operație binară -Binary operation

A nu se confunda cu operarea bitwise .
Image
O operație binară este o regulă pentru combinarea argumentelor x și y pentru a produce

În matematică , o operație binară sau o operație diadică este o regulă pentru combinarea a două elemente (numite operanzi ) pentru a produce un alt element. Mai formal, o operație binară este o operație a arității doi.

Mai precis, o operație binară pe o mulțime este o operație ale cărei două domenii și codomeniul sunt același set. Exemplele includ operațiile aritmetice familiare de adunare , scădere și înmulțire . Alte exemple sunt ușor de găsit în diferite domenii ale matematicii, cum ar fi adunarea vectorială , înmulțirea matricelor și conjugarea în grupuri .

O operație de aritate doi care implică mai multe mulțimi este uneori numită și operație binară . De exemplu, înmulțirea scalară a spațiilor vectoriale necesită un scalar și un vector pentru a produce un vector, iar produsul scalar necesită doi vectori pentru a produce un scalar. Astfel de operații binare pot fi numite pur și simplu funcții binare .

Operațiile binare sunt cheia de boltă a majorității structurilor algebrice care sunt studiate în algebră , în special în semigrupuri , monoide , grupuri , inele , câmpuri și spații vectoriale .

Terminologie

Mai precis, o operație binară pe o mulțime S este o mapare a elementelor produsului cartezian S × S la S :

Deoarece rezultatul efectuării operației pe o pereche de elemente a lui S este din nou un element al lui S , operația se numește operație binară închisă (sau internă ) pe S (sau uneori exprimată ca având proprietatea de închidere ).

Dacă f nu este o funcție , ci o funcție parțială , atunci f se numește operație binară parțială . De exemplu, împărțirea numerelor reale este o operație binară parțială, deoarece nu se poate împărți la zero : a /0 este nedefinit pentru fiecare număr real a . Atât în ​​algebra universală , cât și în teoria modelelor , operațiile binare trebuie să fie definite pe toate elementele lui S × S.

Uneori, în special în informatică , termenul de operație binară este folosit pentru orice funcție binară .

Proprietăți și exemple

Exemple tipice de operații binare sunt adunarea (+) și înmulțirea (×) de numere și matrici , precum și compunerea funcțiilor dintr-o singură mulțime. De exemplu,

  • Pe mulțimea numerelor reale R , f ( a , b ) = a + b este o operație binară deoarece suma a două numere reale este un număr real.
  • Pe mulțimea numerelor naturale N , f ( a , b ) = a + b este o operație binară deoarece suma a două numere naturale este un număr natural. Aceasta este o operație binară diferită de cea anterioară, deoarece seturile sunt diferite.
  • Pe mulțimea M(2, R ) de 2 × 2 matrici cu intrări reale, f ( A , B ) = A + B este o operație binară deoarece suma a două astfel de matrice este o matrice 2 × 2 .
  • Pe mulțimea M(2, R ) de 2 × 2 matrici cu intrări reale, f ( A , B ) = AB este o operație binară deoarece produsul a două astfel de matrice este o matrice 2 × 2 .
  • Pentru o mulţime dată C , fie S mulţimea tuturor funcţiilor h  : C → C . Definiți f  : S × S → S prin f ( h 1 , h 2 )( c ) = ( h 1 ∘ h 2 ) ( c ) = h 1 ( h 2 ( c )) pentru toate c ∈ C , compoziția lui cele două funcţii h 1 şi h 2 în S . Atunci f este o operație binară deoarece compoziția celor două funcții este din nou o funcție pe mulțimea C (adică un membru al lui S ).

Multe operații binare de interes atât în ​​algebră, cât și în logica formală sunt comutative , satisfăcând f ( a , b ) = f ( b , a ) pentru toate elementele a și b din S , sau asociative , satisfăcând f ( f ( a , b ), c ) = f ( a , f ( b , c )) pentru toate a , b și c din S . Multe au, de asemenea, elemente de identitate și elemente inverse .

Primele trei exemple de mai sus sunt comutative și toate exemplele de mai sus sunt asociative.

Pe mulţimea numerelor reale R , scăderea , adică f ( a , b ) = a − b , este o operaţie binară care nu este comutativă întrucât, în general, a − b ≠ b − a . De asemenea, nu este asociativă, deoarece, în general, a − ( b − c ) ≠ ( a − b ) − c ; de exemplu, 1 − (2 − 3) = 2 dar (1 − 2) − 3 = −4 .

