Independență liniară - Linear independence

În teoria spațiilor vectoriale , se spune că este un set de vectori liniar dependent dacă există ocombinație liniarănetivialăa vectorilor care este egal cu vectorul zero. Dacă nu există o astfel de combinație liniară, atunci se spune că vectorii suntliniar independent . Aceste concepte sunt centrale în definițiadimensiunii.

Un spațiu vectorial poate fi de dimensiune finită sau infinită, în funcție de numărul maxim de vectori liniar independenți. Definiția dependenței liniare și capacitatea de a determina dacă un subset de vectori dintr-un spațiu vectorial este liniar dependent sunt centrale pentru determinarea dimensiunii unui spațiu vectorial.

Definiție

O secvență de vectori dintr-un spațiu vectorial V se spune că este liniar dependentă , dacă există scalari nu toți zero, astfel încât ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} ,}$

unde denotă vectorul zero. ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Acest lucru implică faptul că cel puțin unul dintre scalari este diferit de zero, să zicem , iar ecuația de mai sus poate fi scrisă ca ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{k}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{k},}$

dacă și dacă${\displaystyle k>1,}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$${\displaystyle k=0.}$

Astfel, un set de vectori este liniar dependent dacă și numai dacă unul dintre ei este zero sau o combinație liniară a celorlalți.

Se spune că o secvență de vectori este liniar independentă dacă nu este liniar dependentă, adică dacă ecuația ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,}$

poate fi satisfăcut doar de pentru Acest lucru implică faptul că niciun vector din secvență nu poate fi reprezentat ca o combinație liniară a vectorilor rămași în secvență. Cu alte cuvinte, o secvență de vectori este liniar independentă dacă singura reprezentare a unei combinații liniare a vectorilor săi este reprezentarea banală în care toți scalarii sunt zero. Chiar mai concis, o secvență de vectori este liniar independentă dacă și numai dacă poate fi reprezentată ca o combinație liniară a vectorilor săi într-un mod unic. ${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

Dacă o secvență de vectori conține de două ori același vector, este neapărat dependentă. Dependența liniară a unei secvențe de vectori nu depinde de ordinea termenilor din secvență. Acest lucru permite definirea independenței liniare pentru un set finit de vectori: Un set finit de vectori este liniar independent dacă secvența obținută prin ordonarea lor este liniar independentă. Cu alte cuvinte, unul are următorul rezultat, care este adesea util.

O secvență de vectori este liniar independentă dacă și numai dacă nu conține de două ori același vector și mulțimea vectorilor săi este liniar independentă.

Caz infinit

Un set infinit de vectori este liniar independent dacă fiecare subset finit non- gol este liniar independent. În schimb, un set infinit de vectori este liniar dependent dacă conține un subset finit care este liniar dependent sau echivalent, dacă un vector din set este o combinație liniară de alți vectori din set.

O familie indexată de vectori este liniar independentă dacă nu conține de două ori același vector și dacă mulțimea vectorilor săi este liniar independentă. În caz contrar, familia se spune liniar dependentă .

Un set de vectori care este liniar independent și acoperă un anumit spațiu vectorial, formează o bază pentru acel spațiu vectorial. De exemplu, spațiul vectorial al tuturor polinoamelor din x peste reali are ca bază subsetul (infinit) {1, x , x ² , ...} .

Exemple geometrice

• ${\displaystyle {\vec {u}}}$și sunt independenți și definesc planul P.${\displaystyle {\vec {v}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$, Și sunt dependente , deoarece toate trei sunt conținute în același plan.${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {w}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$și sunt dependente pentru că sunt paralele între ele.${\displaystyle {\vec {j}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$, și sunt independenți pentru că și sunt independenți unul de celălalt și nu este o combinație liniară a lor sau, ceea ce este același, pentru că nu aparțin unui plan comun. Cei trei vectori definesc un spațiu tridimensional.${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$
• Vectorii (vector nul, ale căror componente sunt egale cu zero) și sunt dependente din moment ce${\displaystyle {\vec {o}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle {\vec {o}}=0\cdot {\vec {k}}}$

Locatie geografica

O persoană care descrie locația unui anumit loc ar putea spune: „Este la 3 mile nord și 4 mile est de aici”. Aceasta este o informație suficientă pentru a descrie locația, deoarece sistemul de coordonate geografice poate fi considerat ca un spațiu vectorial bidimensional (ignorând altitudinea și curbura suprafeței Pământului). Persoana ar putea adăuga: „Locul este la 5 mile nord-est de aici”. Această ultimă afirmație este adevărată , dar nu este necesar să găsiți locația.

În acest exemplu, vectorul "3 mile nord" și vectorul "4 mile est" sunt liniar independente. Adică, vectorul nord nu poate fi descris în termeni de vector est, și invers. Al treilea vector "5 mile nord-est" este o combinație liniară a celorlalți doi vectori și face ca setul de vectori să fie dependent liniar , adică unul dintre cei trei vectori nu este necesar pentru a defini o locație specifică pe un plan.

