Backstepping - Backstepping

În teoria controlului , backstepping-ul este o tehnică dezvoltată în jurul anului 1990 de Petar V. Kokotovic și alții pentru proiectarea controalelor de stabilizare pentru o clasă specială de sisteme dinamice neliniare . Aceste sisteme sunt construite din subsisteme care radiază dintr-un subsistem ireductibil care poate fi stabilizat folosind o altă metodă. Datorită acestei structuri recursive , proiectantul poate începe procesul de proiectare la sistemul cunoscut-stabil și poate „retrage” noi controlere care stabilizează progresiv fiecare subsistem exterior. Procesul se încheie la atingerea controlului extern final. Prin urmare, acest proces este cunoscut sub numele de backstepping.

Abordarea backstepping

Abordarea backstepping oferă o recursiv metodă pentru stabilizarea originea unui sistem sub formă strict feedback . Adică, ia în considerare un sistem al formei

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} & = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x} ) z_ {1} \\ {\ dot {z}} _ {1} & = f_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) + g_ {1} (\ mathbf {x}, z_ { 1}) z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} & = f_ {2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}) + g_ {2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}) z_ {3} \\\ vdots \\ {\ dot {z}} _ {i} & = f_ {i} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {i-1}, z_ {i}) + g_ {i} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {i-1}, z_ {i}) z_ {i + 1} \ quad {\ text {for}} 1 \ leq i <k-1 \\\ vdots \\ {\ dot {z}} _ {k -1} & = f_ {k-1} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {k-1}) + g_ {k-1} (\ mathbf {x }, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {k-1}) z_ {k} \\ {\ dot {z}} _ {k} & = f_ {k} (\ mathbf {x }, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {k-1}, z_ {k}) + g_ {k} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ puncte, z_ {k-1}, z_ {k}) u \ end {cases}} \ end {align}}}$

Unde

• ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$cu ,${\ displaystyle n \ geq 1}$
• ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {i}, \ ldots, z_ {k-1}, z_ {k}}$sunt scalari ,
• u este o intrare scalară a sistemului,
• ${\ displaystyle f_ {x}, f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {i}, \ ldots, f_ {k-1}, f_ {k}}$ dispare la origine (adică ),${\ displaystyle f_ {i} (0,0, \ dots, 0) = 0}$
• ${\ displaystyle g_ {1}, g_ {2}, \ ldots, g_ {i}, \ ldots, g_ {k-1}, g_ {k}}$sunt diferite de domeniul de interes (de exemplu, pentru ).${\ displaystyle g_ {i} (\ mathbf {x}, z_ {1}, \ ldots, z_ {k}) \ neq 0}$${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq k}$

Să presupunem, de asemenea, că subsistemul

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) u_ {x} (\ mathbf {x})}$

este stabilizat la origine (adică ) de un control cunoscut, astfel încât . De asemenea, se presupune că este cunoscută o funcție Lyapunov pentru acest subsistem stabil. Adică, acest subsistem x este stabilizat printr-o altă metodă și backstepping-ul își extinde stabilitatea la coaja din jurul său. ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0} \,}$${\ displaystyle u_ {x} (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle u_ {x} (\ mathbf {0}) = 0}$ ${\ displaystyle V_ {x}}$${\ displaystyle {\ textbf {z}}}$

În sistemele acestei forme de feedback strict în jurul unui subsistem x stabil ,

• Intrarea de control proiectată pentru backstepping u are cel mai imediat impact stabilizator asupra stării .${\ displaystyle z_ {n}}$
• Statul acționează apoi ca un control stabilizator asupra statului din fața sa.${\ displaystyle z_ {n}}$${\ displaystyle z_ {n-1}}$
• Acest proces continuă astfel încât fiecare stat să fie stabilizat de „controlul” fictiv .${\ displaystyle z_ {i}}$${\ displaystyle z_ {i + 1}}$

Abordarea backstepping determină modul de stabilizare a subsistemului x folosind și apoi continuă cu determinarea modului de a face următoarea unitate de stare la controlul necesar stabilizării x . Prin urmare, procesul „trece înapoi” de la x din sistemul de formulare cu feedback strict până când este proiectat controlul final u . ${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle z_ {2}}$${\ displaystyle z_ {1}}$

Prezentare generală a designului controlului recursiv

1. Se dă faptul că subsistemul mai mic (adică de ordin inferior)

   ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) u_ {x} (\ mathbf {x})}$

   este deja stabilizat la origine prin un anumit control unde . Adică, alegerea stabilizării acestui sistem trebuie să se facă folosind o altă metodă. De asemenea, se presupune că este cunoscută o funcție Lyapunov pentru acest subsistem stabil. Backstepping oferă o modalitate de a extinde stabilitatea controlată a acestui subsistem la sistemul mai mare.${\ displaystyle u_ {x} (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle u_ {x} (\ mathbf {0}) = 0}$${\ displaystyle u_ {x}}$ ${\ displaystyle V_ {x}}$

2. Un control este conceput astfel încât sistemul ${\ displaystyle u_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1})}$

   ${\ displaystyle {\ dot {z}} _ {1} = f_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) + g_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) u_ { 1} (\ mathbf {x}, z_ {1})}$

   este stabilizat astfel încât să urmeze controlul dorit . Proiectarea controlului se bazează pe funcția candidată augmentată Lyapunov ${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle u_ {x}}$

   ${\ displaystyle V_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) = V_ {x} (\ mathbf {x}) + {\ frac {1} {2}} (z_ {1} -u_ { x} (\ mathbf {x})) ^ {2}}$

   Controlul poate fi ales pentru a fi legat de la zero.${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {1}}$

3. Un control este conceput astfel încât sistemul ${\ displaystyle u_ {2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2})}$

   ${\ displaystyle {\ dot {z}} _ {2} = f_ {2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}) + g_ {2} (\ mathbf {x}, z_ { 1}, z_ {2}) u_ {2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2})}$

   este stabilizat astfel încât să urmeze controlul dorit . Proiectarea controlului se bazează pe funcția candidată augmentată Lyapunov ${\ displaystyle z_ {2}}$${\ displaystyle u_ {1}}$

   ${\ displaystyle V_ {2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}) = V_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) + {\ frac {1} {2 }} (z_ {2} -u_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1})) ^ {2}}$

   Controlul poate fi ales pentru a fi legat de la zero.${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {2}}$

