Caracterizări ale funcției exponențiale - Characterizations of the exponential function

În matematică , funcția exponențială poate fi caracterizată în multe feluri. Următoarele caracterizări (definiții) sunt cele mai frecvente. Acest articol discută de ce fiecare caracterizare are sens și de ce caracterizările sunt independente și echivalente una cu cealaltă. Ca un caz special al acestor considerații, se va demonstra că cele mai comune trei definiții date pentru constanta matematică e sunt echivalente una cu cealaltă.

Caracterizări

Cele mai frecvente șase definiții ale funcției exponențiale exp ( x ) = e ^x pentru x real sunt:

1. Definiți e ^x cu limita

${\ displaystyle e ^ {x} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}.}$

2. Definiți e ^x ca valoare a seriei infinite

${\ displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ {n} \ over n!} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2! }} + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + \ cdots}$

(Aici n ! Denotă factorialul lui n . O dovadă că e este irațională folosește un caz special al acestei formule.)

3. Definiți e ^x pentru a fi numărul unic y > 0 astfel încât

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {y} {\ frac {dt} {t}} = x.}$

Aceasta este inversa funcției logaritme naturale , care este definită de această integrală.

4. Definiți e ^x pentru a fi soluția unică la problema valorii inițiale

${\ displaystyle y '= y, \ quad y (0) = 1.}$

(Aici, y ′ denotă derivatul lui y .)

5. Funcția exponențială e ^x este funcția unică f cu f (1) = e și f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) pentru toate x și y care îndeplinesc oricare dintre următoarele condiții suplimentare:

• f este măsurabilă prin Lebesgue (Hewitt și Stromberg, 1965, exercițiul 18.46).
• f este continuu în cel puțin un punct (Rudin, 1976, capitolul 8, exercițiul 6). (Așa cum se arată mai jos, dacă f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) pentru toate x și y , și f este continuu în orice punct unic, atunci f este neapărat continuu peste tot .)
• f este în creștere . (O funcție în creștere care este de acord cu e ^x pe numerele raționale trebuie să fie egală cu e ^x .)

Pentru unicitate, trebuie impusă o condiție suplimentară, precum cele de mai sus, deoarece altfel pot fi construite alte funcții folosind o bază pentru numerele reale peste rațional , așa cum sunt descrise de Hewitt și Stromberg.

S-ar putea înlocui și f (1) = e și „condiția suplimentară” cu condiția unică f ′ (0) = 1 .

6. Fie e numărul unic pozitiv unic satisfăcător

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {e ^ {h} -1} {h}} = 1.}$

Se poate arăta că există această limită. Apoi definiți e ^x pentru a fi funcția exponențială cu această bază. Această definiție este potrivită în special pentru calcularea derivatei funcției exponențiale.

Domenii mai mari

O modalitate de a defini funcția exponențială pentru domeniile mai mari decât domeniul numerelor reale este mai întâi să o definiți pentru domeniul numerelor reale utilizând una dintre caracterizările de mai sus și apoi să o extindeți la domenii mai mari într-un mod care ar funcționa pentru orice funcție analitică. .

De asemenea, este posibil să utilizați caracterizările direct pentru domeniul mai mare, deși pot apărea unele probleme. (1), (2) și (4) toate au sens pentru algebrele Banach arbitrare . (3) prezintă o problemă pentru numerele complexe, deoarece există căi neechivalente de-a lungul cărora s-ar putea integra și (5) nu este suficientă. De exemplu, funcția f a definit (pentru x și y real) ca

${\ displaystyle f (x + iy) = e ^ {x} (\ cos (2y) + i \ sin (2y)) = e ^ {x + 2iy}}$

îndeplinește condițiile din (5) fără a fi funcția exponențială a lui  x  +  iy . Pentru a face (5) suficient pentru domeniul numerelor complexe, se poate fie să stipuleze că există un punct în care f este o hartă conformă, fie să se stipuleze că

${\ displaystyle f (i) = \ cos (1) + i \ sin (1).}$

În special, condiția alternativă din (5) este suficientă deoarece stipulează implicit că f să fie conformă. ${\ displaystyle f '(0) = 1}$

Dovadă că fiecare caracterizare are sens

Unele dintre aceste definiții necesită justificare pentru a demonstra că sunt bine definite . De exemplu, atunci când valoarea funcției este definită ca rezultatul unui proces limitativ (adică o secvență sau o serie infinită ), trebuie demonstrat că o astfel de limită există întotdeauna.

