Matricea Cabibbo – Kobayashi – Maskawa - Cabibbo–Kobayashi–Maskawa matrix

In Modelul Standard al fizicii particulelor , matricea Cabibbo-Kobayashi-Maskawa , matrice CKM , matrice quark amestecare sau matrice KM este o matrice unitară care conține informații despre puterea aromei -changing interacțiune slabă . Din punct de vedere tehnic, specifică nepotrivirea stărilor cuantice ale quark-urilor atunci când se propagă liber și când participă la interacțiunile slabe . Este important pentru a înțelege încălcarea CP . Această matrice a fost introdusă pentru trei generații de quarks de Makoto Kobayashi și Toshihide Maskawa , adăugând o generație la matricea introdusă anterior de Nicola Cabibbo . Această matrice este, de asemenea, o extensie a mecanismului GIM , care include doar două dintre cele trei familii actuale de quarks.

Matricea

Predecesor - matricea Cabibbo

Unghiul Cabibbo reprezintă rotația spațiului vectorial de stat propriu de masă format de statele proprii de masă în spațiul vectorial de stat propriu slab format de statele proprii slabe θ _c = 13,02 °.${\ displaystyle | d \ rangle, \, | s \ rangle}$${\ displaystyle | d '\ rangle \ ,, ~ | \, s' \ rangle ~.}$

În 1963, Nicola Cabibbo a introdus unghiul Cabibbo ( θ _c ) pentru a păstra universalitatea interacțiunii slabe . Cabibbo a fost inspirat de lucrările anterioare realizate de Murray Gell-Mann și Maurice Lévy, referitoare la vectorul straniu și ciudat și curenții slabi axiali, la care face referire.

În lumina conceptelor actuale (quarcurile nu fuseseră încă propuse), unghiul Cabibbo este legat de probabilitatea relativă ca quarcurile descendente și ciudate să se descompună în quarcuri ascendente (| V _ud | ²   și | V _us | ²  , respectiv). În jargonul fizicii particulelor, obiectul care se cuplează la quarkul sus prin interacțiunea slabă a curentului încărcat este o suprapunere a quarcurilor de tip descendent, aici notate cu d ′ . Din punct de vedere matematic, aceasta este:

${\ displaystyle d '= V _ {\ mathrm {ud}} \; d ~~ + ~~ V _ {\ mathrm {us}} \; s ~,}$

sau folosind unghiul Cabibbo:

${\ displaystyle d '= \ cos \ theta _ {\ mathrm {c}} \; d ~~ + ~~ \ sin \ theta _ {\ mathrm {c}} \; s ~.}$

Utilizarea valorilor acceptate în prezent pentru | V _ud | și | V _noi | (vezi mai jos), unghiul Cabibbo poate fi calculat folosind

${\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {\, | V _ {\ mathrm {us}} | \,} {| V _ {\ mathrm {ud}} |}} = { \ frac {0.22534} {0.97427}} \ quad \ Rightarrow \ quad \ theta _ {\ mathrm {c}} = ~ 13.02 ^ {\ circ} ~.}$

Când a fost descoperit quarkul farmecului în 1974, s-a observat că quarkul ciudat și ciudat se poate descompune fie în quarkul farmec, fie în quark farmec, ducând la două seturi de ecuații:

${\ displaystyle d '= V _ {\ mathrm {ud}} \; d ~~ + ~~ V _ {\ mathrm {us}} \; s ~,}$

${\ displaystyle s '= V _ {\ mathrm {cd}} \; d ~~ + ~~ V _ {\ mathrm {cs}} \; s ~;}$

sau folosind unghiul Cabibbo:

${\ displaystyle d '= ~~~ \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \; d ~~ + ~~ \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \; s ~, }$

${\ displaystyle s '= - \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \; d ~~ + ~~ \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \; s ~.}$

Acest lucru poate fi, de asemenea, scris în notație matricială ca:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d '\\ s' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} V _ {\ mathrm {ud}} & V _ {\ mathrm {us}} \\ V_ {cd} & V_ {cs} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} d \\ s \ end {bmatrix}} ~,}$

sau folosind unghiul Cabibbo

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d '\\ s' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} ~~ \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} & \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \\ - \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} & \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \\\ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} d \\ s \ end {bmatrix}} ~,}$

unde diversele | V _ij | ² reprezintă probabilitatea ca quarkul de aromă j să se descompună într-un quark de aromă i . Această matrice de rotație 2 × 2  se numește „matricea Cabibbo” și a fost ulterior extinsă la matricea 3 × 3 CKM.

