Notare actuarială - Actuarial notation

Exemplu de simbol actuarial.
1. O majusculă A este o asigurare care plătește 1 pentru evenimentul asigurat; Minuscula a este o anuitate care plătește 1 pe an la momentul potrivit
2. Barul implică continuu - sau plătit în momentul decesului; punct dublu - implică plătit la începutul anului; nici o marcă nu înseamnă plătit la sfârșitul anului
3. pentru o persoană în vârstă, pentru ani 4. plătit dacă moare în termen de ani 5. amânat ( ani) 6. fără semnificație fixă, implică al doilea moment de calcul , dar implică adesea dublu forța de interes

{\ displaystyle x}

{\ displaystyle n}

{\ displaystyle (x)}

{\ displaystyle n}

{\ displaystyle m}

{\ displaystyle E (Z ^ {2}) = E ((v ^ {k_ {x} +1}) ^ {2})}

{\ displaystyle v ^ {k_ {x} +1} = e ^ {\ delta (k_ {x} +1)}}

Notarea actuarială este o metodă de scurtare pentru a permite actuarilor să înregistreze formule matematice care se ocupă de ratele dobânzii și tabelele de viață .

Notarea tradițională folosește un sistem de halo în care simbolurile sunt plasate ca superindice sau subindice înainte sau după litera principală. Exemplu de notație folosind sistemul halo poate fi văzut mai jos.

S-au făcut diverse propuneri de adoptare a unui sistem liniar în care toată notația ar fi pe o singură linie fără a folosi superindice sau indice. O astfel de metodă ar fi utilă pentru calcul în care reprezentarea sistemului halo poate fi extrem de dificilă. Cu toate acestea, un sistem liniar standard nu a apărut încă.

Notare exemplu

Ratele dobânzilor

${\ displaystyle \, i}$ este rata anuală efectivă a dobânzii , care este rata „adevărată” a dobânzii pe parcursul unui an . Astfel, dacă rata anuală a dobânzii este de 12%, atunci . ${\ displaystyle \, i = 0,12}$

${\ displaystyle \, i ^ {(m)}}$ (pronunțat „i m superioară ”) este rata nominală a dobânzii convertibilă de câte ori pe an și este numerică egală cu de două ori rata efectivă a dobânzii de peste o ^mie de an. De exemplu, rata nominală a dobânzii este convertibilă semestrial. Dacă rata anuală efectivă a dobânzii este de 12%, atunci reprezintă rata efectivă a dobânzii la fiecare șase luni. De atunci , avem și, prin urmare . ^„(M)“ care apare în simbol nu este un „ exponent “. Reprezintă doar numărul de conversii de dobândă sau de compunere a timpului pe an. Compunerea semestrială (sau conversia dobânzilor la fiecare șase luni) este frecvent utilizată la evaluarea obligațiunilor (a se vedea și titluri cu venit fix ) și la instrumente similare de răspundere financiară monetară , în timp ce ipotecile la domiciliu convertesc frecvent dobânzile lunar. Urmând din nou exemplul de mai sus , avem, de atunci . ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \, i ^ {(2)}}$ ${\ displaystyle \, i ^ {(2)} / 2}$ ${\ displaystyle \, (1.0583) ^ {2} = 1.12}$ ${\ displaystyle \, i ^ {(2)} / 2 = 0,0583}$ ${\ displaystyle \, i ^ {(2)} = 0.1166}$ ${\ displaystyle \, i ^ {(m)}}$ ${\ displaystyle \, i = 0,12}$ ${\ displaystyle \, i ^ {(12)} = 0.1139}$ ${\ displaystyle \, \ left (1 + {\ frac {0.1139} {12}} \ right) ^ {12} = 1.12}$

Ratele efective și nominale ale dobânzii nu sunt aceleași, deoarece dobânzile plătite în perioadele de evaluare anterioare „câștigă” dobânzi în perioadele de evaluare ulterioare; aceasta se numește dobândă compusă . Adică, ratele nominale ale dobânzii la dobânda de credit pentru un investitor (alternativ taxare sau debitare , dobândă către un debitor), mai frecvent decât ratele efective. Rezultatul este compunerea mai frecventă a veniturilor din dobânzi pentru investitor (sau cheltuielile cu dobânzile pentru debitor), atunci când sunt utilizate ratele nominale.

