Câmpul matricei - Matrix field

În algebră abstractă , un câmp matricial este un câmp cu matrice ca elemente. În teoria câmpurilor întâlnim două tipuri de câmpuri: câmp finit și câmp infinit . Există mai multe exemple de câmpuri matrice de ordine finită și infinită. În general, corespunzând fiecărui câmp de numere există un câmp matricial.

Există un câmp matrice finit de ordin p pentru fiecare pozitiv prim  p . Se poate găsi mai multe câmpuri matrice finite de ordine p pentru orice p prim prim. În general, corespunzând fiecărui câmp finit există un câmp matricial. Cu toate acestea, orice două câmpuri finite de ordine egală sunt echivalente. Cele Elementele unui câmp finit pot fi reprezentate prin matrici. În acest fel, se poate construi un câmp matrice finit.

Spre deosebire de cazul general pentru înmulțirea matricei, înmulțirea este comutativă într-un câmp matricial (dacă sunt utilizate operațiile obișnuite). Deoarece adăugarea și înmulțirea matricei au toate proprietățile necesare pentru operațiile de câmp, cu excepția comutativității înmulțirii, o modalitate de a verifica dacă un set de matrice este un câmp cu operațiunile obișnuite de sumă matricială și înmulțire este de a verifica dacă

1. sunt incluse elementele neutre pentru sumă și înmulțire (adică matricea zero și matricea de identitate );
2. setul este închis sub adăugare și înmulțire; și
3. înmulțirea este comutativă.

Cu toate acestea, este posibil să se construiască câmpuri de matrice folosind alte operațiuni - caz în care ar fi necesar să se verifice toate proprietățile operațiunilor din set pentru a garanta că este vorba despre un câmp.

Exemple

1. Setul tuturor matricelor diagonale de ordin n peste câmpul de raționale ( reale sau complexe ) numerelor este un câmp matrice de ordine infinit sub adăugarea și multiplicarea matricelor.

2. Setul tuturor matricelor diagonale de ordinul doi peste domeniul numerelor întregi modulo p (un prim pozitiv) formează un câmp matrice finit de ordin p sub adăugarea și multiplicarea matricilor modulo p .

3. (un exemplu negativ) Nu este suficient ca înmulțirea să facă naveta pentru a obține un câmp de matrice. Luați setul tuturor matricelor formei ${\ displaystyle n \ times n}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & a & \ cdots & a \\ 0 & 0 && 0 \\\ vdots && \ ddots & \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}}}$

cu - adică matrici umplute cu zero, cu excepția celui de -al treilea rând, care este umplut cu aceeași constantă reală . Aceste matrici sunt comutative pentru înmulțire: ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & a & \ cdots & a \\ 0 & 0 && 0 \\\ vdots && \ ddots & \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} b & b & \ cdots & b \\ 0 & 0 && 0 \ \\ vdots && \ ddots & \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} b & b & \ cdots & b \\ 0 & 0 && 0 \\\ vdots && \ ddots & \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end { pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a & a & \ cdots & a \\ 0 & 0 && 0 \\\ vdots && \ ddots & \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} ab & ab & \ cdots & ab \\ 0 & 0 && 0 \\\ vdots && \ ddots & \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}}}$

Cu toate acestea, nu există un element neutru pentru înmulțire, deoarece aceasta trebuie să fie matricea de identitate și nu este inclusă în set, deci nu este un câmp matricial.

4. Setul tuturor matricilor de ordinul doi al formei

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & bc \\ b & a \ end {pmatrix}}}$

peste numerele reale (sau peste orice alt câmp ), cu operațiunile obișnuite ale sumei matricei și înmulțirii matricei. Sunt incluse matricea zero ( ) și matricea de identitate ( ). Rezumând două dintre aceste matrici rezultă o altă matrice de aceeași formă: ${\ displaystyle a = b = 0}$${\ displaystyle a = 1, b = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & bc \\ b & a \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} x & yc \\ y & x \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a + x & c (b + y ) \\ b + y & a + x \ end {pmatrix}}.}$

Același lucru este valabil și pentru înmulțire:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & bc \\ b & a \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x & yc \\ y & x \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} bcy + ax & c (ay + bx) \\ ay + bx & bcy + ax \ end {pmatrix}}}$

În cele din urmă, înmulțirea este comutativă pentru aceste matrici:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & bc \\ b & a \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x & yc \\ y & x \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} bcy + ax & c (ay + bx) \\ ay + bx & bcy + ax \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x & yc \\ y & x \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a & bc \\ b & a \ end {pmatrix}}}$

5. Ca un caz particular din exemplul 4, preluând și cuprinzând realele, se obține câmpul matricei formei ${\ displaystyle c = -1}$${\ displaystyle a, b}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & -b \\ b & a \ end {pmatrix}},}$

care este izomorf la domeniul de numere complexe : corespunde părții reale a numărului, în timp ce correspods la partea imaginară. Deci numărul , de exemplu, ar fi reprezentat ca ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle 2 + 3i}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 2 \ end {pmatrix}}}$

Se poate verifica cu ușurință, de exemplu, că : ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} ^ {2} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}},}$

și, de asemenea, calculând o matrice exponențială , acea identitate a lui Euler,${\ displaystyle e ^ {i \ pi} = - 1}$ este de asemenea valabilă:

${\ displaystyle e ^ {{\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ pi & 0 \\ 0 & \ pi \ end {pmatrix}}} = {\ begin { pmatrix} -1 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$

6. Ca un alt caz particular din exemplul 4, un câmp de matrice

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & bc \\ b & a \ end {pmatrix}}}$

cu pătrat liber și rațional este izomorf la câmpul pătrat . ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle a, b}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [{\ sqrt {c}}]}}$

Vezi si

Referințe