Set definibil - Definable set

În logica matematică , un set definibil este o relație n- ară pe domeniul unei structuri ale cărei elemente sunt tocmai acele elemente care îndeplinesc o anumită formulă în limbajul de ordinul întâi al acelei structuri. Un set poate fi definit cu sau fără parametri , care sunt elemente ale domeniului la care se poate face referire în formula care definește relația.

Definiție

Fie un limbaj de ordinul întâi, o structură cu domeniu , un subset fix de și un număr natural . Atunci: ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m}$

• Un set este definibil în cu parametri din și numai dacă există o formulă și elemente astfel încât pentru toți , ${\ displaystyle A \ subseteq M ^ {m}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ varphi [x_ {1}, \ ldots, x_ {m}, y_ {1}, \ ldots, y_ {n}]}$${\ displaystyle b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \ în X}$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {m} \ în M}$

${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {m}) \ în A}$ dacă și numai dacă ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} \ models \ varphi [a_ {1}, \ ldots, a_ {m}, b_ {1}, \ ldots, b_ {n}]}$

Notarea paranteză aici indică evaluarea semantică a variabilelor libere din formulă.

• Un set este definibil fără parametri dacă este definibil cu parametri din setul gol (adică fără parametri în formula definitorie). ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$
• O funcție este definibilă în (cu parametri) dacă graficul său este definibil (cu acei parametri) în . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$
• Un element este definibil în (cu parametri) dacă setul de singleton este definibil în (cu acei parametri). ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle \ {a \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

Exemple

Numerele naturale cu doar relația de ordine

Fie structura formată din numerele naturale cu ordonarea obișnuită. Atunci fiecare număr natural este definibil fără parametri. Numărul este definit prin formula care afirmă că nu există elemente mai mici decât x : iar un număr natural este definit prin formula care afirmă că există exact elemente mai mici decât x : ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} = (\ mathbb {N}, <)}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ varphi (x)}$${\ displaystyle \ varphi = \ neg \ există y (y <x),}$${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle \ varphi (x)}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ varphi = \ există x_ {0} \ cdots \ există x_ {n-1} (x_ {0} <x_ {1} \ land \ cdots \ land x_ {n-1} <x \ land \ forall y (y <x \ rightarrow (y \ equiv x_ {0} \ lor \ cdots \ lor y \ equiv x_ {n-1})))}$

În schimb, nu se poate defini un număr întreg specific fără parametri în structura constând din numere întregi cu ordonarea obișnuită (a se vedea secțiunea despre automorfisme de mai jos). ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} = (\ mathbb {Z}, <)}$

Numerele naturale cu operațiile lor aritmetice

Fie structura de ordinul întâi formată din numerele naturale și operațiile lor aritmetice obișnuite și relația de ordine. Seturile definibile în această structură sunt cunoscute sub numele de seturi aritmetice și sunt clasificate în ierarhia aritmetică . Dacă structura este considerată în logică de ordinul doi în loc de logică de ordinul întâi, seturile definibile de numere naturale din structura rezultată sunt clasificate în ierarhia analitică . Aceste ierarhii dezvăluie numeroase relații între definibilitate în această structură și teoria calculabilității și sunt, de asemenea, de interes în teoria descriptivă a mulțimilor . ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} = (\ mathbb {N}, +, \ cdot, <)}$

Câmpul numerelor reale

Să fie structura constând din domeniul de numere reale . Deși relația obișnuită de ordonare nu este direct inclusă în structură, există o formulă care definește setul de reali non-negativi, deoarece acestea sunt singurele reale care posedă rădăcini pătrate: ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} = (\ mathbb {R}, 0,1, +, \ cdot)}$

${\ displaystyle \ varphi = \ există y (y \ cdot y \ equiv x).}$

Astfel, oricare este non-negativ dacă și numai dacă . Împreună cu o formulă care definește inversul aditiv al unui număr real în , se poate utiliza pentru a defini ordinea obișnuită în : for , set dacă și numai dacă este non-negativ. Structura mărită s se numește o extensie definitorie a structurii originale. Are aceeași putere expresivă ca și structura originală, în sensul că un set este definibil peste structura mărită dintr-un set de parametri dacă și numai dacă este definibil peste structura originală din același set de parametri. ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}} \ models \ varphi [a]}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle ba}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}} ^ {\ leq} = (\ mathbb {R}, 0,1, +, \ cdot, \ leq)}$

Teoria lui are eliminare Cuantificator . Astfel, mulțimile definibile sunt combinații booleene de soluții la egalități și inegalități polinomiale; acestea se numesc mulțimi semi-algebrice . Generalizarea acestei proprietăți a liniei reale duce la studiul o-minimalității . ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} ^ {\ leq}}$

Invarianța sub automorfisme

Un rezultat important al seturilor definibile este că acestea sunt păstrate sub automorfisme .

Să fie un -Structura cu domeniul , și care poate fi definit în parametrii de la . Fie un automorfism al cărui identitate este . Atunci pentru toate , ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X \ subseteq M}$${\ displaystyle A \ subseteq M ^ {m}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ pi: M \ to M}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {m} \ în M}$

${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {m}) \ în A}$ dacă și numai dacă ${\ displaystyle (\ pi (a_ {1}), \ ldots, \ pi (a_ {m})) \ în A}$

Acest rezultat poate fi folosit uneori pentru a clasifica subseturile definibile ale unei structuri date. De exemplu, în cazul de mai sus, orice traducere este un automorfism care păstrează setul gol de parametri și, prin urmare, este imposibil să se definească un anumit număr întreg în această structură fără parametri în . De fapt, deoarece oricare două numere întregi sunt purtate între ele printr-o traducere și inversul acesteia, singurele seturi de numere întregi definibile fără parametri sunt mulțimea goală și ea însăși. În contrast, există infinit de multe seturi definibile de perechi (sau într-adevăr n -tuple pentru orice n > 1 fix ) de elemente , deoarece orice automorfism (traducere) păstrează „distanța” dintre două elemente. ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} = (\ mathbb {Z}, <)}$${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$

Rezultate suplimentare

Testul Tarski – Vaught este utilizat pentru a caracteriza substructurile elementare ale unei structuri date.

Referințe

• Hinman, Peter. Fundamentele logicii matematice , AK Peters, 2005.
• Marker, David. Teoria modelului: o introducere , Springer, 2002.
• Rudin, Walter. Principiile analizei matematice , al treilea. ed. McGraw-Hill, 1976.
• Slaman, Theodore A. și W. Hugh Woodin. Logică matematică: cursul universitar Berkeley . Primăvara anului 2006.