Relație reflexivă - Reflexive relation

Relații binare tranzitive
Simetric Antisimetric Conectat Bine întemeiat Are alăturări Are întâlniri Reflexiv Irreflexiv Asimetric De asemenea cunoscut ca si: Total, Semiconnex Antireflexiv Relația de echivalență ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Precomanda (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Ordine parțială ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Preordonare totală ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Comandă totală ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Preordonare ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Bine cvasi-ordonare ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Bună comandă ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Zăbrele ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ Join-semilattice ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✓ ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ Ordin parțial strict ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ Strictă ordine slabă ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ Ordinea totală strictă ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ Simetric Antisimetric Conectat Bine întemeiat Are alăturări Are întâlniri Reflexiv Irreflexiv Asimetric Definiții: ${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {For all}} \, a, b \, {\ text {and}} \, S \ neq \ varnothing:}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \ Rightarrow bRa}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \, {\ text {and}} \, bRa \ Rightarrow a = b}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ neq b \ Rightarrow aRb \, {\ text {or}} \, bRa}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ min S \, {\ text {există}}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ vee b \, {\ text {există}}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ wedge b \, {\ text {există}}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {aRa}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {not}} \, aRa}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \ Rightarrow {\ text {not}} \, bRa}}$
Toate definițiile necesită în mod tacit relația omogenă să fie tranzitive : Un „ ✓ ” indică faptul că proprietatea coloanei este necesară în definiția rândului. De exemplu, definirea unei relații de echivalență necesită ca aceasta să fie simetrică. Enumerate aici sunt proprietăți suplimentare pe care o relație omogenă poate satisface. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {For all}} \, a, b, c, {\ text {if}} aRb {\ text {and}} bRc {\ text {then}} aRc}.}$

În matematică , o relație binară omogenă R pe un set X este reflexivă dacă raportează fiecare element al lui X la sine.

Un exemplu de relație reflexivă este relația „ este egală cu ” pe mulțimea numerelor reale , deoarece fiecare număr real este egal cu el însuși. O relație reflexivă se spune că are proprietatea reflexivă sau se spune că posedă reflexivitate . Alături de simetrie și tranzitivitate , reflexivitatea este una dintre cele trei proprietăți care definesc relațiile de echivalență .

Definiții

Fie o relație binară pe un set , care prin definiție este doar un subset de Pentru orice notație înseamnă că în timp ce „nu ” înseamnă că${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ times X.}$${\ displaystyle x, y \ în X,}$${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle (x, y) \ în R}$${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle (x, y) \ not \ în R.}$

Relația se numește reflexiv în cazul în care pentru fiecare sau echivalent, în cazul în care reprezintă relația de identitate privind închiderea reflexiv a este uniunea care poate fi echivalent definită ca fiind cea mai mică (în ceea ce privește ) relația reflexiv pe care o superset de O relație este reflexiv dacă și numai dacă este egal cu închiderea sa reflexivă. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle xRx}$${\ displaystyle x \ în X}$${\ displaystyle \ operatorname {I} _ {X} \ subseteq R}$${\ displaystyle \ operatorname {I} _ {X}: = \ {(x, x) ~: ~ x \ in X \}}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R \ cup \ operatorname {I} _ {X},}$${\ displaystyle \, \ subseteq}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle R.}$${\ displaystyle R}$

Reducerea reflexiv sau nucleu irreflexive a este cea mai mică (în ceea ce privește ) relația pe care are aceeași închidere reflexiv ca este egal cu Nucleul irreflexive de cutie, într - un sens, să fie văzută ca o construcție care este „opusul“ de închiderea reflexivă a De exemplu, închiderea reflexivă a inegalității stricte canonice pe reali este inegalitatea obișnuită non-strictă în timp ce reducerea reflexivă a este${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \, \ subseteq}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle R.}$${\ displaystyle R \ setminus \ operatorname {I} _ {X} = \ {(x, y) \ în R ~: ~ x \ neq y \}.}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R.}$${\ displaystyle \, <\,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle \, <.}$

Definiții conexe

Există mai multe definiții legate de proprietatea reflexivă. Relația se numește: ${\ displaystyle R}$

Irreflexiv ,Antireflexiv sauAliorelativ

Dacă nu raportează niciun element la sine; adică, dacă nu pentru fiecare relație A este ireflexivă dacă și numai dacă complementul său în este reflexiv. O relație asimetrică este neapărat ireflexivă. O relație tranzitivă și ireflexivă este neapărat asimetrică.${\ displaystyle xRx}$${\ displaystyle x \ în X.}$${\ displaystyle X \ times X}$

Cvasi-reflexiv stâng

Dacă oricând sunt astfel, atunci neapărat${\ displaystyle x, y \ în X}$${\ displaystyle xRy,}$${\ displaystyle xRx.}$

Drept cvasi-reflexiv

Dacă oricând sunt astfel, atunci neapărat${\ displaystyle x, y \ în X}$${\ displaystyle xRy,}$${\ displaystyle yRy.}$