4. Acest proces continuă până când u-ul actual este cunoscut și
   • Reală de control u se stabilizează la fictive de control .${\ displaystyle z_ {k}}$${\ displaystyle u_ {k-1}}$
   • Fictiv de control se stabilizează la fictive de control .${\ displaystyle u_ {k-1}}$${\ displaystyle z_ {k-1}}$${\ displaystyle u_ {k-2}}$
   • Fictiv de control se stabilizează la fictive de control .${\ displaystyle u_ {k-2}}$${\ displaystyle z_ {k-2}}$${\ displaystyle u_ {k-3}}$
   • ...
   • Fictiv de control se stabilizează la fictive de control .${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle z_ {2}}$${\ displaystyle u_ {1}}$
   • Fictiv de control se stabilizează la fictive de control .${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle u_ {x}}$
   • Fictiv de control stabilizează x la origine.${\ displaystyle u_ {x}}$

Acest proces este cunoscut sub numele de backstepping, deoarece începe cu cerințele unui anumit subsistem intern pentru stabilitate și se retrage progresiv din sistem, menținând stabilitatea la fiecare pas. pentru că

• ${\ displaystyle f_ {i}}$dispare la origine pentru ,${\ displaystyle 0 \ leq i \ leq k}$
• ${\ displaystyle g_ {i}}$sunt nenule pentru ,${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq k}$
• controlul dat are ,${\ displaystyle u_ {x}}$${\ displaystyle u_ {x} (\ mathbf {0}) = 0}$

atunci sistemul rezultat are un echilibru la origine ( de exemplu, în cazul în care , , , ..., si ) , care este la nivel global asimptotic stabil . ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0} \,}$${\ displaystyle z_ {1} = 0}$${\ displaystyle z_ {2} = 0}$${\ displaystyle z_ {k-1} = 0}$${\ displaystyle z_ {k} = 0}$

Integrator Backstepping

Înainte de a descrie procedura de backstepping pentru sistemele dinamice generale de formulare cu feedback strict , este convenabil să discutăm abordarea pentru o clasă mai mică de sisteme de formulare cu feedback strict. Aceste sisteme conectează o serie de integratori la intrarea unui sistem cu o lege de control a stabilizării feedback-ului cunoscută, astfel încât abordarea stabilizatoare este cunoscută sub numele de backstepping integrator. Cu o mică modificare, abordarea backstepping a integratorului poate fi extinsă pentru a gestiona toate sistemele de formulare cu feedback strict.

Echilibru cu un singur integrator

Luați în considerare sistemul dinamic

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} \\ {\ dot {z}} _ {1} = u_ {1} \ end {cases}}}$

( 1 )

unde și este un scalar. Acest sistem este o conexiune în cascadă a unui integrator cu subsistemul x (adică, intrarea u intră într-un integrator, iar integrala intră în subsistemul x ). ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle z_ {1}}$ ${\ displaystyle z_ {1}}$

Presupunem că , și așa mai departe , dacă , și , apoi ${\ displaystyle f_ {x} (\ mathbf {0}) = 0}$${\ displaystyle u_ {1} = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0} \,}$${\ displaystyle z_ {1} = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ underbrace {\ mathbf {0}} _ {\ mathbf {x}}) + (g_ {x} (\ underbrace {\ mathbf {0}} _ {\ mathbf {x}})) (\ underbrace {0} _ {z_ {1}}) = 0+ (g_ {x} (\ mathbf {0})) (0) = \ mathbf {0} & \ quad {\ text {(adică,}} \ mathbf {x} = \ mathbf {0} {\ text {este staționar)}} \\ {\ dot {z}} _ {1} = \ overbrace {0} ^ {u_ {1}} & \ quad {\ text {(adică}} z_ {1} = 0 {\ text {este staționar)}} \ end {cases}} }$

Deci originea este un echilibru (adică un punct staționar ) al sistemului. Dacă sistemul ajunge vreodată la origine, va rămâne acolo pentru totdeauna. ${\ displaystyle (\ mathbf {x}, z_ {1}) = (\ mathbf {0}, 0)}$

Integrator unic Backstepping

În acest exemplu, backstepping-ul este utilizat pentru a stabiliza sistemul integrator unic în ecuația ( 1 ) în jurul echilibrului său la origine. Pentru a fi mai puțin preciși, dorim să proiectăm o lege de control care să asigure că statele revin după ce sistemul este pornit de la o condiție inițială arbitrară. ${\ displaystyle u_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1})}$${\ displaystyle (\ mathbf {x}, z_ {1})}$${\ displaystyle (\ mathbf {0}, 0)}$

• În primul rând, prin presupunere, subsistemul

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = F (\ mathbf {x}) \ qquad {\ text {unde}} \ qquad F (\ mathbf {x}) \ triangleq f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) u_ {x} (\ mathbf {x})}$

cu are o funcție Lyapunov astfel încât${\ displaystyle u_ {x} (\ mathbf {0}) = 0}$ ${\ displaystyle V_ {x} (\ mathbf {x})> 0}$

${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {x} = {\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} (f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) u_ {x} (\ mathbf {x})) \ leq -W (\ mathbf {x})}$

unde este o funcție pozitiv-definită . Adică, presupunem că am arătat deja că acest subsistem x mai simplu existent este stabil (în sensul lui Lyapunov) . Apropo, această noțiune de stabilitate înseamnă că:${\ displaystyle W (\ mathbf {x})}$

• • Funcția este ca o „energie generalizată” a subsistemului x . Pe măsură ce stările x ale sistemului se îndepărtează de origine, crește și energia .${\ displaystyle V_ {x}}$${\ displaystyle V_ {x} (\ mathbf {x})}$
  • Arătând că în timp energia descrește la zero, atunci stările x trebuie să se descompună spre . Adică, originea va fi un echilibru stabil al sistemului - stările x se vor apropia continuu de origine pe măsură ce timpul crește.${\ displaystyle V_ {x} (\ mathbf {x} (t))}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0} \,}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0} \,}$
  • A spune că este pozitiv definit înseamnă că peste tot, cu excepția și .${\ displaystyle W (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle W (\ mathbf {x})> 0}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0} \,}$${\ displaystyle W (\ mathbf {0}) = 0}$
  • Enunțul care înseamnă că este delimitat de zero pentru toate punctele, cu excepția cazului în care . Adică, atâta timp cât sistemul nu se află la echilibru la origine, „energia” sa va fi în scădere.${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {x} \ leq -W (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0} \,}$
  • Deoarece energia este mereu în descompunere, atunci sistemul trebuie să fie stabil; traiectoriile sale trebuie să se apropie de origine.

