geometric care generalizează MAD. Având în vedere un set bidimensional de date pereche (X ₁ , Y ₁), (X ₂ , Y ₂ ), ..., (X _n , Y _n ) și o mediană geometrică calculată corespunzător , deviația absolută mediană geometrică este dată de : ${\ displaystyle ({\ tilde {X}}, {\ tilde {Y}})}$

${\ displaystyle \ operatorname {MAD} = {\ Bigl (} \ operatorname {median} (| X_ {i} - {\ tilde {X}} |) ^ {2} + \ operatorname {median} (| Y_ {i } - {\ tilde {Y}} |) ^ {2} {\ Bigr)} ^ {1/2}}$

Acest lucru dă rezultatul identic ca MAD univariat în 1 dimensiune și se extinde cu ușurință la dimensiuni superioare. În cazul valorilor complexe ( X + i Y ), relația MAD cu deviația standard este neschimbată pentru datele distribuite în mod normal.

Populația MAD

Populația MAD este definită în mod similar cu eșantionul MAD, dar se bazează pe distribuția completă mai degrabă decât pe un eșantion. Pentru o distribuție simetrică cu medie zero, populația MAD este percentila 75 a distribuției.

Spre deosebire de varianță , care poate fi infinită sau nedefinită, populația MAD este întotdeauna un număr finit. De exemplu, distribuția standard Cauchy are varianță nedefinită, dar MAD-ul său este 1.

Cea mai veche mențiune cunoscută a conceptului de MAD a avut loc în 1816, într-o lucrare a lui Carl Friedrich Gauss privind determinarea acurateței observațiilor numerice.

Vezi si

Note

Referințe

Hoaglin, David C .; Frederick Mosteller; John W. Tukey (1983). Înțelegerea analizei de date robuste și exploratorii . John Wiley & Sons. pp. 404–414. ISBN 978-0-471-09777-8.
Russell, Roberta S .; Bernard W. Taylor III (2006). Managementul operațiunilor . John Wiley & Sons. pp. 497–498 . ISBN 978-0-471-69209-6.
Venables, WN; BD Ripley (1999). Statistici moderne aplicate cu S-PLUS . Springer. p. 128. ISBN 978-0-387-98825-2.

Languages

In other projects