Simbolul reprezintă valoarea actuală de 1 care urmează să fie plătită peste un an de acum: ${\ displaystyle \, v}$

{\ displaystyle \, v = {(1 + i)} ^ {- 1} \ approx 1-i + i ^ {2}}

Acest factor de valoare actuală, sau factor de reducere, este utilizat pentru a determina suma de bani care trebuie investită acum pentru a avea o anumită sumă de bani în viitor. De exemplu, dacă aveți nevoie de 1 într - un an, atunci suma de bani pe care ar trebui să investească acum este: . Dacă aveți nevoie de 25 în 5 ani suma de bani pe care ar trebui să investească acum este: . ${\ displaystyle \, 1 \ ori v}$ ${\ displaystyle \, 25 \ times v ^ {5}}$

${\ displaystyle \, d}$ este rata anuală efectivă de actualizare :

{\ displaystyle d = {\ frac {i} {1 + i}} \ approx ii ^ {2}}

Valoarea lui poate fi calculată și din următoarele relații: Rata de actualizare este egală cu suma dobânzii câștigate pe parcursul unei perioade de un an, împărțită la soldul banilor la sfârșitul acelei perioade. În schimb, o rată anuală efectivă a dobânzii este calculată prin împărțirea sumei dobânzii câștigate într-o perioadă de un an la soldul banilor de la începutul anului. Valoarea actuală (astăzi) a unei plăți de 1 care urmează să fie efectuată cu ani în viitor este . Acest lucru este analog cu formula pentru anii valorici viitori (sau cumulat) din viitor a unei sume de 1 investit astăzi. ${\ displaystyle \, d}$ ${\ displaystyle \, (1-d) = v = {(1 + i)} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \, n}$ ${\ displaystyle \, {(1-d)} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \, {(1 + i)} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \, n}$

${\ displaystyle \, d ^ {(m)}}$ , rata nominală a reducerii convertibile ori pe an, este similară cu . Reducerea este convertită pe o bază a ^treia . ${\ displaystyle \, m}$ ${\ displaystyle \, i ^ {(m)}}$ ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle \, \ delta}$ , forța dobânzii , este valoarea limitativă a ratei nominale a dobânzii atunci când crește fără limitare: ${\ displaystyle m}$

{\ displaystyle \, \ delta = \ lim _ {m \ to \ infty} i ^ {(m)}}

În acest caz, dobânda este convertibilă continuu .

Relația generală între , și este: ${\ displaystyle \, i}$ ${\ displaystyle \, \ delta}$ ${\ displaystyle \, d}$

{\ displaystyle \, (1 + i) = \ left (1 + {\ frac {i ^ {(m)}} {m}} \ right) ^ {m} = e ^ {\ delta} = \ left ( 1 - {\ frac {d ^ {(m)}} {m}} \ right) ^ {- m} = (1-d) ^ {- 1}}

Valoarea lor numerică poate fi comparată după cum urmează:

{\ displaystyle \, i> i ^ {(2)}> i ^ {(3)}> \ cdots> \ delta> \ cdots> d ^ {(3)}> d ^ {(2)}> d}

Mese de viață

Un tabel de viață (sau un tabel al mortalității) este o construcție matematică care arată numărul de persoane în viață (pe baza ipotezelor utilizate pentru a construi masa) la o anumită vârstă. În plus față de numărul de vieți rămase la fiecare vârstă, un tabel al mortalității oferă de obicei diverse probabilități asociate cu dezvoltarea acestor valori.

${\ displaystyle \, l_ {x}}$ este numărul de persoane în viață, în raport cu o cohortă originală, la vârstă . Pe măsură ce vârsta crește, numărul persoanelor în viață scade. ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \, l_ {0}}$ este punctul de plecare pentru : numărul de persoane în viață , la vârsta de 0. Acest lucru este cunoscut sub numele de radix a tabelului. Unele tabele de mortalitate încep la o vârstă mai mare de 0, caz în care radioul este numărul de persoane presupuse a fi în viață la cea mai tânără vârstă din tabel. ${\ displaystyle \, l_ {x}}$

${\ displaystyle \ omega}$ este vârsta limitativă a tabelelor de mortalitate. este zero pentru toți . ${\ displaystyle \, l_ {n}}$ ${\ displaystyle \, n \ geq \ omega}$

${\ displaystyle \, d_ {x}}$ este numărul de persoane care mor între vârste și vârste . poate fi calculat folosind formula ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x + 1}$ ${\ displaystyle \, d_ {x}}$ ${\ displaystyle \, d_ {x} = l_ {x} -l_ {x + 1}}$

