Funcția hermitiană - Hermitian function

În analiza matematică , o funcție Hermitian este o funcție complexă cu proprietatea că conjugatul său complex este egal cu funcția originală cu variabila schimbată în semn :

${\ displaystyle f ^ {*} (x) = f (-x)}$

(unde indică conjugatul complex) pentru toți din domeniul . În fizică, această proprietate este denumită simetrie PT . ${\ displaystyle ^ {*}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$

Această definiție se extinde și la funcțiile a două sau mai multe variabile, de exemplu, în cazul în care este o funcție a două variabile, este Hermitian dacă ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f ^ {*} (x_ {1}, x_ {2}) = f (-x_ {1}, - x_ {2})}$

pentru toate perechile din domeniul . ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$${\ displaystyle f}$

Din această definiție rezultă imediat că: este o funcție hermitiană dacă și numai dacă${\ displaystyle f}$

• partea reală a este o funcție uniformă ,${\ displaystyle f}$
• partea imaginară a este o funcție ciudată .${\ displaystyle f}$

Motivație

Funcțiile hermitiene apar frecvent în matematică, fizică și procesarea semnalului. De exemplu, următoarele două afirmații rezultă din proprietățile de bază ale transformatei Fourier:

• Funcția are o valoare reală dacă și numai dacă transformata Fourier a lui este Hermitian.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$
• Funcția este Hermitiană dacă și numai dacă transformata Fourier a lui este reală.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Deoarece transformata Fourier a unui semnal real este garantată ca fiind Hermitiană, aceasta poate fi comprimată folosind simetria par / impar Hermitian. Aceasta, de exemplu, permite transformării discrete Fourier a unui semnal (care este în general complex) să fie stocată în același spațiu cu semnalul real original.

• Dacă f este Hermitian, atunci .${\ displaystyle f \ star g = f * g}$

Unde este corelație încrucișată și este convoluție . ${\ displaystyle \ star}$${\ displaystyle *}$

• Dacă atât f cât și g sunt hermitieni, atunci .${\ displaystyle f \ star g = g \ star f}$

Vezi si

• Conjugare complexa
• Funcții pare și impare  - 1 = Funcții matematice astfel încât f (-x) = f (x) (par) sau f (-x) = -f (x) (impar)

Acest articol legat de analiza matematică este un butuc . Puteți ajuta Wikipedia extinzându-l .

• v
• t
• e