Caracterizare 2

De cand

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {x ^ {n + 1} / (n + 1)!} {x ^ {n} / n!}} \ right | = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {x} {n + 1}} \ right | = 0 <1.}$

rezultă din testul raportului care converge pentru toate x . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}}$

Caracterizare 3

Deoarece integrandul este o funcție integrabilă a lui t , expresia integrală este bine definită. Trebuie arătat că funcția de la la definită de ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {(\ cdot)} {\ frac {dt} {t}}}$

este o bijecție . Deoarece 1 / t este pozitiv pentru t pozitiv , această funcție crește strict , deci injectivă . Dacă cele două integrale

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {t}} & = \ infty \\ [8pt] \ int _ {1} ^ {0} { \ frac {dt} {t}} & = - \ infty \ end {align}}}$

țineți, atunci este și surjectiv . Într-adevăr, aceste integrale sunt valabile; urmează din testul integral și din divergența seriei armonice .

Echivalența caracterizărilor

Următoarea dovadă demonstrează echivalența primelor trei caracterizări date pentru e mai sus. Dovada constă din două părți. În primul rând, se stabilește echivalența caracterizărilor 1 și 2, iar apoi se stabilește echivalența caracterizărilor 1 și 3. Sunt date și argumente care leagă celelalte caracterizări.

Echivalența caracterizărilor 1 și 2

Următorul argument este adaptat de la o dovadă din Rudin, teorema 3.31, p. 63-65.

Fie un număr real fix negativ. Defini ${\ displaystyle x \ geq 0}$

${\ displaystyle s_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {x ^ {k}} {k!}}, \ t_ {n} = \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}.}$

Prin teorema binomului ,

${\ displaystyle {\ begin {align} t_ {n} & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} {\ frac {x ^ {k}} {n ^ {k}} } = 1 + x + \ sum _ {k = 2} ^ {n} {\ frac {n (n-1) (n-2) \ cdots (n- (k-1)) x ^ {k}} { k! \, n ^ {k}}} \\ [8pt] & = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} \ left (1 - {\ frac {1} {n} } \ right) + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} \ left (1 - {\ frac {1} {n}} \ right) \ left (1 - {\ frac {2} { n}} \ right) + \ cdots \\ [8pt] & {} \ qquad \ cdots + {\ frac {x ^ {n}} {n!}} \ left (1 - {\ frac {1} {n }} \ right) \ cdots \ left (1 - {\ frac {n-1} {n}} \ right) \ leq s_ {n} \ end {align}}}$

(folosind x  ≥ 0 pentru a obține inegalitatea finală) astfel încât

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} t_ {n} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} s_ {n} = e ^ {x}}$

unde e ^x este în sensul definiției 2. Aici trebuie folosite limsup-uri , deoarece nu se știe dacă t _n converge . Pentru cealaltă direcție, prin expresia de mai sus a t _n , dacă 2 ≤  m ≤ n ,

${\ displaystyle 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} \ left (1 - {\ frac {1} {n}} \ right) + \ cdots + {\ frac {x ^ { m}} {m!}} \ left (1 - {\ frac {1} {n}} \ right) \ left (1 - {\ frac {2} {n}} \ right) \ cdots \ left (1 - {\ frac {m-1} {n}} \ right) \ leq t_ {n}.}$

Fixați-l pe m și lăsați-l pe n să se apropie de infinit. Atunci

${\ displaystyle s_ {m} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {m}} {m!}} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} t_ {n}}$

(din nou, liminf 's trebuie utilizat deoarece nu se știe dacă t _n converge). Acum, luând inegalitatea de mai sus, lăsându-l pe m să se apropie de infinit și punându-l împreună cu cealaltă inegalitate, acest lucru devine

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} t_ {n} \ leq e ^ {x} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} t_ {n}}$

astfel încât

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} t_ {n} = e ^ {x}.}$

Această echivalență poate fi extinsă la numerele reale negative notând și luând limita pe măsură ce n merge la infinit. ${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {n} \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {n} = \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {n ^ {2}}} \ right) ^ {n}}$

Termenul de eroare al acestei limită-expresii este descris de

${\ displaystyle \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n} = e ^ {x} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {2n}} + {\ frac {x ^ {3} (8 + 3x)} {24n ^ {2}}} + \ cdots \ right),}$

unde gradul polinomului (în x ) în termenul cu numitorul n ^k este de 2 k .