${\ displaystyle x}$	${\ displaystyle l_ {x}}$	${\ displaystyle d_ {x}}$
0	${\ displaystyle l_ {0}}$
...	...	...
${\ displaystyle x}$	${\ displaystyle l_ {x}}$	${\ displaystyle d_ {x} = l_ {x} -l_ {x + 1}}$
${\ displaystyle x + 1}$	${\ displaystyle l_ {x + 1}}$	${\ displaystyle d_ {x + 1}}$
...	...	...
${\ displaystyle \ omega -1}$	${\ displaystyle l _ {\ omega -1}}$	${\ displaystyle d _ {\ omega -1} = l _ {\ omega -1}}$
${\ displaystyle \ omega}$	0	0

${\ displaystyle \, q_ {x}}$ este probabilitatea decesului între vârste și vârste . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x + 1}$

{\ displaystyle \, q_ {x} = d_ {x} / l_ {x}}

${\ displaystyle \, p_ {x}}$ este probabilitatea ca o epocă de viață să supraviețuiască până la vârstă . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x + 1}$

{\ displaystyle \, p_ {x} = l_ {x + 1} / l_ {x}}

Deoarece singurele alternative posibile de la o vârstă ( ) la următoarea ( ) sunt trăirea și moartea, relația dintre aceste două probabilități este: ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x + 1}$

{\ displaystyle \, p_ {x} + q_ {x} = 1}

Aceste simboluri pot fi, de asemenea, extinse la mai mulți ani, prin inserarea numărului de ani în partea din stânga jos a simbolului de bază.

${\ displaystyle \, _ {n} d_ {x} = d_ {x} + d_ {x + 1} + \ cdots + d_ {x + n-1} = l_ {x} -l_ {x + n}}$ arată numărul de persoane care mor între vârste și vârste . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x + n}$

${\ displaystyle \, _ {n} q_ {x}}$ este probabilitatea decesului între vârste și vârste . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x + n}$

{\ displaystyle \, _ {n} q_ {x} = {} _ {n} d_ {x} / l_ {x}}

${\ displaystyle \, _ {n} p_ {x}}$ este probabilitatea ca o epocă de viață să supraviețuiască până la vârstă . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x + n}$

{\ displaystyle \, _ {n} p_ {x} = l_ {x + n} / l_ {x}}

O altă statistică care poate fi obținută dintr-un tabel de viață este speranța de viață .

${\ displaystyle \, e_ {x}}$ este așteptarea de viață a unei persoane în viață la vârstă . Acesta este numărul așteptat de ani întregi care mai rămân de trăit (s-ar putea să vă gândiți la acesta ca la numărul așteptat de zile de naștere pe care persoana le va sărbători). ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle \, e_ {x} = \ sum _ {t = 1} ^ {\ infty} \ _ {t} p_ {x}}

Un tabel de viață arată în general numărul de persoane în viață la vârste integrale. Dacă avem nevoie de informații referitoare la o fracțiune de an, trebuie să facem ipoteze cu privire la tabel, dacă nu sunt deja implicate de o formulă matematică care stă la baza tabelului. O presupunere comună este aceea a unei distribuții uniforme a deceselor (UDD) la fiecare an de vârstă. Sub această ipoteză, există o interpolare liniară între și . adică ${\ displaystyle \, l_ {x + t}}$ ${\ displaystyle \, l_ {x}}$ ${\ displaystyle \, l_ {x + 1}}$

{\ displaystyle \, l_ {x + t} = (1-t) l_ {x} + tl_ {x + 1}}

Anuități

Ilustrarea fluxurilor de plăți reprezentate de notația actuarială pentru anuități.

Simbolul de bază pentru valoarea actuală a unei anuități este . Apoi se poate adăuga următoarea notație: ${\ displaystyle \, a}$

Notarea din partea dreaptă sus indică frecvența plății (adică, numărul de plăți de anuitate care vor fi efectuate în fiecare an). Lipsa unei astfel de notații înseamnă că plățile sunt efectuate anual.
Notarea din partea dreaptă jos indică vârsta persoanei la care începe renta și perioada pentru care este plătită renta.
Notarea direct deasupra simbolului de bază indică momentul efectuării plăților. Două puncte indică o anuitate ale cărei plăți sunt efectuate la începutul fiecărui an (o „anuitate datorată”); o linie orizontală deasupra simbolului indică o rată de plată continuă (o „renta continuă”); nici o marcă deasupra simbolului de bază nu indică o anuitate ale cărei plăți sunt efectuate la sfârșitul fiecărui an (o „anuitate-imediată”).

Dacă plățile care trebuie efectuate în cadrul unei anuități sunt independente de orice eveniment de viață, aceasta este cunoscută sub denumirea de anuitate . În caz contrar, în special dacă plățile se încheie la moartea beneficiarului , se numește renta viageră .