Pe mulțimea numerelor naturale N , operația binară exponențiația , f ( a , b ) = a b , nu este comutativă deoarece, a b ≠ b a (cf. Ecuația x y = y x ), și nici nu este asociativă deoarece f ( f ( a , b ), c ​​) ≠ f ( a , f ( b , c )) . De exemplu, cu a = 2 , b = 3 și c = 2 , f (2 3 ,2) = f (8,2) = 8 2 = 64 , dar f (2,3 2 ) = f (2, 9) = 2 9 = 512 . Prin schimbarea mulțimii N în mulțimea numerelor întregi Z , această operație binară devine o operație binară parțială, deoarece acum este nedefinită când a = 0 și b este orice număr întreg negativ. Pentru oricare mulțime, această operație are o identitate corectă (care este 1) deoarece f ( a , 1) = a pentru tot a din mulțime, care nu este o identitate (identitate cu două fețe) deoarece f (1, b ) ≠ b în general.

Diviziunea (/), o operație binară parțială pe mulțimea numerelor reale sau raționale, nu este comutativă sau asociativă. Tetrarea (↑↑), ca operație binară asupra numerelor naturale, nu este comutativă sau asociativă și nu are element de identitate.

Notaţie

Operațiile binare sunt adesea scrise folosind notația infixă, cum ar fi a ∗ b , a + b , a · b sau (prin juxtapunere fără simbol) ab , mai degrabă decât prin notația funcțională a formei f ( a , b ) . Puterile sunt de obicei scrise și fără operator, dar cu al doilea argument ca superscript .

Operațiile binare sunt uneori scrise folosind notația prefixă sau (mai frecvent) postfixă, ambele fără paranteze. Ele mai sunt numite, respectiv, notație poloneză și notație poloneză inversă .

Pereche și tuplu

O operație binară, ab , depinde de perechea ordonată ( a, b ) și deci ( ab ) c (unde aici parantezele înseamnă că mai întâi se operează pe perechea ordonată ( a , b ) și apoi se operează pe rezultatul acesteia folosind perechea (( ab ), c ​​)) depinde în general de perechea ordonată (( a , b ), c ​​). Astfel, pentru cazul general, neasociativ, operațiile binare pot fi reprezentate cu arbori binari .

In orice caz:

  • Dacă operația este asociativă, ( ab ) c = a ( bc ), atunci valoarea lui ( ab ) c depinde doar de tuplu ( a , b , c ).
  • Dacă operația este comutativă, ab = ba , atunci valoarea lui ( ab ) c depinde numai de { { a , b }, c } , unde acolade indică multiseturi .
  • Dacă operația este atât asociativă, cât și comutativă, atunci valoarea lui ( ab ) c depinde numai de multimul { a , b , c }.
  • Dacă operația este asociativă, comutativă și idempotentă , aa = a , atunci valoarea lui ( ab ) c depinde numai de mulțimea { a , b , c }.

Operații binare ca relații ternare

O operație binară f pe o mulțime S poate fi privită ca o relație ternară pe S , adică mulțimea de triple ( a , b , f ( a, b )) din S × S × S pentru toate a și b din S .

Operații binare externe

O operație binară externă este o funcție binară de la K × S la S . Aceasta diferă de o operație binară pe o mulțime în sensul că K nu trebuie să fie S ; elementele sale provin din exterior .

Un exemplu de operație binară externă este înmulțirea scalară în algebră liniară . Aici K este un câmp și S este un spațiu vectorial peste acel câmp.

Unele operații binare externe pot fi privite alternativ ca o acțiune a lui K pe S. Aceasta necesită existența unei înmulțiri asociative în K și a unei reguli de compatibilitate de forma unde și (aici, atât operația externă, cât și înmulțirea în K sunt notate prin juxtapunere).

Produsul scalar al doi vectori mapează S × S la K , unde K este un câmp și S este un spațiu vectorial peste K . Depinde de autori dacă este considerată o operație binară.

Vezi si

Note

Referințe

  • Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (ed. a doua), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
  • Hall Jr., Marshall (1959), Teoria grupurilor , New York: Macmillan
  • Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms , Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
  • Rotman, Joseph J. (1973), Teoria grupurilor: o introducere (ed. a doua), Boston: Allyn și Bacon

linkuri externe