Echivalența caracterizărilor 1 și 3

Aici, funcția logaritmului natural este definită în termeni de integrală definită ca mai sus. Prin prima parte a teoremei fundamentale a calculului ,

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln x = {\ frac {d} {dx}} \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {1} {t}} \, dt = {\ frac {1} {x}}.}$

In afara de asta, ${\ displaystyle \ ln 1 = \ int _ {1} ^ {1} {\ frac {1} {t}} \, dt = 0}$

Acum, să fie x orice număr real fix și să fie

${\ displaystyle y = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}.}$

Ln ( y ) = x , ceea ce implică faptul că y = e ^x , unde e ^x este în sensul definiției 3. Avem

${\ displaystyle \ ln y = \ ln \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ ln \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}.}$

Aici, se utilizează continuitatea lui ln ( y ), care rezultă din continuitatea 1 / t :

${\ displaystyle \ ln y = \ lim _ {n \ to \ infty} n \ ln \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) = \ lim _ {n \ to \ infty} { \ frac {x \ ln \ left (1+ (x / n) \ right)} {(x / n)}}.}$

Aici, rezultatul ln - o ⁿ = n ln A a fost folosit. Acest rezultat poate fi stabilit pentru n un număr natural prin inducție sau utilizând integrarea prin substituție. (Extensia la puterile reale trebuie să aștepte până când ln și exp au fost stabilite ca inversate reciproc, astfel încât a ^b să poată fi definit pentru b real ca e ^{b ln a} .)

${\ displaystyle = x \ cdot \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ ln \ left (1 + h \ right)} {h}} \ quad {\ text {where}} h = {\ frac {x} {n}}}$

${\ displaystyle = x \ cdot \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ ln \ left (1 + h \ right) - \ ln 1} {h}}}$

${\ displaystyle = x \ cdot {\ frac {d} {dt}} \ ln t {\ Bigg |} _ {t = 1}}$

${\ displaystyle \! \, = x.}$

Echivalența caracterizărilor 3 și 4

Caracterizarea 3 implică definirea logaritmului natural înainte de definirea funcției exponențiale. Primul,

${\ displaystyle \ log x: = \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {1} {t}} dt}$

Aceasta înseamnă că logaritmul natural al este egal cu aria (semnată) de sub graficul dintre și . Dacă , atunci această zonă este considerată a fi negativă. Apoi, este definit ca inversul , ceea ce înseamnă că ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 1 / t}$${\ displaystyle t = 1}$${\ displaystyle t = x}$${\ displaystyle x <1}$${\ displaystyle \ exp}$${\ displaystyle \ log}$

${\ displaystyle \ exp (\ log (x)) = x {\ text {și}} \ log (\ exp (x)) = x}$

prin definirea unei funcții inverse. În cazul în care este un număr real pozitiv , atunci este definit ca fiind . În cele din urmă, este definit ca numărul astfel încât . Se poate arăta apoi că : ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a ^ {x}}$${\ displaystyle \ exp (x \ log (a))}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ log (a) = 1}$${\ displaystyle e ^ {x} = \ exp (x)}$

${\ displaystyle e ^ {x} = \ exp (x \ log (e)) = \ exp (x)}$

Prin teorema fundamentală a calculului , derivata lui . Acum suntem în măsură să dovedim că , satisfacând prima parte a problemei valorii inițiale date în caracterizarea 4: ${\ displaystyle \ log x = {\ frac {1} {x}}}$${\ displaystyle {\ frac {d (e ^ {x})} {dx}} = e ^ {x}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Let}} y & = e ^ {x} = \ exp (x) \\\ log (y) & = \ log (\ exp (x)) = x \ \ {\ frac {1} {y}} {\ frac {dy} {dx}} & = 1 \\ {\ frac {dy} {dx}} & = y = e ^ {x} \ end {align} }}$

Apoi, trebuie doar să observăm acest lucru și am terminat. Desigur, este mult mai ușor să arătăm că caracterizarea 4 implică caracterizarea 3. Dacă funcția unică este satisfăcătoare și , atunci poate fi definită ca inversă. Derivatul lui poate fi găsit în felul următor: ${\ displaystyle e ^ {0} = \ exp (0) = 1}$${\ displaystyle e ^ {x}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f '(x) = e ^ {x}}$${\ displaystyle f (0) = 1}$${\ displaystyle \ log}$${\ displaystyle \ log}$