${\ displaystyle a _ {{\ overline {n |}} i}}$ (citiți un unghi-n la i ) reprezintă valoarea actuală a unei anuități-imediată, care este o serie de plăți unitare la sfârșitul fiecărui an pentru ani (cu alte cuvinte: valoarea cu o perioadă înainte de prima dintre n plăți ). Această valoare se obține de la: ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle \, a _ {{\ overline {n |}} i} = v + v ^ {2} + \ cdots + v ^ {n} = {\ frac {1-v ^ {n}} {i} }}

${\ displaystyle {\ ddot {a}} _ {{\ overline {n |}} i}}$ reprezintă valoarea actuală a unei anuități datorate, care este o serie de plăți unitare la începutul fiecărui an de ani (cu alte cuvinte: valoarea la momentul primei dintre n plăți). Această valoare se obține de la: ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle {\ ddot {a}} _ {{\ overline {n |}} i} = 1 + v + \ cdots + v ^ {n-1} = {\ frac {1-v ^ {n}} { d}}}

${\ displaystyle \, s _ {{\ overline {n |}} i}}$ este valoarea la momentul ultimei plăți, valoarea cu o perioadă mai târziu. ${\ displaystyle {\ ddot {s}} _ {{\ overline {n |}} i}}$

Dacă simbolul este adăugat în colțul din dreapta sus, acesta reprezintă valoarea actuală a unei anuități ale cărei plăți au loc în fiecare an dintr-un an pentru o perioadă de ani, iar fiecare plată este un an dintr-o unitate. ${\ displaystyle \, (m)}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$

{\ displaystyle a _ {{\ overline {n |}} i} ^ {(m)} = {\ frac {1-v ^ {n}} {i ^ {(m)}}}}

,

{\ displaystyle {\ ddot {a}} _ {{\ overline {n |}} i} ^ {(m)} = {\ frac {1-v ^ {n}} {d ^ {(m)}} }}

${\ displaystyle {\ overline {a}} _ {{\ overline {n |}} i}}$ este valoarea limitativă a când crește fără legătură. Renta de bază este cunoscută sub numele de renta continuă . ${\ displaystyle \, a _ {{\ overline {n |}} i} ^ {(m)}}$ ${\ displaystyle m}$

{\ displaystyle {\ overline {a}} _ {{\ overline {n |}} i} = {\ frac {1-v ^ {n}} {\ delta}}}

Valorile actuale ale acestor anuități pot fi comparate după cum urmează:

{\ displaystyle a _ {{\ overline {n |}} i} <a _ {{\ overline {n |}} i} ^ {(m)} <{\ overline {a}} _ {{\ overline {n | }} i} <{\ ddot {a}} _ {{\ overline {n |}} i} ^ {(m)} <{\ ddot {a}} _ {{\ overline {n |}} i} }

Pentru a înțelege relațiile prezentate mai sus, luați în considerare faptul că fluxurile de numerar plătite ulterior au o valoare actuală mai mică decât fluxurile de numerar cu aceeași sumă totală plătite în perioade anterioare.

Indicele care reprezintă rata dobânzii poate fi înlocuit cu sau și este adesea omis dacă rata este clar cunoscută din context. ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ delta}$
Atunci când se utilizează aceste simboluri, rata dobânzii nu este neapărat constantă pe tot parcursul vieții anuităților. Cu toate acestea, atunci când rata variază, formulele de mai sus nu vor mai fi valabile; se pot dezvolta anumite formule pentru anumite mișcări ale ratei.

Anuități pe viață

O renta viageră este o rată a cărei plăți sunt condiționate de viața continuă a rentului. Vârsta rentierului este un aspect important în calcularea valorii actuariale actuale a unei anuități.

Vârsta rentantului este plasată în colțul din dreapta jos al simbolului, fără un semn „unghi”.

De exemplu:

${\ displaystyle \, a_ {65}}$ indică o rată de 1 unitate pe an plătibilă la sfârșitul fiecărui an până la deces cuiva care are în prezent 65 de ani

${\ displaystyle a _ {\ overline {10 |}}}$ indică o anuitate de 1 unitate pe an plătibilă timp de 10 ani, cu plăți efectuate la sfârșitul fiecărui an

${\ displaystyle a_ {65: {\ overline {10 |}}}}$ indică o renta de 1 unitate pe an timp de 10 ani, sau până la moarte, dacă este mai devreme, cuiva care are în prezent 65 de ani

${\ displaystyle a_ {65:64}}$ indică o renta de 1 unitate pe an până la moartea anterioară a unui membru sau moartea soțului, cuiva care are în prezent 65 de ani și soțul 64

${\ displaystyle a _ {\ overline {65:64}}}$ indică o renta de 1 unitate pe an până la moartea ulterioară a unui membru sau decesul soțului, cuiva care are în prezent 65 de ani și soțul 64.