O reprezentare picturală a modurilor de descompunere a celor șase quarks, cu masa crescând de la stânga la dreapta.

Matrice CKM

O diagramă care prezintă rutele de descompunere din cauza interacțiunii slabe încărcate și a unor indicații ale probabilității acestora. Intensitatea liniilor este dată de parametrii CKM

În 1973, observând că încălcarea CP nu putea fi explicată într-un model cu patru quarkuri, Kobayashi și Maskawa au generalizat matricea Cabibbo în matricea Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (sau matricea CKM) pentru a urmări decăderile slabe ale celor trei generații de quarks:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d '\\ s' \\ b '\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} V _ {\ mathrm {ud}} & V _ {\ mathrm {us}} & V_ { \ mathrm {ub}} \\ V _ {\ mathrm {cd}} & V _ {\ mathrm {cs}} & V _ {\ mathrm {cb}} \\ V _ {\ mathrm {td}} & V _ {\ mathrm {ts}} & V _ {\ mathrm {tb}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} d \\ s \\ b \ end {bmatrix}} ~.}$

În stânga se află partenerii de interacțiune slabă de interacțiune a quarcurilor de tip descendent, iar în dreapta este matricea CKM, împreună cu un vector de stări proprii de masă ale quarcurilor de tip descendent. Matricea CKM descrie probabilitatea unei tranziții de la o aromă j quark la o altă aromă i quark. Aceste tranziții sunt proporționale cu | V _ij | ² .

Începând cu 2020, cea mai bună determinare a mărimilor elementelor matricei CKM a fost:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} | V_ {ud} | & | V_ {us} | & | V_ {ub} | \\ | V_ {cd} | & | V_ {cs} | & | V_ {cb} | \\ | V_ {td} | & | V_ {ts} | & | V_ {tb} | \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0.97370 \ pm 0.00014 & 0.2245 \ pm 0.0008 & 0.00382 \ pm 0.00024 \\ 0.221 \ pm 0.004 & 0.987 \ pm 0.011 & 0.0410 \ pm 0.0014 \\ 0.0080 \ pm 0.0003 & 0.0388 \ pm 0.0011 & 1.013 \ pm 0.030 \ end {bmatrix}}.}$

Folosind aceste valori, se poate verifica unitaritatea matricei CKM. În special, constatăm că elementele matricei de pe primul rând dau:${\ displaystyle | V _ {\ mathrm {ud}} | ^ {2} + | V _ {\ mathrm {us}} | ^ {2} + | V _ {\ mathrm {ub}} | ^ {2} = 0.9985 \ pm 0.0005 ~;}$

Deși valoarea pare aproape de 1, discrepanța sa este de 0,0015; cu o eroare standard de 0,0005, este la 3  abateri standard de la valoarea așteptată de 1, în încălcarea aparentă a condiției de unitaritate. Acesta este un indiciu interesant de fizică dincolo de modelul standard.

Alegerea utilizării quarcurilor de tip descendent în definiție este o convenție și nu reprezintă o asimetrie preferată fizic între quarcurile de tip sus și de tip descendent. Alte convenții sunt la fel de valabile: The eigenstates masă u , c , și t cuarcilor tip up poate defini matricea în echivalent termenii lor parteneri de interacțiune slabe u ' , c' și t ' . Deoarece matricea CKM este unitară, inversul său este același cu transpunerea conjugată , pe care alegerile alternative o utilizează; apare ca aceeași matrice, într-o formă ușor modificată.