Sarcina noastră este de a găsi un control u care să facă sistemul nostru în cascadă , de asemenea, stabil. Deci, trebuie să găsim un nou candidat la funcția Lyapunov pentru acest nou sistem. Acest candidat va depinde de controlul u și, alegând corect controlul, ne putem asigura că acesta se descompune și peste tot.${\ displaystyle (\ mathbf {x}, z_ {1})}$

• Apoi, prin adăugarea și scăderea (adică nu schimbăm sistemul în nici un fel, deoarece nu facem niciun efect net ) la partea sistemului mai mare , devine${\ displaystyle g_ {x} (\ mathbf {x}) u_ {x} (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}}}$${\ displaystyle (\ mathbf {x}, z_ {1})}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} + { \ mathord {\ underbrace {\ left (g_ {x} (\ mathbf {x}) u_ {x} (\ mathbf {x}) -g_ {x} (\ mathbf {x}) u_ {x} (\ mathbf {x}) \ right)} _ {0}}} \\ {\ dot {z}} _ {1} = u_ {1} \ end {cases}}}$

pe care le putem re-grupa pentru a obține

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {x}} = {\ mathord {\ underbrace {\ left (f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) u_ {x} (\ mathbf {x}) \ right)} _ {F (\ mathbf {x})}}} + g_ {x} (\ mathbf {x}) \ underbrace {\ left (z_ {1} -u_ {x} (\ mathbf {x}) \ right)} _ {z_ {1} {\ text {error tracking}} u_ {x}} \\ {\ dot {z}} _ {1} = u_ {1} \ end {cases}}}$

Deci, supersistemul nostru în cascadă încapsulează subsistemul stabil-cunoscut, plus o anumită perturbare de eroare generată de integrator.${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = F (\ mathbf {x})}$

• Acum putem schimba variabilele de la la lăsând . Asa de${\ displaystyle (\ mathbf {x}, z_ {1})}$${\ displaystyle (\ mathbf {x}, e_ {1})}$${\ displaystyle e_ {1} \ triangleq z_ {1} -u_ {x} (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = (f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) u_ {x} ( \ mathbf {x})) + g_ {x} (\ mathbf {x}) e_ {1} \\ {\ dot {e}} _ {1} = u_ {1} - {\ dot {u}} _ {x} \ end {cases}}}$

În plus, lăsăm astfel încât și${\ displaystyle v_ {1} \ triangleq u_ {1} - {\ dot {u}} _ {x}}$${\ displaystyle u_ {1} = v_ {1} + {\ dot {u}} _ {x}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = (f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) u_ {x} ( \ mathbf {x})) + g_ {x} (\ mathbf {x}) e_ {1} \\ {\ dot {e}} _ {1} = v_ {1} \ end {cases}}}$

Căutăm să stabilizăm acest sistem de erori prin feedback prin noul control . Prin stabilizarea sistemului la , starea va urmări controlul dorit, ceea ce va duce la stabilizarea subsistemului interior x .${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle e_ {1} = 0}$${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle u_ {x}}$

• Din funcția Lyapunov existentă , definim candidatul la funcția Lyapunov mărită${\ displaystyle V_ {x}}$

${\ displaystyle V_ {1} (\ mathbf {x}, e_ {1}) \ triangleq V_ {x} (\ mathbf {x}) + {\ frac {1} {2}} e_ {1} ^ {2 }}$

Asa de

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {V}} _ {1} & = {\ dot {V}} _ {x} (\ mathbf {x}) + {\ frac {1} {2} } \ left (2e_ {1} {\ dot {e}} _ {1} \ right) \\ & = {\ dot {V}} _ {x} (\ mathbf {x}) + e_ {1} { \ dot {e}} _ {1} \\ & = {\ dot {V}} _ {x} (\ mathbf {x}) + e_ {1} \ overbrace {v_ {1}} ^ {{\ dot {e}} _ {1}} \\ & = \ overbrace {{\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} \ underbrace {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {{\ text {(adică}} {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {x}} {\ operatorname {d} t}} {\ text {)}}}} ^ {{\ dot { V}} _ {x} {\ text {(adică}} {\ frac {\ operatorname {d} V_ {x}} {\ operatorname {d} t}} {\ text {)}}} + e_ { 1} v_ {1} \\ & = \ overbrace {{\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} \ underbrace {\ left ((f_ {x} (\ mathbf {x }) + g_ {x} (\ mathbf {x}) u_ {x} (\ mathbf {x})) + g_ {x} (\ mathbf {x}) e_ {1} \ right)} _ {\ dot {\ mathbf {x}}}} ^ {{\ dot {V}} _ {x}} + e_ {1} v_ {1} \ end {align}}}$

Distribuind , vedem asta${\ displaystyle \ partial V_ {x} / \ partial \ mathbf {x}}$

${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {1} = \ overbrace {{\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} (f_ {x} (\ mathbf {x} ) + g_ {x} (\ mathbf {x}) u_ {x} (\ mathbf {x}))} ^ {{} \ leq -W (\ mathbf {x})} + {\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} g_ {x} (\ mathbf {x}) e_ {1} + e_ {1} v_ {1} \ leq -W (\ mathbf {x}) + {\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} g_ {x} (\ mathbf {x}) e_ {1} + e_ {1} v_ {1}}$

Pentru a ne asigura că (adică pentru a asigura stabilitatea suprasistemului), alegem legea controlului${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {1} \ leq -W (\ mathbf {x}) <0}$

${\ displaystyle v_ {1} = - {\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} g_ {x} (\ mathbf {x}) -k_ {1} e_ {1} }$

cu , și așa${\ displaystyle k_ {1}> 0}$

${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {1} = - W (\ mathbf {x}) + {\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} g_ {x} (\ mathbf {x}) e_ {1} + e_ {1} \ overbrace {\ left (- {\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} g_ {x} (\ mathbf {x}) -k_ {1} e_ {1} \ right)} ^ {v_ {1}}}$

După distribuirea trecerii,${\ displaystyle e_ {1}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {V}} _ {1} & = - W (\ mathbf {x}) + {\ mathord {\ overbrace {{\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} g_ {x} (\ mathbf {x}) e_ {1} -e_ {1} {\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}} } g_ {x} (\ mathbf {x})} ^ {0}}} - k_ {1} e_ {1} ^ {2} \\ & = - W (\ mathbf {x}) -k_ {1} e_ {1} ^ {2} \ leq -W (\ mathbf {x}) \\ & <0 \ end {align}}}$

Deci funcția noastră candidată Lyapunov este o adevărată funcție Lyapunov , iar sistemul nostru este stabil în conformitate cu această lege de control (care corespunde legii de control deoarece ). Folosind variabilele din sistemul de coordonate original, funcția echivalentă Lyapunov${\ displaystyle V_ {1}}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle v_ {1} \ triangleq u_ {1} - {\ dot {u}} _ {x}}$

${\ displaystyle V_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) \ triangleq V_ {x} (\ mathbf {x}) + {\ frac {1} {2}} (z_ {1} -u_ {x} (\ mathbf {x})) ^ {2}}$

( 2 )

După cum sa discutat mai jos, această funcție Lyapunov va fi utilizată din nou atunci când această procedură este aplicată iterativ la problema integratorului multiplu.