${\ displaystyle y = \ log x \ implică x = e ^ {y}}$

Dacă diferențiem ambele părți față de , obținem ${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dx} {dy}} & = e ^ {y} \\ {\ frac {dy} {dx}} & = {\ frac {1} {e ^ { y}}} = {\ frac {1} {x}} \ end {align}}}$

Prin urmare,

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {1} {t}} dt = \ left [\ log t \ right] _ {1} ^ {x} = \ log x- \ log 1 = \ log x-0 = \ log x}$

Echivalența caracterizărilor 2 și 4

Fie n un număr întreg negativ. În sensul definiției 4 și prin inducție ,. ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} = y}$

Prin urmare ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} {\ Bigg |} _ {x = 0} = y (0) = 1.}$

Folosind seria Taylor , aceasta arată că definiția 4 implică definiția 2. ${\ displaystyle y = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}} \, x ^ {n} = \ sum _ { n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \, x ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n} } {n!}}.}$

În sensul definiției 2,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} e ^ {x} & = {\ frac {d} {dx}} \ left (1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {nx ^ {n-1}} {n !}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n-1}} {(n-1)!}} \\ [6pt] & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {k!}}, {\ Text {unde}} k = n-1 \\ [6pt] & = e ^ {x} \ end {aliniat}}}$

În plus, Aceasta arată că definiția 2 implică definiția 4. ${\ displaystyle e ^ {0} = 1 + 0 + {\ frac {0 ^ {2}} {2!}} + {\ frac {0 ^ {3}} {3!}} + \ cdots = 1. }$

Echivalența caracterizărilor 1 și 5

Următoarea dovadă este o versiune simplificată a celei din Hewitt și Stromberg, exercițiul 18.46. În primul rând, se dovedește că măsurabilitate (sau aici, Lebesgue-integrabilitate) presupune continuitate pentru o funcție de zero satisface , și atunci se dovedește că continuitatea implică pentru unele k , și în cele din urmă presupune k = 1. ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x + y) = f (x) f (y)}$${\ displaystyle f (x) = e ^ {kx}}$${\ displaystyle f (1) = e}$

În primul rând, s-au dovedit câteva proprietăți elementare din satisfacție și presupunerea că nu este identic zero: ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x + y) = f (x) f (y)}$${\ displaystyle f (x)}$

• Dacă este diferit de zero oriunde (să zicem la x = y ), atunci este diferit de zero peste tot. Dovadă: implică .${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (y) = f (x) f (yx) \ neq 0}$${\ displaystyle f (x) \ neq 0}$
• ${\ displaystyle f (0) = 1}$. Dovadă: și este diferită de zero.${\ displaystyle f (x) = f (x + 0) = f (x) f (0)}$${\ displaystyle f (x)}$
• ${\ displaystyle f (-x) = 1 / f (x)}$. Dovada: .${\ displaystyle 1 = f (0) = f (xx) = f (x) f (-x)}$
• Dacă este continuu oriunde (să zicem la x = y ), atunci este continuu peste tot. Dovadă: ca prin continuitate la  y .${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x + \ delta) -f (x) = f (xy) [f (y + \ delta) -f (y)] \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ delta \ rightarrow 0}$

A doua și a treia proprietate înseamnă că este suficient să se dovedească pentru x pozitiv  . ${\ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$

Dacă este o funcție integrabilă Lebesgue , atunci ${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle g (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (x ') \, dx'.}$

Urmează apoi că

${\ displaystyle g (x + y) -g (x) = \ int _ {x} ^ {x + y} f (x ') \, dx' = \ int _ {0} ^ {y} f (x + x ') \, dx' = f (x) g (y).}$

Deoarece este diferit de zero, unele y pot fi alese astfel încât să se rezolve în expresia de mai sus. Prin urmare: ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g (y) \ neq 0}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f (x + \ delta) -f (x) & = {\ frac {[g (x + \ delta + y) -g (x + \ delta)] - [g (x + y ) -g (x)]} {g (y)}} \\ & = {\ frac {[g (x + y + \ delta) -g (x + y)] - [g (x + \ delta) -g (x)]} {g (y)}} \\ & = {\ frac {f (x + y) g (\ delta) -f (x) g (\ delta)} {g (y)}} = g (\ delta) {\ frac {f (x + y) -f (x)} {g (y)}}. \ end {align}}}$