De asemenea, rețineți că dacă altitudinea nu este ignorată, devine necesar să adăugați un al treilea vector la setul liniar independent. În general, sunt necesari n vectori liniar independenți pentru a descrie toate locațiile din spațiul n- dimensional.

Evaluarea independenței liniare

Vectorul zero

Dacă unul sau mai mulți vectori dintr-o secvență dată de vectori este vectorul zero, atunci vectorul este în mod necesar liniar dependent (și, în consecință, nu sunt liniar independenți). Pentru a vedea de ce, să presupunem că acesta este un indice (adică un element al ) astfel încât Apoi lăsați (alternativ, lăsând să fie egal orice alt scalar diferit de zero va funcționa și) și apoi lăsați ca toți ceilalți scalari să fie (în mod explicit, asta înseamnă că pentru orice alt index decât (adică pentru ), să fie astfel încât în ​​consecință ). Simplificarea oferă: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .}$${\displaystyle a_{i}:=1}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j\neq i}$${\displaystyle a_{j}:=0}$${\displaystyle a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} }$${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

Deoarece nu toți scalarii sunt zero (în special ), acest lucru dovedește că vectorii sunt liniari dependenți. ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$

În consecință, vectorul zero nu poate aparține nici unei colecții de vectori care este liniar în dependență.

Acum luați în considerare cazul special în care secvența lui are lungime (adică cazul în care ). O colecție de vectori care constă din exact un vector este liniar dependentă și numai dacă acel vector este zero. În mod explicit, dacă este orice vector, atunci secvența (care este o secvență de lungime ) este liniar dependentă dacă și numai dacă ; alternativ, colecția este liniar independentă dacă și numai dacă${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .}$

Dependența liniară și independența a doi vectori

Acest exemplu consideră cazul special în care există exact doi vectori și dintr-un spațiu vectorial real sau complex. Vectorii și sunt liniari dependenți dacă și numai dacă cel puțin unul dintre următoarele este adevărat: ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

1. ${\displaystyle \mathbf {u} }$este un multiplu scalar al (explicit, aceasta înseamnă că există un scalar astfel încât ) sau${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} }$este un multiplu scalar al (explicit, aceasta înseamnă că există un scalar astfel încât ).${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$

Dacă atunci prin setare avem (această egalitate deține indiferent care este valoarea ), ceea ce arată că (1) este adevărat în acest caz particular. În mod similar, dacă atunci (2) este adevărat deoarece If (de exemplu, dacă ambele sunt egale cu vectorul zero ), ambele (1) și (2) sunt adevărate (folosind pentru ambele). ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle c:=0}$${\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .}$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle c:=1}$

Dacă atunci este posibil doar dacă și ; în acest caz, este posibil să se înmulțească ambele părți cu pentru a concluziona Acest lucru arată că dacă și atunci (1) este adevărat dacă și numai dacă (2) este adevărat; adică, în acest caz particular, ambele (1) și (2) sunt adevărate (iar vectorii sunt liniar dependenți) sau altfel ambele (1) și (2) sunt false (iar vectorii sunt liniari în dependenți). Dacă, în schimb, cel puțin unul dintre și trebuie să fie zero. Mai mult, dacă exact unul dintre și este (în timp ce celălalt este diferit de zero), atunci exact unul dintre (1) și (2) este adevărat (celălalt fiind fals). ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\textstyle {\frac {1}{c}}}$${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$

Vectorii și sunt liniari în dependență dacă și numai dacă nu este un multiplu scalar și nu este un multiplu scalar al . ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$

Vectori în R ²

Trei vectori: Luați în considerare setul de vectori și apoi condiția pentru dependența liniară caută un set de scalari diferiți de zero, astfel încât ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

sau

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Rând reduceți această ecuație a matricei scăzând primul rând din al doilea pentru a obține,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Continuați reducerea rândului cu (i) împărțind al doilea rând la 5 și apoi (ii) înmulțind cu 3 și adăugând la primul rând, adică

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Rearanjarea acestei ecuații ne permite să obținem

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.}$

ceea ce arată că nenul a _i există astfel încât poate fi definit în termeni de și Astfel, cei trei vectori sunt liniari dependenți. ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).}$

Doi vectori: Acum luați în considerare dependența liniară a celor doi vectori și și verificați, ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

sau

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Aceeași reducere de rând prezentată mai sus randamente,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Aceasta arată ceea ce înseamnă că vectorii v ₁ = (1, 1) și v ₂ = (−3, 2) sunt liniar independenți. ${\displaystyle a_{i}=0,}$

Vectori în R ⁴

Pentru a determina dacă cei trei vectori din ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.}$

sunt liniar dependente, formează ecuația matricei,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Rând reduceți această ecuație pentru a obține,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Rearanjați pentru a rezolva pentru v ₃ și a obține,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.}$