• Alegerea noastră de control depinde în cele din urmă de toate variabilele noastre de stare inițiale. În special, legea efectivă a controlului stabilizării feedback-ului${\ displaystyle v_ {1}}$

${\ displaystyle \ underbrace {u_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) = v_ {1} + {\ dot {u}} _ {x}} _ {{\ text {Prin definiția lui} } v_ {1}} = \ overbrace {- {\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} g_ {x} (\ mathbf {x}) -k_ {1} (\ underbrace {z_ {1} -u_ {x} (\ mathbf {x})} _ {e_ {1}})} ^ {v_ {1}} \, + \, \ overbrace {{\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} (\ underbrace {f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1}} _ {{\ dot {\ mathbf {x}}} {\ text {(adică}} {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {x}} {\ operatorname {d} t}} {\ text {)}}} )} ^ {{\ dot {u}} _ {x} {\ text {(adică}} {\ frac {\ operatorname {d} u_ {x}} {\ operatorname {d} t}} {\ text {)}}}}$

( 3 )

Stările x și și funcționează și provin din sistem. Funcția provine din subsistemul nostru cunoscut-stabil . Câștig Parametrul afectează rata de convergență sau de sistemul nostru. Conform acestei legi de control, sistemul nostru este stabil la origine .${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle f_ {x}}$${\ displaystyle g_ {x}}$${\ displaystyle u_ {x}}$${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = F (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle k_ {1}> 0}$${\ displaystyle (\ mathbf {x}, z_ {1}) = (\ mathbf {0}, 0)}$

Amintiți-vă că în ecuația ( 3 ) conduce intrarea unui integrator care este conectat la un subsistem care este stabilizat prin feedback prin legea controlului . Nu este surprinzător faptul că controlul are un termen care va fi integrat pentru a respecta legea controlului stabilizator plus o anumită compensare. Ceilalți termeni oferă amortizare pentru a elimina acel offset și orice alte efecte de perturbare care ar fi mărite de integrator.${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle u_ {x}}$${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle {\ dot {u}} _ {x}}$${\ displaystyle {\ dot {u}} _ {x}}$

Deci , pentru că acest sistem este feedback - ul stabilizat de către și are funcția Liapunov cu , acesta poate fi utilizat ca subsistem superior într - un alt sistem în cascadă cu un singur integrator. ${\ displaystyle u_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1})}$${\ displaystyle V_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1})}$${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) \ leq -W (\ mathbf {x}) <0}$

Exemplu motivant: Backstepping cu doi integratori

Înainte de a discuta procedura recursivă pentru cazul general al integratorului multiplu, este instructiv să se studieze recursiunea prezentă în cazul celor doi integratori. Adică, ia în considerare sistemul dinamic

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} \\ {\ dot {z}} _ {1} = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} = u_ {2} \ end {cases}}}$

( 4 )

unde și și sunt scalari. Acest sistem este o conexiune în cascadă a sistemului cu un singur integrator în ecuația ( 1 ) cu un alt integrator (adică, intrarea intră printr-un integrator, iar ieșirea integratorului respectiv intră în sistem în ecuația ( 1 ) prin intrarea sa ). ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle z_ {2}}$${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle u_ {1}}$

Prin lăsare

• ${\ displaystyle \ mathbf {y} \ triangleq {\ begin {bmatrix} \ mathbf {x} \\ z_ {1} \ end {bmatrix}} \,}$,
• ${\ displaystyle f_ {y} (\ mathbf {y}) \ triangleq {\ begin {bmatrix} f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} \ \ 0 \ end {bmatrix}} \,}$,
• ${\ displaystyle g_ {y} (\ mathbf {y}) \ triangleq {\ begin {bmatrix} \ mathbf {0} \\ 1 \ end {bmatrix}}, \,}$

atunci sistemul cu doi integratori din ecuația ( 4 ) devine sistemul cu un singur integrator

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {y}}} = f_ {y} (\ mathbf {y}) + g_ {y} (\ mathbf {y}) z_ {2} & \ quad {\ text {(unde acest}} subsistem \ mathbf {y} {\ text {este stabilizat de}} z_ {2} = u_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) {\ text { )}} \\ {\ dot {z}} _ {2} = u_ {2}. \ end {cases}}}$

( 5 )

Prin procedura cu un singur integrator, legea controlului stabilizează subsistemul superior până la y folosind funcția Lyapunov , astfel ecuația ( 5 ) este un nou sistem cu un singur integrator care este echivalent din punct de vedere structural cu sistemul cu un singur integrator în ecuația ( 1). ). Deci, un control stabilizator poate fi găsit folosind aceeași procedură cu un singur integrator care a fost folosită pentru a găsi . ${\ displaystyle u_ {y} (\ mathbf {y}) \ triangleq u_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1})}$${\ displaystyle z_ {2}}$${\ displaystyle V_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1})}$${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle u_ {1}}$

Multi-integrator backstepping

În cazul celor doi integratori, subsistemul superior integrator unic a fost stabilizat rezultând un nou sistem cu un singur integrator care poate fi stabilizat în mod similar. Această procedură recursivă poate fi extinsă pentru a gestiona orice număr finit de integratori. Această afirmație poate fi dovedită formal cu inducție matematică . Aici, un sistem stabilizat de integratori multipli este construit din subsisteme de subsisteme deja stabilizate de integratori multipli.