${\ displaystyle a_ {65} ^ {(12)}}$ indică o renta de 1 unitate pe an de plătit de 12 ori pe an (1/12 unitate pe lună) până la deces cuiva care în prezent are 65 de ani

${\ displaystyle {\ ddot {a}} _ {65}}$ indică o rată de 1 unitate pe an plătibilă la începutul fiecărui an până la deces cuiva care are în prezent 65 de ani

sau în general:

${\ displaystyle a_ {x: {\ overline {n |}} i} ^ {(m)}}$ , unde este vârsta rentierului, este numărul de ani de plăți (sau până la deces dacă este mai devreme), este numărul de plăți pe an și este rata dobânzii. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle i}$

Din motive de simplitate, notația este limitată și nu arată, de exemplu, dacă renta este plătibilă unui bărbat sau unei femei (fapt care ar fi de obicei determinat din context, inclusiv dacă tabelul vieții se bazează pe bărbat sau ratele mortalității feminine).

Plățile contingente cu valoarea actuală actuarială a vieții pot fi tratate ca o așteptare matematică a unei variabile aleatoare a valorii actuale sau calculate prin intermediul formularului de plată curent.

Asigurare de viata

Simbolul de bază pentru o asigurare de viață este . Apoi se poate adăuga următoarea notație: ${\ displaystyle \, A}$

Notarea din partea dreaptă sus indică momentul plății unei prestații de deces. Lipsa notării înseamnă că plățile se fac la sfârșitul anului decesului. O cifră între paranteze (de exemplu ) înseamnă că beneficiul se plătește la sfârșitul perioadei indicate (12 pentru lunar; 4 pentru trimestrial; 2 pentru semestrial; 365 pentru zilnic). ${\ displaystyle A ^ {(12)}}$
Notarea din dreapta jos indică vârsta persoanei la care începe asigurarea de viață.
Notarea direct deasupra simbolului de bază indică „tipul” asigurării de viață, indiferent dacă se plătește la sfârșitul perioadei sau imediat. O linie orizontală indică asigurarea de viață care trebuie plătită imediat, în timp ce nici o marcă deasupra simbolului nu indică plata la sfârșitul perioadei indicate.

De exemplu:

${\ displaystyle \, A_ {x}}$ indică o prestație de asigurare de viață de 1 plătibilă la sfârșitul anului decesului.

${\ displaystyle \, A_ {x} ^ {(12)}}$ indică o prestație de asigurare de viață de 1 plătibilă la sfârșitul lunii decesului.

${\ displaystyle \, {\ overline {A}} _ {x}}$ indică o prestație de asigurare de viață de 1 plătibilă în momentul (matematic) al decesului.

Premium

Simbolul de bază pentru premium este sau . în general se referă la primele nete pe an, la primele speciale, ca primă unică. ${\ displaystyle \, P}$ ${\ displaystyle \, \ pi}$ ${\ displaystyle \, P}$ ${\ displaystyle \, \ pi}$

Forța mortalității

Dintre actuari, forța mortalității se referă la ceea ce economiștii și alți oameni de știință sociali numesc rata hazardului și este interpretată ca o rată instantanee a mortalității la o anumită vârstă măsurată anual.

Într-un tabel de viață, considerăm probabilitatea ca o persoană să moară între vârsta ( x ) și vârsta x + 1; această probabilitate se numește q _x . În cazul continuu, am putea considera, de asemenea, probabilitatea condiționată ca o persoană care a atins vârsta ( x ) să moară între vârsta ( x ) și vârsta ( x + Δ x ) ca:

{\ displaystyle P _ {\ Delta x} (x) = P (x <X <x + \ Delta \; x \ mid \; X> x) = {\ frac {F_ {X} (x + \ Delta \; x) -F_ {X} (x)} {(1-F_ {X} (x))}}}

unde F _X ( x ) este funcția de distribuție cumulativă a variabilei aleatoare continue vârstă la moarte , X. Deoarece Δ x tinde la zero, la fel și această probabilitate în cazul continuu. Forța aproximativă a mortalității este această probabilitate împărțită la Δ x . Dacă lăsăm Δ x să tindă la zero, obținem funcția forței mortalității , notată ca μ ( x ):

{\ displaystyle \ mu \, (x) = {\ frac {F '_ {X} (x)} {1-F_ {X} (x)}}}

Languages

In other projects