Această ecuație este ușor de rezolvat pentru a defini nenul a _i ,

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

unde poate fi ales arbitrar. Astfel, vectorii și sunt liniar dependenți. ${\displaystyle a_{3}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$

Metodă alternativă folosind determinanți

O metodă alternativă se bazează pe faptul că în vectorii sunt liniar independente dacă și numai dacă determinant al matricei formate prin luarea vectorilor ca coloanele sale este non-zero. ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

În acest caz, matricea formată din vectori este

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.}$

Putem scrie o combinație liniară a coloanelor ca

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

Ne interesează dacă A Λ = 0 pentru un vector nenul Λ. Acest lucru depinde de determinantul , care este ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.}$

Deoarece determinantul este diferit de zero, vectorii și sunt liniar independenți. ${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle (-3,2)}$

În caz contrar, să presupunem că avem vectori de coordonate, cu Atunci A este o matrice n × m și Λ este un vector coloană cu intrări și ne interesează din nou A Λ = 0 . După cum am văzut anterior, acest lucru este echivalent cu o listă de ecuații. Luați în considerare primele rânduri ale primelor ecuații; orice soluție a listei complete a ecuațiilor trebuie să fie valabilă și pentru lista redusă. De fapt, dacă ⟨ i ₁ , ..., eu _m ⟩ este orice listă de rânduri, atunci ecuația trebuie să fie adevărat pentru acele rânduri. ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m<n.}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .}$

Mai mult, inversul este adevărat. Adică, putem testa dacă vectorii sunt liniari dependenți testând dacă ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0}$

pentru toate listele posibile de rânduri. (În cazul în care , acest lucru necesită un singur determinant, ca mai sus. Dacă , atunci este o teoremă că vectorii trebuie să fie dependenți liniar.) Acest fapt este valoros pentru teorie; în calculele practice sunt disponibile metode mai eficiente. ${\displaystyle m}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle m>n}$

Mai mulți vectori decât dimensiuni

Dacă există mai mulți vectori decât dimensiuni, vectorii sunt liniari dependenți. Acest lucru este ilustrat în exemplul de mai sus al trei vectori din${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Vectorii bazelor naturale

Să considerăm următoarele elemente din , cunoscute sub numele de vectori de bază naturală : ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}}$

Atunci sunt liniar independenți. ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$

Independența liniară a funcțiilor

Să fie spațiul vectorial al tuturor derivabile funcțiilor de o variabilă reală . Atunci funcțiile și în sunt liniar independente. ${\displaystyle V}$${\displaystyle t}$${\displaystyle e^{t}}$${\displaystyle e^{2t}}$${\displaystyle V}$

Dovadă

Să presupunem și sunt două numere reale astfel încât ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

Luați prima derivată a ecuației de mai sus:

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

pentru toate valorile lui Trebuie să arătăm că și Pentru a face acest lucru, scădem prima ecuație din a doua, dând . Deoarece nu este zero pentru unii , rezultă și asta . Prin urmare, conform definiției independenței liniare și sunt liniar independenți. ${\displaystyle t.}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle b=0.}$${\displaystyle be^{2t}=0}$${\displaystyle e^{2t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle b=0.}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle e^{t}}$${\displaystyle e^{2t}}$

Spațiul dependențelor liniare

O dependență liniară sau relație liniară între vectorii v ₁ , ..., v _n este un tuplu ( a ₁ , ..., a _n ) cu n componente scalare astfel încât

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .}$

Dacă o astfel de dependență liniară există cu cel puțin o componentă diferită de zero, atunci n vectori sunt liniari dependenți. Dependențele liniare dintre v ₁ , ..., v _n formează un spațiu vectorial.

Dacă vectorii sunt exprimați prin coordonatele lor, atunci dependențele liniare sunt soluțiile unui sistem omogen de ecuații liniare , cu coordonatele vectorilor ca coeficienți. O bază a spațiului vectorial al dependențelor liniare poate fi deci calculată prin eliminarea Gaussiană .

Independență afină

Se spune că un set de vectori este dependent în mod afin dacă cel puțin unul dintre vectorii din set poate fi definit ca o combinație afină a celorlalți. În caz contrar, setul este numit în mod independent independent . Orice combinație afină este o combinație liniară; prin urmare, fiecare mulțime dependentă în mod dependent este liniar dependentă. Dimpotrivă, fiecare set liniar independent este în mod afin independent.

Luați în considerare un set de vectori de mărime fiecare și luați în considerare setul de vectori augmentați de mărime fiecare. Vectorii originali sunt afin independenți dacă și numai dacă vectorii augmentați sunt liniar independenți. ${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$${\displaystyle n+1}$

Vezi și: spațiu afin .

Vezi si

• Matroid  - Structură abstractă care modelează și generalizează independența liniară

Referințe

linkuri externe

• „Independență liniară” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
• Funcții dependente liniar la WolframMathWorld.
• Tutorial și program interactiv privind independența liniară.
• Introducere în independența liniară la KhanAcademy.