Set Clopen - Clopen set

Un grafic cu mai multe seturi clopen. Fiecare dintre cele trei piese mari (adică componente ) este un set clopen, la fel ca și unirea oricăror două sau a tuturor celor trei.

În topologie , un set clopen (un portmanteau de set închis-deschis ) într-un spațiu topologic este un set care este atât deschis, cât și închis . Că acest lucru este posibil , poate părea contra-intuitiv, ca comune sensurile deschise și închise antonime sunt, dar definițiile lor matematice nu sunt exclud reciproc . Un set este închis dacă complementul său este deschis, ceea ce lasă posibilitatea unui set deschis al cărui complement este de asemenea deschis, făcând ambele seturi atât deschise, cât și închise și, prin urmare, închise. Așa cum a fost descris de topologul James Munkres , spre deosebire de o ușă , „un set poate fi deschis, sau închis, sau ambele, sau nici una și alta!” subliniind faptul că semnificația „deschis” / „închis” pentru uși nu are legătură cu semnificația lor pentru seturi (și astfel dihotomia ușii deschise / închise nu se transferă la seturile deschise / închise). Acest contrast cu ușile a dat numele clasei de spații topologice cunoscute sub numele de „ spații de ușă ”.

Exemple

În orice spațiu topologic , setul gol și întregul spațiu sunt ambele închise. ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$

Acum luați în considerare spațiul care constă din unirea celor două intervale deschise și din Topologia de pe este moștenită ca topologia subspatiu din topologia obișnuită pe linia reală În set este clopen, ca și setul Acesta este un exemplu destul de tipic: ori de câte ori un spațiu este alcătuit dintr-un număr finit de componente disjuncte conectate în acest mod, componentele vor fi închise. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (0,1)}$${\ displaystyle (2,3)}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle (0,1)}$${\ displaystyle (2,3).}$

Acum, să fie un set infinit sub metrica discretă - adică două puncte au distanța 1 dacă nu sunt același punct și 0 altfel. Sub spațiul metric rezultat, orice set singleton este deschis; prin urmare, orice set, fiind uniunea punctelor unice, este deschis. Deoarece complementul oricărei mulțimi este deci închis, toate mulțimile din spațiul metric sunt închise. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p, q \ în X}$

Ca un exemplu mai puțin trivial, luați în considerare spațiul tuturor numerelor raționale cu topologia lor obișnuită, precum și mulțimea tuturor numerelor raționale pozitive al căror pătrat este mai mare de 2. Folosind faptul că nu este într- o singură poate arăta destul de ușor că este un subset clopen of ( nu este un subgrup închis al liniei reale ; nu este nici deschis, nici închis în ) ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Proprietăți

• Un spațiu topologic este conectat dacă și numai dacă singurele seturi clopen sunt setul gol și${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$
• Un set este închis dacă și numai dacă limita sa este goală.
• Orice set clopen este o uniune de (posibil infinit de multe) componente conectate .
• Dacă toate componentele conectate ale sunt deschise (de exemplu, dacă are doar numeroase componente finit sau dacă este conectat local ), atunci un set este închis dacă și numai dacă este o uniune de componente conectate.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Un spațiu topologic este discret dacă și numai dacă toate subseturile sale sunt închise.${\ displaystyle X}$
• Folosind unirea și intersecția ca operații, subseturile clopen ale unui spațiu topologic dat formează o algebră booleană . Fiecare algebră booleană poate fi obținută în acest mod dintr-un spațiu topologic adecvat: vezi teorema reprezentării lui Stone pentru algebre booleene .${\ displaystyle X}$

Vezi si

• Spațiul ușii

Note

Referințe

• Munkres, James R. (2000). Topologie (ed. A doua). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .
• Morris, Sidney A. „Topologie fără lacrimi” . Arhivat din original la 19 aprilie 2013.