Punct de echilibru - Equilibrium point

Diagrama de stabilitate clasificând hărțile Poincaré ale sistemului autonom liniar ca fiind stabile sau instabile în funcție de caracteristicile lor. Stabilitatea crește, în general, la stânga diagramei. Unele scufundări, surse sau noduri sunt puncte de echilibru.${\ displaystyle x '= Ax,}$

În matematică , în mod specific în ecuații diferențiale , un punct de echilibru este o soluție constantă la o ecuație diferențială.

Definiție formală

Punctul este un punct de echilibru pentru ecuația diferențială${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {x}}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x}} {dt}} = \ mathbf {f} (t, \ mathbf {x})}$

dacă pentru toate . ${\ displaystyle \ mathbf {f} (t, {\ tilde {\ mathbf {x}}}) = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle t}$

În mod similar, punctul este un punct de echilibru (sau punct fix ) pentru ecuația diferenței${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {x}}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ textstyle \ mathbf {x} _ {k + 1} = \ mathbf {f} (k, \ mathbf {x} _ {k})}$

dacă pentru . ${\ displaystyle \ mathbf {f} (k, {\ tilde {\ mathbf {x}}}) = {\ tilde {\ mathbf {x}}}}$${\ displaystyle k = 0,1,2, \ ldots}$

Echilibrele pot fi clasificate uitându-se la semnele valorilor proprii ale liniarizării ecuațiilor despre echilibre. Adică, evaluând matricea iacobiană la fiecare dintre punctele de echilibru ale sistemului și apoi găsind valorile proprii rezultate, echilibrele pot fi clasificate. Apoi, comportamentul sistemului în vecinătatea fiecărui punct de echilibru poate fi determinat calitativ (sau chiar determinat cantitativ, în unele cazuri), prin găsirea vectorilor proprii asociați cu fiecare valoare proprie.

Un punct de echilibru este hiperbolic dacă niciuna dintre valorile proprii nu are parte reală zero. Dacă toate valorile proprii au părți reale negative, punctul este stabil . Dacă cel puțin unul are o parte reală pozitivă, punctul este instabil . Dacă cel puțin o valoare proprie are o parte reală negativă și cel puțin una are o parte reală pozitivă, echilibrul este un punct de șa și este instabil. Dacă toate valorile proprii sunt reale și au același semn, punctul se numește nod .

Vezi si

• Ecuație autonomă
• Punct critic
• Stare echilibrată

Referințe

• Boyce, William E .; DiPrima, Richard C. (2012). Ecuații diferențiale elementare și probleme ale valorii limită (ed. A X-a). Wiley. ISBN 978-0-470-45831-0.
• Perko, Lawrence (2001). Ecuații diferențiale și sisteme dinamice (ediția a 3-a). Springer. pp. 102–104. ISBN 1-4613-0003-7.