Ladrilhos quadrados - Square tiling

Ladrilhos quadrados

Modelo	Ladrilhos regulares
Configuração do vértice	4.4.4.4 (ou 4 ⁴ )
Configuração de rosto	V4.4.4.4 (ou V4 ⁴ )
Símbolo (s) Schläfli	{4,4} {∞} × {∞}
Símbolo (s) Wythoff	4 2 4
Diagrama (s) de Coxeter
Simetria	p4m , [4,4], (* 442)
Simetria de rotação	p4 , [4,4] ⁺ , (442)
Dual	auto-dual
Propriedades	Vertex-transitivo , edge-transitivo , face-transitivo

Em geometria , o ladrilho quadrado , mosaico quadrado ou grade quadrada é um ladrilho regular do plano euclidiano . Tem o símbolo Schläfli de {4,4}, o que significa que tem 4 quadrados ao redor de cada vértice .

Conway chamou de quadrilha .

O ângulo interno do quadrado é de 90 graus, portanto, quatro quadrados em um ponto perfazem 360 graus. É uma das três curvas regulares do avião . Os outros dois são os ladrilhos triangulares e os hexagonais .

Colorações uniformes

Existem 9 colorações uniformes distintas de uma telha quadrada. Nomear as cores por índices nos 4 quadrados em torno de um vértice: 1111, 1112 (i), 1112 (ii), 1122, 1123 (i), 1123 (ii), 1212, 1213, 1234. (i) casos têm reflexão simples simetria e (ii) simetria de reflexão de deslizamento. Três podem ser vistos no mesmo domínio de simetria como colorações reduzidas: 1112 _i de 1213, 1123 _i de 1234 e 1112 _ii reduzido de 1123 _ii .

9 colorações uniformes
1111	1212	1213	1112 _i	1122

p4m (* 442)		p4m (* 442)		pmm (* 2222)
1234	1123 _i	1123 _ii	1112 _ii

pmm (* 2222)		cmm (2 * 22)

Poliedros e telhas relacionados

Este tiling está topologicamente relacionado como uma parte da sequência de poliedros regulares e tiling, estendendo-se para o plano hiperbólico : {4, p}, p = 3,4,5 ...

* n 42 mutação de simetria de tilings regulares: {4, n } v t e
Esférico	Euclidiana	Hiperbólica compacta				Paracompact
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4, ∞}

Este ladrilho também está relacionado topologicamente como uma parte da sequência de poliedros regulares e ladrilhos com quatro faces por vértice, começando com o octaedro , com o símbolo de Schläfli {n, 4}, e o diagrama de Coxeter, com n progredindo para o infinito.

* n 42 mutação de simetria de tilings regulares: { n , 4} v t e
Esférico		Euclidiana	Coisas hiperbólicas

2 ⁴	3 ⁴	4 ⁴	5 ⁴	6 ⁴	7 ⁴	8 ⁴	... ∞ ⁴

* n 42 mutações de simetria de tilings duais quasi-regulares: V (4.n) ²
Simetria * 4n2 [n, 4]	Esférico	Euclidiana	Hiperbólica compacta				Paracompact	Não compacto
Simetria * 4n2 [n, 4]	* 342 [3,4]	* 442 [4,4]	* 542 [5,4]	* 642 [6,4]	* 742 [7,4]	* 842 [8,4] ...	* ∞42 [∞, 4]	[iπ / λ, 4]
Tiling Conf.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

* n 42 mutação de simetria de telhas expandidas: n .4.4.4 v t e
Simetria [n, 4], (* n 42)	Esférico	Euclidiana	Hiperbólica compacta				Paracomp.
Simetria [n, 4], (* n 42)	* 342 [3,4]	* 442 [4,4]	* 542 [5,4]	* 642 [6,4]	* 742 [7,4]	* 842 [8,4]	* ∞42 [∞, 4]
Figuras expandidas
Config.	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Configuração de figuras rômbicas .	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Construções Wythoff de ladrilhos quadrados

Como o poliedro uniforme, há oito ladrilhos uniformes que podem ser baseados no ladrilho quadrado regular.

Desenhando os ladrilhos coloridos como vermelho nas faces originais, amarelo nos vértices originais e azul ao longo das bordas originais, todas as 8 formas são distintas. No entanto o tratamento de caras de forma idêntica, há apenas três formas distintas topologicamente: ladrilhos quadrados , ladrilhos quadrado truncados , desprezar ladrilhos quadrados .

