Funcția de identitate - Identity function
În matematică , o funcție de identitate , numită și relație de identitate sau hartă de identitate sau transformare de identitate , este o funcție care returnează întotdeauna aceeași valoare care a fost folosită ca argument. Asta este, pentru f fiind de identitate, egalitatea f ( X ) = X este valabil pentru toate X .
Definiție
În mod formal, dacă M este un set , funcția de identitate f pe M este definită ca fiind acea funcție cu domeniu și codomain M care satisface
- f ( X ) = X pentru toate elementele X în M .
Cu alte cuvinte, valoarea funcției f ( X ) în M (adică codomainul) este întotdeauna același element de intrare X al lui M (considerat acum ca domeniu). Funcția de identitate pe M este în mod clar o funcție injectivă , precum și o funcție surjectivă , deci este și bijectivă .
Funcția de identitate f pe M este adesea notată cu ID M .
În teoria mulțimilor , în cazul în care o funcție este definită ca un anumit tip de relație binară , funcția de identitate este dată de relația de identitate sau diagonală de M .
Proprietăți algebrice
Dacă f : M → N este orice funcție, atunci avem f ∘ id M = f = id N ∘ f (unde "∘" denotă compoziția funcției ). În special, id - ul M este elementul de identitate al monoid tuturor funcțiilor de la M la M .
Deoarece elementul de identitate al unui monoid este unic , se poate defini alternativ funcția de identitate pe M pentru a fi acest element de identitate. O astfel de definiție se generalizează la conceptul de morfism identitar în teoria categoriilor , unde endomorfismele lui M nu trebuie să fie funcții.
Proprietăți
- Funcția de identitate este un operator liniar , atunci când este aplicată spațiilor vectoriale .
- Funcția de identitate pe numerele întregi pozitive este o funcție complet multiplicativă (în esență multiplicare cu 1), considerată în teoria numerelor .
- Într-un spațiu vectorial n- dimensional , funcția de identitate este reprezentată de matricea de identitate I n , indiferent de bază .
- Într-un spațiu metric , identitatea este în mod banal o izometrie . Un obiect fără nicio simetrie are ca grup de simetrie grupul trivial care conține doar această izometrie (simetrie tip C 1 ).
- Într-un spațiu topologic , funcția de identitate este întotdeauna continuă.
- Funcția de identitate este idempotentă .