Construcția generală a cazului

Pentru a generaliza matricea, numărați numărul parametrilor importanți din punct de vedere fizic din această matrice, V care apar în experimente. Dacă există N generații de quarks (2 N arome ) atunci

• O N  x  N matrice unitară (adică, o matrice V astfel încât V ^† V = I , unde V ^† este conjugat transpusa de V și I este matricea identitate) necesită N ² să fie specificat parametrii reali.
• 2 N  - 1 dintre acești parametri nu sunt semnificativi din punct de vedere fizic, deoarece o fază poate fi absorbită în fiecare câmp de quark (atât ale statelor proprii de masă, cât și ale statelor proprii slabe), dar matricea este independentă de o fază comună. Prin urmare, numărul total de variabile libere independente de alegerea fazelor vectorilor de bază este N ²  - (2 N  - 1) = ( N  - 1) ² .
  • Din acestea, 1/2N ( N  - 1) sunt unghiuri de rotație numiteunghiuri de amestecare a quarkului.
  • Restul 1/2( N  - 1) ( N  - 2) sunt faze complexe, care cauzează încălcarea CP .

N = 2

Pentru cazul N  = 2, există un singur parametru, care este un unghi de amestecare între două generații de quarks. Din punct de vedere istoric, aceasta a fost prima versiune a matricei CKM când erau cunoscute doar două generații. Se numește unghiul Cabibbo după inventatorul său Nicola Cabibbo .

N = 3

Pentru cazul modelului standard ( N  = 3), există trei unghiuri de amestecare și o fază complexă care încalcă CP.

Observații și predicții

Ideea lui Cabibbo își are originea în nevoia de a explica două fenomene observate:

1. tranzițiile u ↔ d , e ↔ ν _e , și p ↔ ν _p a avut amplitudini similare.
2. tranzițiile cu modificare a ciudățeniei ΔS = 1 au avut amplitudini egale cu 1 ⁄ 4 din cele cu ΔS = 0 .

Soluția lui Cabibbo a constat în postularea universalității slabe pentru a rezolva prima problemă, împreună cu un unghi de amestecare θ _c , numit acum unghiul Cabibbo , între quarcurile d și s pentru a rezolva a doua.

Pentru două generații de quarks, nu există faze de încălcare a CP, așa cum se arată în numărarea secțiunii anterioare. Întrucât încălcările CP au fost deja văzute în 1964, în cazurile neutre de kaon , Modelul standard care a apărut la scurt timp a indicat în mod clar existența unei a treia generații de quarks, așa cum au subliniat Kobayashi și Maskawa în 1973. Descoperirea quarkului de la Fermilab (de grupul lui Leon Lederman ), în 1976, a început imediat căutarea quarkului de top , quark -ul din generația a treia lipsă.

Rețineți, totuși, că valorile specifice pe care le iau unghiurile nu sunt o predicție a modelului standard: sunt parametri liberi . În prezent, nu există o teorie general acceptată care să explice de ce unghiurile ar trebui să aibă valorile măsurate în experimente.

Universalitate slabă

Constrângerile de unitaritate ale matricei CKM pe termenii diagonali pot fi scrise ca

${\ displaystyle \ sum _ {k} | V_ {ik} | ^ {2} = \ sum _ {k} | V_ {ki} | ^ {2} = 1}$

pentru toate generațiile i . Aceasta implică faptul că suma tuturor cuplajelor de la oricare una din cuarci de tip până la toate quarcii de tip jos este aceeași pentru toate generațiile. Această relație se numește universalitate slabă și a fost subliniată pentru prima dată de Nicola Cabibbo în 1967. Teoretic este o consecință a faptului că toate dubletele SU (2) se cuplează cu aceeași forță la vectorii bosoni ai interacțiunilor slabe. A fost supus testelor experimentale continue.

Triunghiurile unitarității

Restricțiile de unitaritate ale matricei CKM pot fi scrise în formă

${\ displaystyle \ sum _ {k} V_ {ik} V_ {jk} ^ {*} = 0 ~.}$

Pentru orice i și j fix și diferit , aceasta este o constrângere pentru trei numere complexe, câte unul pentru fiecare k , care spune că aceste numere formează laturile unui triunghi în planul complex . Există șase opțiuni de i și j (trei independente) și, prin urmare, șase astfel de triunghiuri, fiecare dintre ele fiind numit triunghi unitar . Formele lor pot fi foarte diferite, dar toate au aceeași zonă, care poate fi legată de faza de încălcare a CP . Zona dispare pentru parametrii specifici din modelul standard pentru care nu ar exista nicio încălcare a CP . Orientarea triunghiurilor depinde de fazele câmpurilor de quark.