• În primul rând, luați în considerare sistemul dinamic

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) u_ {x}}$

care are stări de intrare și ieșire scalare . Asuma ca${\ displaystyle u_ {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}] ^ {\ text {T}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

• • ${\ displaystyle f_ {x} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {0}}$astfel încât sistemul de intrare zero (adică ) să fie staționar la origine . În acest caz, originea se numește echilibru al sistemului.${\ displaystyle u_ {x} = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0} \,}$
  • Legea controlului feedback-ului stabilizează sistemul la echilibrul de la origine.${\ displaystyle u_ {x} (\ mathbf {x})}$
  • O funcție Lyapunov corespunzătoare acestui sistem este descrisă de .${\ displaystyle V_ {x} (\ mathbf {x})}$

Adică, dacă stările de ieșire x sunt readuse la intrare de legea controlului , atunci stările de ieșire (și funcția Lyapunov) revin la origine după o singură perturbație (de exemplu, după o stare inițială diferită de zero sau o perturbare puternică). Acest subsistem este stabilizat prin legea controlului feedback-ului .${\ displaystyle u_ {x}}$${\ displaystyle u_ {x} (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle u_ {x}}$

• Apoi, conectați un integrator la intrare, astfel încât sistemul augmentat să aibă stări de intrare (la integrator) și ieșire x . Sistemul dinamic augmentat rezultat este${\ displaystyle u_ {x}}$${\ displaystyle u_ {1}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} \\ {\ dot {z}} _ {1} = u_ {1} \ end {cases}}}$

Acest sistem „în cascadă” se potrivește cu forma din ecuația ( 1 ) și, prin urmare, procedura de backstepping cu un singur integrator duce la legea controlului stabilizator în ecuația ( 3 ). Adică, dacă retroactivăm stările și x pentru a introduce conform legii controlului ${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle u_ {1}}$

${\ displaystyle u_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) = - {\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} g_ {x} (\ mathbf { x}) -k_ {1} (z_ {1} -u_ {x} (\ mathbf {x})) + {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} (f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1})}$

cu câștig , atunci stările și x vor reveni la și după o singură perturbare. Acest subsistem este stabilizat prin legea controlului feedback-ului , iar funcția Lyapunov corespunzătoare din ecuația ( 2 ) este ${\ displaystyle k_ {1}> 0}$${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle z_ {1} = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0} \,}$${\ displaystyle u_ {1}}$

${\ displaystyle V_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) = V_ {x} (\ mathbf {x}) + {\ frac {1} {2}} (z_ {1} -u_ { x} (\ mathbf {x})) ^ {2}}$

Adică, în conformitate cu legea controlului feedback-ului , funcția Lyapunov cade la zero pe măsură ce statele se întorc la origine.${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle V_ {1}}$

• Conectați un nou integrator la intrare, astfel încât sistemul augmentat să aibă stări de intrare și ieșire x . Sistemul dinamic augmentat rezultat este${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle u_ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} \\ {\ dot {z}} _ {1} = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} = u_ {2} \ end {cases}}}$

care este echivalent cu sistemul cu un singur integrator

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ overbrace {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ mathbf {x}}} \\ {\ dot {z}} _ {1} \ end {bmatrix}} ^ {\ triangleq \, {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {1}} = \ overbrace {\ begin {bmatrix} f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x} ) z_ {1} \\ 0 \ end {bmatrix}} ^ {\ triangleq \, f_ {1} (\ mathbf {x} _ {1})} + \ overbrace {\ begin {bmatrix} \ mathbf {0} \\ 1 \ end {bmatrix}} ^ {\ triangleq \, g_ {1} (\ mathbf {x} _ {1})} z_ {2} & \ qquad {\ text {(funcția Lyapunov}} V_ { 1}, {\ text {subsistem stabilizat de}} u_ {1} ({\ textbf {x}} _ {1}) {\ text {)}} \\ {\ dot {z}} _ {2} = u_ {2} \ end {cases}}}$

Folosind aceste definiții ale ,, și , acest sistem poate fi exprimat și ca ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {1}}$${\ displaystyle f_ {1}}$${\ displaystyle g_ {1}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {1} = f_ {1} (\ mathbf {x} _ {1}) + g_ {1} (\ mathbf {x } _ {1}) z_ {2} & \ qquad {\ text {(prin funcția Lyapunov}} V_ {1}, {\ text {subsistem stabilizat de}} u_ {1} ({\ textbf {x}} _ {1}) {\ text {)}} \\ {\ dot {z}} _ {2} = u_ {2} \ end {cases}}}$

Acest sistem se potrivește cu structura integratorului unic al ecuației ( 1 ), astfel procedura de backstepping a integratorului unic poate fi aplicată din nou. Asta este, dacă vom hrăni state înapoi , și x la intrare în conformitate cu legea de control ${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle z_ {2}}$${\ displaystyle u_ {2}}$

${\ displaystyle u_ {2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}) = - {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial \ mathbf {x} _ {1}} } g_ {1} (\ mathbf {x} _ {1}) - k_ {2} (z_ {2} -u_ {1} (\ mathbf {x} _ {1})) + {\ frac {\ partial u_ {1}} {\ partial \ mathbf {x} _ {1}}} (f_ {1} (\ mathbf {x} _ {1}) + g_ {1} (\ mathbf {x} _ {1} ) z_ {2})}$

cu câștig , atunci statele , și x va reveni la , și după o singură perturbație. Acest subsistem este stabilizat de legea controlului feedback-ului , iar funcția Lyapunov corespunzătoare este ${\ displaystyle k_ {2}> 0}$${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle z_ {2}}$${\ displaystyle z_ {1} = 0}$${\ displaystyle z_ {2} = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0} \,}$${\ displaystyle u_ {2}}$

${\ displaystyle V_ {2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}) = V_ {1} (\ mathbf {x} _ {1}) + {\ frac {1} {2} } (z_ {2} -u_ {1} (\ mathbf {x} _ {1})) ^ {2}}$

Adică, în conformitate cu legea controlului feedback-ului , funcția Lyapunov cade la zero pe măsură ce statele se întorc la origine.${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle V_ {2}}$

• Conectați un integrator la intrare, astfel încât sistemul augmentat să aibă stări de intrare și ieșire x . Sistemul dinamic augmentat rezultat este${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle u_ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} \\ {\ dot {z}} _ {1} = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} = z_ {3} \\ {\ dot {z}} _ {3} = u_ { 3} \ end {cases}}}$

care poate fi re-grupat ca sistem cu un singur integrator

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ overbrace {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ mathbf {x}}} \\ {\ dot {z}} _ {1} \\ {\ dot {z}} _ {2} \ end {bmatrix}} ^ {\ triangleq \, {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {2}} = \ overbrace {\ begin {bmatrix} f_ {x} (\ mathbf {x }) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {2} \\ z_ {2} \\ 0 \ end {bmatrix}} ^ {\ triangleq \, f_ {2} (\ mathbf {x} _ {2})} + \ overbrace {\ begin {bmatrix} \ mathbf {0} \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}} ^ {\ triangleq \, g_ {2} (\ mathbf {x} _ {2 })} z_ {3} & \ qquad {\ text {(prin funcția Lyapunov}} V_ {2}, {\ text {subsistem stabilizat de}} u_ {2} ({\ textbf {x}} _ {2} ) {\ text {)}} \\ {\ dot {z}} _ {3} = u_ {3} \ end {cases}}}$