Expresia finală trebuie să meargă la zero ca atunci și este continuă. Rezultă că este continuu. ${\ displaystyle \ delta \ rightarrow 0}$${\ displaystyle g (0) = 0}$${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

Acum, poate fi dovedit, pentru unii k , pentru toate numerele raționale pozitive q . Fie q = n / m pentru numerele întregi pozitive n și m . Atunci ${\ displaystyle f (q) = e ^ {kq}}$

${\ displaystyle f \ left ({\ frac {n} {m}} \ right) = f \ left ({\ frac {1} {m}} + \ cdots + {\ frac {1} {m}} \ dreapta) = f \ left ({\ frac {1} {m}} \ right) ^ {n}}$

prin inducție elementară pe n . Prin urmare, și astfel ${\ displaystyle f (1 / m) ^ {m} = f (1)}$

${\ displaystyle f \ left ({\ frac {n} {m}} \ right) = f (1) ^ {n / m} = e ^ {k (n / m)}.}$

pentru . Dacă este limitat la valoarea reală , atunci este peste tot pozitiv și deci k este real. ${\ displaystyle k = \ ln [f (1)]}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x) = f (x / 2) ^ {2}}$

În cele din urmă, prin continuitate, întrucât pentru toate x-urile raționale , trebuie să fie adevărat pentru toate x-urile reale, deoarece închiderea raționalelor este realele (adică orice x real poate fi scris ca limita unei secvențe de raționale). Dacă atunci k = 1. Aceasta este echivalentă cu caracterizarea 1 (sau 2, sau 3), în funcție de definiția echivalentă a lui e . ${\ displaystyle f (x) = e ^ {kx}}$${\ displaystyle f (1) = e}$

Caracterizarea 2 implică caracterizarea 6

În sensul definiției 2,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {e ^ {h} -1} {h}} & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1 } {h}} \ left (\ left (1 + h + {\ frac {h ^ {2}} {2!}} + {\ frac {h ^ {3}} {3!}} + {\ frac { h ^ {4}} {4!}} + \ cdots \ right) -1 \ right) \\ & = \ lim _ {h \ to 0} \ left (1 + {\ frac {h} {2!} } + {\ frac {h ^ {2}} {3!}} + {\ frac {h ^ {3}} {4!}} + \ cdots \ right) \\ & = 1 \\\ end {align }}}$

Caracterizarea 5 implică caracterizarea 4

Condițiile f ' (0) = 1 și f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) implică ambele condiții în caracterizarea 4. Într-adevăr, se obține condiția inițială f (0) = 1 prin împărțirea ambelor părți ale ecuația

${\ displaystyle f (0) = f (0 + 0) = f (0) f (0)}$

prin f (0) , și condiția ca f ′ ( x ) = f ( x ) rezultă din condiția ca f ′ (0) = 1 și definiția derivatei după cum urmează:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcccccc} f '(x) & = & \ lim \ limits _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h} } & = & \ lim \ limits _ {h \ to 0} {\ frac {f (x) f (h) -f (x)} {h}} & = & \ lim \ limits _ {h \ to 0 } f (x) {\ frac {f (h) -1} {h}} \\ [1em] & = & f (x) \ lim \ limits _ {h \ to 0} {\ frac {f (h) -1} {h}} & = & f (x) \ lim \ limits _ {h \ to 0} {\ frac {f (0 + h) -f (0)} {h}} & = & f (x) f '(0) = f (x). \ end {array}}}$

Caracterizarea 6 implică caracterizarea 4

În sensul definiției 6, apropo , prin urmare definiția 6 implică definiția 4. ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} e ^ {x} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {e ^ {x + h} -e ^ {x}} {h}} = e ^ {x} \ cdot \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {e ^ {h} -1} {h}} = e ^ {x}.}$${\ displaystyle e ^ {0} = 1}$

Referințe

• Walter Rudin , Principiile analizei matematice , ediția a 3-a (McGraw – Hill, 1976), capitolul 8.
• Edwin Hewitt și Karl Stromberg, Analiza reală și abstractă (Springer, 1965).