O cantitate populară care se ridică la dublul ariei triunghiului unitar este invariantul Jarlskog ,

${\ displaystyle J = c_ {12} c_ {13} ^ {2} c_ {23} s_ {12} s_ {13} s_ {23} \ sin \ delta \ approx 3 \ cdot 10 ^ {- 5}.}$

Pentru indicii greci care denotă quarcuri în sus și cei latini cuarci în jos, tensorul 4 este dublu antisimetric, ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta; i, j) \ equiv \ operatorname {Im} (V _ {\ alpha i} V _ {\ beta j} V _ {\ alpha j} ^ {*} V _ {\ beta i} ^ {*})}$

${\ displaystyle (\ beta, \ alpha; i, j) = - (\ alpha, \ beta; i, j) = (\ alpha, \ beta; j, i).}$

Până la antisimetrie, are doar 9 = 3 × 3 componente care nu dispar, care, remarcabil, din unitaritatea lui V , se poate dovedi a fi toate identice ca mărime , adică

${\ displaystyle (\ alpha, \ beta; i, j) = J ~ {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \ end {bmatrix}} _ {\ alpha \ beta} \ otimes {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \ end {bmatrix}} _ {ij},}$

astfel încât

${\ displaystyle J = (u, c; s, b) = (u, c; d, s) = (u, c; b, d) = (c, t; s, b) = (c, t; d, s) = (c, t; b, d) = (t, u; s, b) = (t, u; b, d) = (t, u; d, s).}$

Deoarece cele trei laturi ale triunghiurilor sunt deschise experimentului direct, la fel ca și cele trei unghiuri, o clasă de teste ale modelului standard este de a verifica dacă triunghiul se închide. Acesta este scopul unei serii moderne de experimente în desfășurare la experimentele japoneze BELLE și American BaBar , precum și la LHCb din CERN, Elveția.

Parametrizări

Sunt necesari patru parametri independenți pentru a defini pe deplin matricea CKM. Au fost propuse multe parametrizări și trei dintre cele mai frecvente sunt prezentate mai jos.

Parametrii KM

Parametrizarea inițială a lui Kobayashi și Maskawa a folosit trei unghiuri ( θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ) și un unghi de fază care încalcă CP ( δ ). θ ₁ este unghiul Cabibbo. Cosinusii și sinusurile unghiurilor θ _k sunt notate c _k și s _k , pentru k = 1, respectiv 2, 3 .       

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} c_ {1} & - s_ {1} c_ {3} & - s_ {1} s_ {3} \\ s_ {1} c_ {2} & c_ {1} c_ {2 } c_ {3} -s_ {2} s_ {3} e ^ {i \ delta} & c_ {1} c_ {2} s_ {3} + s_ {2} c_ {3} e ^ {i \ delta} \ \ s_ {1} s_ {2} & c_ {1} s_ {2} c_ {3} + c_ {2} s_ {3} e ^ {i \ delta} & c_ {1} s_ {2} s_ {3} - c_ {2} c_ {3} e ^ {i \ delta} \ end {bmatrix}}.}$

Parametrii „standard”

O parametrizare "standard" a matricei CKM utilizează trei unghiuri Euler ( θ ₁₂ , θ ₂₃ , θ ₁₃ ) și o fază de încălcare a CP ( δ ₁₃ ). θ ₁₂ este unghiul Cabibbo. Cuplajele dintre generațiile de quark j și k dispar dacă θ _jk = 0 . Cosinusii și sinusurile unghiurilor sunt notate c _jk și respectiv s _jk .     