Prin definițiile lui , și din pasul anterior, acest sistem este reprezentat și de ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {1}}$${\ displaystyle f_ {1}}$${\ displaystyle g_ {1}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ overbrace {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {1} \\ {\ dot {z}} _ {2} \ end {bmatrix} } ^ {{\ dot {\ mathbf {x}}} _ {2}} = \ overbrace {\ begin {bmatrix} f_ {1} (\ mathbf {x} _ {1}) + g_ {1} (\ mathbf {x} _ {1}) z_ {2} \\ 0 \ end {bmatrix}} ^ {f_ {2} (\ mathbf {x} _ {2})} + \ overbrace {\ begin {bmatrix} \ mathbf {0} \\ 1 \ end {bmatrix}} ^ {g_ {2} (\ mathbf {x} _ {2})} z_ {3} & \ qquad {\ text {(funcția Lyapunov}} V_ { 2}, {\ text {subsistem stabilizat de}} u_ {2} ({\ textbf {x}} _ {2}) {\ text {)}} \\ {\ dot {z}} _ {3} = u_ {3} \ end {cases}}}$

Mai mult, folosind aceste definiții ale ,, și , acest sistem poate fi exprimat și ca ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {2}}$${\ displaystyle f_ {2}}$${\ displaystyle g_ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {2} = f_ {2} (\ mathbf {x} _ {2}) + g_ {2} (\ mathbf {x } _ {2}) z_ {3} & \ qquad {\ text {(funcția Lyapunov}} V_ {2}, {\ text {subsistem stabilizat de}} u_ {2} ({\ textbf {x}} _ {2}) {\ text {)}} \\ {\ dot {z}} _ {3} = u_ {3} \ end {cases}}}$

Deci, sistemul re-grupat are structura integratorului unic al ecuației ( 1 ) și astfel procedura de backstepping a integratorului unic poate fi aplicată din nou. Asta este, dacă vom hrăni state din spate , , , si x la intrare în conformitate cu legea de control ${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle z_ {2}}$${\ displaystyle z_ {3}}$${\ displaystyle u_ {3}}$

${\ displaystyle u_ {3} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}) = - {\ frac {\ partial V_ {2}} {\ partial \ mathbf {x} _ {2}}} g_ {2} (\ mathbf {x} _ {2}) - k_ {3} (z_ {3} -u_ {2} (\ mathbf {x} _ {2})) + { \ frac {\ partial u_ {2}} {\ partial \ mathbf {x} _ {2}}} (f_ {2} (\ mathbf {x} _ {2}) + g_ {2} (\ mathbf {x } _ {2}) z_ {3})}$

cu câștig , atunci statele , , , și X va reveni la , , și după o singură perturbație. Acest subsistem este stabilizat de legea controlului feedback-ului , iar funcția Lyapunov corespunzătoare este ${\ displaystyle k_ {3}> 0}$${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle z_ {2}}$${\ displaystyle z_ {3}}$${\ displaystyle z_ {1} = 0}$${\ displaystyle z_ {2} = 0}$${\ displaystyle z_ {3} = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0} \,}$${\ displaystyle u_ {3}}$

${\ displaystyle V_ {3} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}) = V_ {2} (\ mathbf {x} _ {2}) + {\ frac { 1} {2}} (z_ {3} -u_ {2} (\ mathbf {x} _ {2})) ^ {2}}$

Adică, în conformitate cu legea controlului feedback-ului , funcția Lyapunov cade la zero pe măsură ce statele se întorc la origine.${\ displaystyle u_ {3}}$${\ displaystyle V_ {3}}$

• Acest proces poate continua pentru fiecare integrator adăugat la sistem și, prin urmare, orice sistem al formularului

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} & \ qquad {\ text {(funcție Lyapunov}} V_ {x}, {\ text {subsistem stabilizat de}} u_ {x} ({\ textbf {x}}) {\ text {)}} \\ {\ dot {z}} _ {1} = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} = z_ {3} \\\ vdots \\ {\ dot {z}} _ {i} = z_ {i + 1} \\\ vdots \\ {\ dot {z}} _ {k-2} = z_ {k-1} \\ {\ dot {z}} _ {k-1} = z_ {k } \\ {\ dot {z}} _ {k} = u \ end {cases}}}$

are structura recursivă

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {cases} {\ begin {cases} {\ begin {cases} {\ begin {cases} {\ begin {cases} {\ begin {cases} {\ begin {cases } {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} & \ qquad {\ text {(de Lyapunov funcție}} V_ {x}, {\ text {subsistem stabilizat de}} u_ {x} ({\ textbf {x}}) {\ text {)}} \\ {\ dot {z}} _ {1} = z_ {2} \ end {cases}} \\ {\ dot {z}} _ {2} = z_ {3} \ end {cases}} \\\ vdots \ end {cases}} \\ {\ dot {z}} _ {i} = z_ {i + 1} \ end {cases}} \\\ vdots \ end {cases}} \\ {\ dot {z}} _ {k-2} = z_ {k -1} \ end {cases}} \\ {\ dot {z}} _ {k-1} = z_ {k} \ end {cases}} \\ {\ dot {z}} _ {k} = u \ end {cases}}}$

și poate fi feedback stabilizat prin găsirea controlului de stabilizare a feedback-ului și a funcției Lyapunov pentru subsistemul cu un singur integrator (adică cu intrare și ieșire x ) și iterarea din acel subsistem interior până când se cunoaște controlul de stabilizare a feedback-ului final u . La iterația i , sistemul echivalent este ${\ displaystyle (\ mathbf {x}, z_ {1})}$${\ displaystyle z_ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ overbrace {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ mathbf {x}}} \\ {\ dot {z}} _ {1} \\ {\ dot {z}} _ {2} \\\ vdots \\ {\ dot {z}} _ {i-2} \\ {\ dot {z}} _ {i-1} \ end {bmatrix}} ^ {\ triangleq \, {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {i-1}} = \ overbrace {\ begin {bmatrix} f_ {i-2} (\ mathbf {x} _ {i-2}) + g_ {i -2} (\ mathbf {x} _ {i-1}) z_ {i-2} \\ 0 \ end {bmatrix}} ^ {\ triangleq \, f_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1})} + \ overbrace {\ begin {bmatrix} \ mathbf {0} \\ 1 \ end {bmatrix}} ^ {\ triangleq \, g_ {i-1} (\ mathbf {x} _ { i-1})} z_ {i} & \ quad {\ text {(de Lyap. func.}} V_ {i-1}, {\ text {subsistem stabilizat de}} u_ {i-1} ({\ textbf {x}} _ {i-1}) {\ text {)}} \\ {\ dot {z}} _ {i} = u_ {i} \ end {cases}}}$

