În teoria probabilității , legea covarianței totale , a formulei de descompunere a covarianței sau a formulei covarianței condiționale afirmă că dacă X , Y și Z sunt variabile aleatorii pe același spațiu de probabilitate , iar covarianța lui X și Y este finită, atunci
cov
(
X
,
Da
)
=
E
(
cov
(
X
,
Da
∣
Z
)
)
+
cov
(
E
(
X
∣
Z
)
,
E
(
Da
∣
Z
)
)
.
{\ displaystyle \ operatorname {cov} (X, Y) = \ operatorname {E} (\ operatorname {cov} (X, Y \ mid Z)) + \ operatorname {cov} (\ operatorname {E} (X \ mid Z), \ operatorname {E} (Y \ mid Z)).}
Nomenclatura din titlul acestui articol este paralelă cu sintagma legea varianței totale condițională de covarianță ” sau folosesc alte nume.
Notă: condițională valorile estimate E ( X | Z ) și E ( Y | Z ) sunt variabile aleatoare ale căror valori depind de valoarea Z . Rețineți că valoarea condiționată așteptată a lui X având în vedere evenimentul Z = z este o funcție a lui z . Dacă scriem E ( X | Z = z ) = g ( z ) atunci variabila aleatoare E ( X | Z ) este g ( Z ). Comentarii similare se aplică covarianței condiționate.
Dovadă Legea covarianței totale poate fi dovedită folosind legea așteptării totale : În primul rând,
cov
(
X
,
Da
)
=
E
[
X
Da
]
-
E
[
X
]
E
[
Da
]
{\ displaystyle \ operatorname {cov} (X, Y) = \ operatorname {E} [XY] - \ operatorname {E} [X] \ operatorname {E} [Y]}
dintr-o simplă identitate standard pe covarianțe. Apoi aplicăm legea așteptării totale prin condiționarea variabilei aleatorii Z :
=
E
[
E
[
X
Da
∣
Z
]
]
-
E
[
E
[
X
∣
Z
]
]
E
[
E
[
Da
∣
Z
]
]
{\ displaystyle = \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {E} [XY \ mid Z] {\ big]} - \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {E} [X \ mid Z] {\ big]} \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {E} [Y \ mid Z] {\ big]}}
Acum rescriem termenul în prima așteptare folosind definiția covarianței:
=
E
[
cov
(
X
,
Da
∣
Z
)
+
E
[
X
∣
Z
]
E
[
Da
∣
Z
]
]
-
E
[
E
[
X
∣
Z
]
]
E
[
E
[
Da
∣
Z
]
]
{\ displaystyle = \ operatorname {E} \! {\ big [} \ operatorname {cov} (X, Y \ mid Z) + \ operatorname {E} [X \ mid Z] \ operatorname {E} [Y \ mid Z] {\ big]} - \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {E} [X \ mid Z] {\ big]} \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {E} [ Y \ mid Z] {\ big]}}
Deoarece așteptarea unei sume este suma așteptărilor, putem regrupa termenii:
=
E
[
cov
(
X
,
Da
∣
Z
)
]
+
E
[
E
[
X
∣
Z
]
E
[
Da
∣
Z
]
]
-
E
[
E
[
X
∣
Z
]
]
E
[
E
[
Da
∣
Z
]
]
{\ displaystyle = \ operatorname {E} \! \ left [\ operatorname {cov} (X, Y \ mid Z)] + \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid Z] \ operatorname {E } [Y \ mid Z] \ right] - \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid Z]] \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [Y \ mid Z]]}
În cele din urmă, recunoaștem ultimii doi termeni ca fiind covarianța așteptărilor condiționate E [ X | Z ] și E [ Y | Z ]:
=
E
[
cov
(
X
,
Da
∣
Z
)
]
+
cov
(
E
[
X
∣
Z
]
,
E
[
Da
∣
Z
]
)
{\ displaystyle = \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {cov} (X, Y \ mid Z) {\ big]} + \ operatorname {cov} {\ big (} \ operatorname {E} [X \ mid Z], \ operatorname {E} [Y \ mid Z] {\ big)}}
Vezi si Note și referințe linkuri externe
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ displaystyle \ operatorname {cov} (X, Y) = \ operatorname {E} [XY] - \ operatorname {E} [X] \ operatorname {E} [Y]}](/criselda-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1640f54ab44b3f8b7b3fd6ce9b44e47f6576700)
![{\ displaystyle = \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {E} [XY \ mid Z] {\ big]} - \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {E} [X \ mid Z] {\ big]} \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {E} [Y \ mid Z] {\ big]}}](/criselda-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73873e9bb5e80b4f254985371019560dde3459e)
![{\ displaystyle = \ operatorname {E} \! {\ big [} \ operatorname {cov} (X, Y \ mid Z) + \ operatorname {E} [X \ mid Z] \ operatorname {E} [Y \ mid Z] {\ big]} - \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {E} [X \ mid Z] {\ big]} \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {E} [ Y \ mid Z] {\ big]}}](/criselda-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88000aa872d3c4aec4ed610180f7d8d2a2329308)
![{\ displaystyle = \ operatorname {E} \! \ left [\ operatorname {cov} (X, Y \ mid Z)] + \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid Z] \ operatorname {E } [Y \ mid Z] \ right] - \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid Z]] \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [Y \ mid Z]]}](/criselda-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e9f41eaf3f2aa8d658e3da9c379d7e6de26d26)
![{\ displaystyle = \ operatorname {E} {\ big [} \ operatorname {cov} (X, Y \ mid Z) {\ big]} + \ operatorname {cov} {\ big (} \ operatorname {E} [X \ mid Z], \ operatorname {E} [Y \ mid Z] {\ big)}}](/criselda-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3010c7ce77176b93bc8b3cbf13c7c9b789843c)