Cvasi-reflexiv

Dacă fiecare element care are legătură cu un element este legat și de el însuși. În mod explicit, aceasta înseamnă că ori de câte ori sunt astfel încât atunci în mod necesar și echivalent, o relație binară este cvasi-reflexivă dacă și numai dacă este atât cvasi-reflexivă stângă, cât și cvasi-reflexivă dreaptă. O relație este cvasi-reflexivă dacă și numai dacă închiderea sa simetrică este stângă (sau dreaptă) cvasi-reflexivă.${\ displaystyle x, y \ în X}$${\ displaystyle xRy,}$${\ displaystyle xRx}$ ${\ displaystyle yRy.}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R \ cup R ^ {\ operatorname {T}}}$

Antisimetric

Dacă oricând sunt astfel, atunci neapărat${\ displaystyle x, y \ în X}$${\ displaystyle xRy {\ text {și}} yRx,}$${\ displaystyle x = y.}$

Coreflexiv

Dacă oricând sunt astfel încât atunci neapărat O relație este coreflexivă dacă și numai dacă închiderea sa simetrică este antisimetrică .${\ displaystyle x, y \ în X}$${\ displaystyle xRy,}$${\ displaystyle x = y.}$${\ displaystyle R}$

O relație reflexivă pe un set non-gol nu poate fi nici ireflexivă, nici asimetrică ( se numește asimetrică dacă implică nu ), nici antitransitivă ( este antitransitivă dacă implică nu ). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle yRx}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle xRy {\ text {și}} yRz}$${\ displaystyle xRz}$

Exemple

Exemple de relații reflexive includ:

• „este egal cu” ( egalitate )
• "este un subset de" (includerea setului)
• "divide" ( divizibilitate )
• "este mai mare sau egal cu"
• „este mai mic sau egal cu”

Exemple de relații ireflexive includ:

• „nu este egal cu”
• "este coprimă la" (pentru numerele întregi, deoarece 1 este coprimă la sine)${\ displaystyle> 1,}$
• "este un subset adecvat de"
• "este mai mare decât"
• "e mai puțin decât"

Un exemplu de relație ireflexivă, ceea ce înseamnă că nu leagă niciun element de sine, este relația „mai mare decât” ( ) de pe numerele reale . Nu orice relație care nu este reflexivă este ireflexivă; este posibil să se definească relații în care unele elemente sunt legate de ele însele, dar altele nu sunt (adică nici toate, nici nici una nu sunt). De exemplu, relația binară „produsul și este par” este reflexivă asupra setului de numere pare , ireflexivă pe setul de numere impare și nici reflexivă și nici ireflexivă pe setul de numere naturale . ${\ displaystyle x> y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Un exemplu de relație cvasi-reflexivă este „are aceeași limită ca” pe setul de secvențe de numere reale: nu fiecare secvență are o limită, și astfel relația nu este reflexivă, dar dacă o secvență are aceeași limită ca unele secvență, atunci are aceeași limită ca ea însăși. Un exemplu de relație cvasi-reflexivă stângă este o relație euclidiană stângă , care este întotdeauna lăsată cvasi-reflexivă, dar nu neapărat dreaptă cvasi-reflexivă și, prin urmare, nu neapărat cvasi-reflexivă. ${\ displaystyle R}$

Un exemplu de relație coreflexivă este relația pe numere întregi în care fiecare număr impar este legat de el însuși și nu există alte relații. Relația de egalitate este singurul exemplu de relație atât reflexivă, cât și coreflexivă, iar orice relație coreflexivă este un subset al relației identitare. Unirea unei relații coreflexive și a unei relații tranzitive pe același set este întotdeauna tranzitivă.

Numărul de relații reflexive

Numărul de relații reflexive pe un set de elemente este${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 ^ {n ^ {2} -n}.}$

Numărul de relații binare n -element de diferite tipuri

Elemente	Orice	Tranzitiv	Reflexiv	Pre-comanda	Ordine parțială	Preordonare totală	Comandă totală	Relația de echivalență
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	1	1	1	1	1
2	16	13	4	4	3	3	2	2
3	512	171	64	29	19	13	6	5
4	65.536	3.994	4.096	355	219	75	24	15
n	2 n 2		2 n 2 - n			${\ textstyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k!}$S ( n , k )	n !	${\ textstyle \ sum _ {k = 0} ^ {n}}$S ( n , k )
OEIS	A002416	A006905	A053763	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Logica filosofică

Autorii logicii filosofice folosesc adesea terminologii diferite. Relațiile reflexive în sens matematic sunt numite total reflexive în logica filosofică, iar relațiile cvasi-reflexive sunt numite reflexive .

Note

Referințe

• Levy, A. (1979) Teoria de bază a seturilor , perspective în logica matematică, Springer-Verlag. Reeditat 2002, Dover. ISBN  0-486-42079-5
• Lidl, R. și Pilz, G. (1998). Algebră abstractă aplicată , Texte de licență în matematică , Springer-Verlag. ISBN  0-387-98290-6
• Quine, WV (1951). Logică matematică , ediție revizuită. Reeditat 2003, Harvard University Press. ISBN  0-674-55451-5
• Gunther Schmidt, 2010. Matematică relațională . Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-76268-7 .

linkuri externe

• „Reflexivitate” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]