Legea corespunzătoare de control a stabilizării feedback-ului este

${\ displaystyle u_ {i} (\ overbrace {\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ dots, z_ {i}} ^ {\ triangleq \, \ mathbf {x} _ {i} }) = - {\ frac {\ partial V_ {i-1}} {\ partial \ mathbf {x} _ {i-1}}} g_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1 }) \, - \, k_ {i} (z_ {i} \, - \, u_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1})) \, + \, {\ frac { \ partial u_ {i-1}} {\ partial \ mathbf {x} _ {i-1}}} (f_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1}) \, + \, g_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1}) z_ {i})}$

cu câștig . Funcția Lyapunov corespunzătoare este ${\ displaystyle k_ {i}> 0}$

${\ displaystyle V_ {i} (\ mathbf {x} _ {i}) = V_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1}) + {\ frac {1} {2}} ( z_ {i} -u_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1})) ^ {2}}$

Prin această construcție, controlul final (adică, controlul final se găsește la iterația finală ).${\ displaystyle u (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {k}) = u_ {k} (\ mathbf {x} _ {k})}$${\ displaystyle i = k}$

Prin urmare, orice sistem din acest formular special de feedback strict al multor integratori poate fi feedback stabilizat utilizând o procedură simplă care poate fi chiar automatizată (de exemplu, ca parte a unui algoritm de control adaptiv ).

Backstepping generic

Sistemele în forma specială de feedback strict au o structură recursivă similară cu structura sistemului multi-integratori. La fel, acestea sunt stabilizate prin stabilizarea celui mai mic sistem în cascadă și apoi înapoi la următorul sistem în cascadă și repetarea procedurii. Deci, este esențial să se dezvolte o procedură cu un singur pas; această procedură poate fi aplicată recursiv pentru a acoperi cazul în mai mulți pași. Din fericire, datorită cerințelor privind funcțiile din formularul de feedback strict, fiecare sistem cu un singur pas poate fi redat prin feedback către un sistem cu un singur integrator și acel sistem cu un singur integrator poate fi stabilizat folosind metodele discutate mai sus.

Procedură cu un singur pas

Luați în considerare simplu stricte de feedback- sistem

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} \\ {\ dot {z}} _ {1} = f_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) + g_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) u_ {1} \ sfârșit {cazuri}}}$

( 6 )

Unde

• ${\ displaystyle \ mathbf {x} = [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}] ^ {\ text {T}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$,
• ${\ displaystyle z_ {1}}$și sunt scalari ,${\ displaystyle u_ {1}}$
• Pentru toate x și , .${\ displaystyle z_ {1}}$${\ displaystyle g_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) \ neq 0}$

În loc să proiectați direct controlul de stabilizare a feedback-ului , introduceți un nou control (care va fi proiectat ulterior ) și utilizați legea controlului ${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle u_ {a1}}$

${\ displaystyle u_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) = {\ frac {1} {g_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1})}} \ left (u_ { a1} -f_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) \ right)}$

ceea ce este posibil pentru că . Deci sistemul din ecuația ( 6 ) este ${\ displaystyle g_ {1} \ neq 0}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} \\ {\ dot {z}} _ {1} = f_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) + g_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) \ overbrace {{\ frac {1} {g_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1})}} \ left (u_ {a1} -f_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) \ right) } ^ {u_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1})} \ end {cases}}}$

ceea ce simplifică la

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} \\ {\ dot {z}} _ {1} = u_ {a1} \ end {cases}}}$

Acest nou sistem -to- x se potrivește cu sistemul cascadă cu un singur integrator din ecuația ( 1 ). Presupunând că este cunoscută o lege de control de stabilizare a feedback-ului și o funcție Lyapunov pentru subsistemul superior, legea de control de stabilizare a feedback-ului din ecuația ( 3 ) este ${\ displaystyle u_ {a1}}$${\ displaystyle u_ {x} (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle V_ {x} (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle u_ {a1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) = - {\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} g_ {x} (\ mathbf { x}) -k_ {1} (z_ {1} -u_ {x} (\ mathbf {x})) + {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} (f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1})}$

cu câștig . Deci, legea finală de control a stabilizării feedback-ului este ${\ displaystyle k_ {1}> 0}$

${\ displaystyle u_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) = {\ frac {1} {g_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1})}} \ left (\ overbrace {- {\ frac {\ partial V_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} g_ {x} (\ mathbf {x}) -k_ {1} (z_ {1} -u_ {x} ( \ mathbf {x})) + {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial \ mathbf {x}}} (f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf { x}) z_ {1})} ^ {u_ {a1} (\ mathbf {x}, z_ {1})} \, - \, f_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) \ dreapta)}$

( 7 )

cu câștig . Funcția Lyapunov corespunzătoare din ecuația ( 2 ) este ${\ displaystyle k_ {1}> 0}$

${\ displaystyle V_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) = V_ {x} (\ mathbf {x}) + {\ frac {1} {2}} (z_ {1} -u_ { x} (\ mathbf {x})) ^ {2}}$

( 8 )

Deoarece acest sistem de feedback strict are un control de stabilizare a feedback-ului și o funcție Lyapunov corespunzătoare, acesta poate fi în cascadă ca parte a unui sistem mai mare de feedback strict și această procedură poate fi repetată pentru a găsi controlul de stabilizare a feedback-ului din jur.

Procedură în mai mulți pași

La fel ca în backstepping-ul multi-integrator, procedura cu un singur pas poate fi finalizată iterativ pentru a stabiliza un întreg sistem de feedback strict. În fiecare pas,

1. Cel mai mic sistem „nestabilizat” de feedback strict într-un singur pas este izolat.
2. Feedback-ul este utilizat pentru a converti sistemul într-un sistem cu un singur integrator.
3. Sistemul rezultat cu un singur integrator este stabilizat.
4. Sistemul stabilizat este utilizat ca sistem superior în etapa următoare.