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_ {23} & s_ {23} \\ 0 & -s_ {23} & c_ {23} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } c_ {13} & 0 & s_ {13} e ^ {- i \ delta _ {13}} \\ 0 & 1 & 0 \\ - s_ {13} e ^ {i \ delta _ {13}} & 0 & c_ {13} \ end {bmatrix }} {\ begin {bmatrix} c_ {12} & s_ {12} & 0 \\ - s_ {12} & c_ {12} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} c_ { 12} c_ {13} & s_ {12} c_ {13} & s_ {13} e ^ {- i \ delta _ {13}} \\ - s_ {12} c_ {23} -c_ {12} s_ {23} s_ {13} e ^ {i \ delta _ {13}} & c_ {12} c_ {23} -s_ {12} s_ {23} s_ {13} e ^ {i \ delta _ {13}} & s_ {23 } c_ {13} \\ s_ {12} s_ {23} -c_ {12} c_ {23} s_ {13} e ^ {i \ delta _ {13}} & - c_ {12} s_ {23} - s_ {12} c_ {23} s_ {13} e ^ {i \ delta _ {13}} & c_ {23} c_ {13} \ end {bmatrix}}. \ end {align}}}$

Valorile din 2008 pentru parametrii standard au fost:

θ ₁₂ =13,04 ± 0,05 °, θ ₁₃ =0,201 ± 0,011 °, θ ₂₃ =2,38 ± 0,06 °

și

δ ₁₃ =1,20 ± 0,08  radiani =68,8 ± 4,5 °.

Parametrii Wolfenstein

O a treia parametrizare a matricei CKM a fost introdusă de Lincoln Wolfenstein cu cei patru parametri λ , A , ρ și η , care ar „dispărea” (ar fi zero) dacă nu ar exista o cuplare. Cei patru parametri Wolfenstein au proprietatea că toți sunt de ordinul 1 și sunt legați de parametrizarea „standard”:

λ = s ₁₂

A λ ² = s ₂₃

A λ ³ ( ρ - i η ) = s ₁₃ e ^{- i δ}

Parametrizarea Wolfenstein a matricei CKM este o aproximare a parametrizării standard. Pentru a comanda λ ³ , este:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 - {\ tfrac {1} {2}} \ lambda ^ {2} & \ lambda & A \ lambda ^ {3} (\ rho -i \ eta) \\ - \ lambda & 1 - {\ tfrac {1} {2}} \ lambda ^ {2} & A \ lambda ^ {2} \\ A \ lambda ^ {3} (1- \ rho -i \ eta) & - A \ lambda ^ {2} & 1 \ end {bmatrix}} + O (\ lambda ^ {4}).}$

Încălcarea CP poate fi determinată prin măsurarea ρ - i η .

Folosind valorile secțiunii anterioare pentru matricea CKM, cea mai bună determinare a parametrilor Wolfenstein este:

λ =0,2257+0.0009
−0.0010,     A =0,814+0,021
−0,022,     ρ =0,1350.031
-0.016și   η =0,349+0,015
−0,017.

Premiul Nobel

În 2008, Kobayashi și Maskawa au împărțit jumătate din Premiul Nobel pentru fizică „pentru descoperirea originii simetriei rupte care prezice existența a cel puțin trei familii de quarks în natură”. Unii fizicieni au raportat că au sentimente amare cu privire la faptul că comitetul pentru Premiul Nobel nu a reușit să recompenseze munca lui Cabibbo , a cărei muncă anterioară era strâns legată de cea a lui Kobayashi și Maskawa. Solicitat pentru o reacție la premiu, Cabibbo a preferat să nu dea niciun comentariu.

Vezi si

• Formularea modelului standard și a încălcărilor CP
• Cromodinamica cuantică , aroma și problema puternică a CP
• Unghiul Weinberg , un unghi similar pentru amestecarea Z și fotoni
• Matricea Pontecorvo – Maki – Nakagawa – Sakata , matricea echivalentă de amestecare pentru neutrini
• Formula Koide

Referințe

Lecturi suplimentare și linkuri externe

• DJ Griffiths (2008). Introducere în particulele elementare (ediția a II-a). John Wiley & Sons . ISBN 978-3-527-40601-2.

• B. Povh; și colab. (1995). Particule și nuclee: o introducere în conceptele fizice . Springer . ISBN 978-3-540-20168-7.

• II Bigi, AI Sanda (2000). Încălcare CP . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-44349-4.

• „Particle Data Group: CKM quark-mix matrix” (PDF) .
• „Particle Data Group: CP violation in meson decays” (PDF) .
• „Experimentul Babar” .la SLAC , California și „experimentul BELLE” .la KEK , Japonia.