Ladrilhos uniformes com base na simetria de ladrilhos quadrados v t e
Simetria : [4,4], (* 442)							[4,4] ⁺ , (442)	[4,4 ⁺ ], (4 * 2)


{4,4}	t {4,4}	r {4,4}	t {4,4}	{4,4}	rr {4,4}	tr {4,4}	sr {4,4}	s {4,4}
Duplos uniformes


V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Tiles topologicamente equivalentes

Uma variação isogonal com dois tipos de faces, vista como uma telha quadrada com pares trangle combinados em losangos.

As telhas quadradas topológicas podem ser feitas com faces côncavas e mais de uma aresta compartilhada entre duas faces. Esta variação possui 3 arestas compartilhadas.

Outras telhas quadrilaterais podem ser feitas que são topologicamente equivalentes à telha quadrada (4 quads ao redor de cada vértice).

Uma variação 2-isohedral com faces rômbicas

As telhas isoédricas têm faces idênticas ( transitividade de face ) e transitividade de vértice , há 18 variações, sendo 6 identificadas como triângulos que não se conectam borda a borda, ou como quadrilátero com duas arestas colineares. A simetria fornecida assume que todas as faces são da mesma cor.

Tiles quadriláteros isoédricos
Quadrado p4m, (* 442)	Retângulo pmm, (* 2222)	Paralelogramo p2, (2222)	Paralelogramo pmg, (22 *)	Rhombus cmm, (2 * 22)


Trapézio cmm, (2 * 22)	Quadrilateral pgg, (22 ×)	Kite pmg, (22 *)	Quadrilateral pgg, (22 ×)	Quadrilateral p2, (2222)

Quadriláteros degenerados ou triângulos sem borda a borda
Isósceles pmg, (22 *)	Isósceles PGG, (22 ×)		Escaleno PGG, (22 ×)		Escaleno p2, (2222)

Embalagem de círculo

O ladrilho quadrado pode ser usado como um empacotamento de círculo , colocando círculos de igual diâmetro no centro de cada ponto. Cada círculo está em contato com 4 outros círculos na embalagem ( número de beijo ). A densidade de empacotamento é π / 4 = cobertura de 78,54%. Existem 4 colorações uniformes das embalagens de círculo.

Apeirogons complexos regulares relacionados

Existem 3 apeirogons complexos regulares , compartilhando os vértices da telha quadrada. Apeirogons complexos regulares têm vértices e arestas, onde as arestas podem conter 2 ou mais vértices. Apeirogons regulares p {q} r são restringidos por: 1 / p + 2 / q + 1 / r = 1. As arestas têm vértices p e as figuras dos vértices são r -gonal.

Autoduplicado	Duals

4 {4} 4 ou	2 {8} 4 ou	4 {8} 2 ou

Veja também

Referências

Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3ª edição, 1973), edição Dover, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Tabela II: Favos de mel regulares
Klitzing, Richard. "2D euclidean tilings o4o4x - squat - O1" .
Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. p36
Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Tilings e padrões . Nova York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Capítulo 2.1: Ladrilhos regulares e uniformes , p. 58-65)
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]

links externos

Weisstein, Eric W. "Square Grid" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Tessellation regular" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Uniform tessellation" . MathWorld .

v t e Favos de mel fundamentais convexos regulares e uniformes nas dimensões 2-9
Espaço	Família	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ / / ${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E ²	Ladrilhos uniformes	{3 ^[3] }	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	Hexagonal
E ³	Favo de mel convexo uniforme	{3 ^[4] }	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E ⁴	4-favo de mel uniforme	{3 ^[5] }	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	Favo de mel de 24 células
E ⁵	Uniforme 5-favo de mel	{3 ^[6] }	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	Uniforme 6-favo de mel	{3 ^[7] }	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	Uniforme 7-favo de mel	{3 ^[8] }	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E ⁸	Favo de mel 8 uniforme	{3 ^[9] }	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E ⁹	Uniforme 9-favo de mel	{3 ^[10] }	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	Uniforme 10-favo de mel	{3 ^[11] }	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E ^{n -1}	Uniforme ( n -1) - favo de mel	{3 ^[n] }	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁

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