Adică orice sistem strict de feedback

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} & \ qquad {\ text {(funcție Lyapunov}} V_ {x}, {\ text {subsistem stabilizat de}} u_ {x} ({\ textbf {x}}) {\ text {)}} \\ {\ dot {z}} _ {1} = f_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) + g_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) z_ {2} \\ {\ punct {z}} _ {2} = f_ {2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}) + g_ {2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ { 2}) z_ {3} \\\ vdots \\ {\ dot {z}} _ {i} = f_ {i} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {i}) + g_ {i} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {i}) z_ {i + 1} \\\ vdots \\ {\ dot { z}} _ {k-2} = f_ {k-2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots z_ {k-2}) + g_ {k-2} ( \ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {k-2}) z_ {k-1} \\ {\ dot {z}} _ {k-1} = f_ { k-1} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots z_ {k-2}, z_ {k-1}) + g_ {k-1} (\ mathbf {x} , z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {k-2}, z_ {k-1}) z_ {k} \\ {\ dot {z}} _ {k} = f_ {k} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots z_ {k-1}, z_ {k}) + g_ {k} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ { 2}, \ ldots, z_ {k-1}, z_ {k}) u \ end {cases}}}$

are structura recursivă

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {cases} {\ begin {cases} {\ begin {cases} {\ begin {cases} {\ begin {cases} {\ begin {cases} {\ begin {cases } {\ dot {\ mathbf {x}}} = f_ {x} (\ mathbf {x}) + g_ {x} (\ mathbf {x}) z_ {1} & \ qquad {\ text {(de Lyapunov funcție}} V_ {x}, {\ text {subsistem stabilizat de}} u_ {x} ({\ textbf {x}}) {\ text {)}} \\ {\ dot {z}} _ {1} = f_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) + g_ {1} (\ mathbf {x}, z_ {1}) z_ {2} \ end {cases}} \\ {\ dot { z}} _ {2} = f_ {2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}) + g_ {2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2} ) z_ {3} \ end {cases}} \\\ vdots \\\ end {cases}} \\ {\ dot {z}} _ {i} = f_ {i} (\ mathbf {x}, z_ { 1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {i}) + g_ {i} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {i}) z_ {i + 1} \ end {cases}} \\\ vdots \ end {cases}} \\ {\ dot {z}} _ {k-2} = f_ {k-2} (\ mathbf {x}, z_ {1 }, z_ {2}, \ ldots z_ {k-2}) + g_ {k-2} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {k-2}) z_ {k-1} \ end {cases}} \\ {\ dot {z}} _ {k-1} = f_ {k-1} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2} , \ ldots z_ {k-2}, z_ {k-1}) + g_ {k-1} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {k-2} , z_ {k-1}) z_ {k} \ end {cases}} \\ {\ dot {z}} _ {k} = f_ {k} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ { 2}, \ ldots z _ {k-1}, z_ {k}) + g_ {k} (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {k-1}, z_ {k}) u \ end {cases}}}$

și poate fi feedback stabilizat prin găsirea controlului de stabilizare a feedback-ului și a funcției Lyapunov pentru subsistemul cu un singur integrator (adică cu intrare și ieșire x ) și iterarea din acel subsistem interior până când se cunoaște controlul de stabilizare a feedback-ului final u . La iterația i , sistemul echivalent este ${\ displaystyle (\ mathbf {x}, z_ {1})}$${\ displaystyle z_ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ overbrace {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ mathbf {x}}} \\ {\ dot {z}} _ {1} \\ {\ dot {z}} _ {2} \\\ vdots \\ {\ dot {z}} _ {i-2} \\ {\ dot {z}} _ {i-1} \ end {bmatrix}} ^ {\ triangleq \, {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {i-1}} = \ overbrace {\ begin {bmatrix} f_ {i-2} (\ mathbf {x} _ {i-2}) + g_ {i -2} (\ mathbf {x} _ {i-2}) z_ {i-2} \\ f_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i}) \ end {bmatrix}} ^ {\ triangleq \, f_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1})} + \ overbrace {\ begin {bmatrix} \ mathbf {0} \\ g_ {i-1} (\ mathbf {x } _ {i}) \ end {bmatrix}} ^ {\ triangleq \, g_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1})} z_ {i} & \ quad {\ text {( de Lyap. func.}} V_ {i-1}, {\ text {subsistem stabilizat de}} u_ {i-1} ({\ textbf {x}} _ {i-1}) {\ text {)} } \\ {\ dot {z}} _ {i} = f_ {i} (\ mathbf {x} _ {i}) + g_ {i} (\ mathbf {x} _ {i}) u_ {i} \ end {cases}}}$

Prin ecuația ( 7 ), legea corespunzătoare a controlului de stabilizare a feedback-ului este

${\ displaystyle u_ {i} (\ overbrace {\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ dots, z_ {i}} ^ {\ triangleq \, \ mathbf {x} _ {i} }) = {\ frac {1} {g_ {i} (\ mathbf {x} _ {i})}} \ left (\ overbrace {- {\ frac {\ partial V_ {i-1}} {\ partial \ mathbf {x} _ {i-1}}} g_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1}) \, - \, k_ {i} \ left (z_ {i} \, - \, u_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1}) \ right) \, + \, {\ frac {\ partial u_ {i-1}} {\ partial \ mathbf {x } _ {i-1}}} (f_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1}) \, + \, g_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i- 1}) z_ {i})} ^ {{\ text {Single-integrator stabilizing control}} u_ {a \; \! I} (\ mathbf {x} _ {i})} \, - \, f_ { i} (\ mathbf {x} _ {i-1}) \ dreapta)}$

cu câștig . Prin ecuația ( 8 ), funcția Lyapunov corespunzătoare este ${\ displaystyle k_ {i}> 0}$

${\ displaystyle V_ {i} (\ mathbf {x} _ {i}) = V_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1}) + {\ frac {1} {2}} ( z_ {i} -u_ {i-1} (\ mathbf {x} _ {i-1})) ^ {2}}$

Prin această construcție, controlul final (adică, controlul final se găsește la iterația finală ). Prin urmare, orice sistem de feedback strict poate fi feedback stabilizat utilizând o procedură simplă care poate fi chiar automatizată (de exemplu, ca parte a unui algoritm de control adaptiv ). ${\ displaystyle u (\ mathbf {x}, z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {k}) = u_ {k} (\ mathbf {x} _ {k})}$${\ displaystyle i = k}$

Vezi si

• Control neliniar
• Formular de feedback strict
• Control robust
• Control adaptiv

Referințe