Sequência de Sheffer - Sheffer sequence

Em matemática , uma sequência de Sheffer ou poweroid é uma sequência polinomial , ou seja, uma sequência ( p _n ( x ): n = 0, 1, 2, 3, ...) de polinômios em que o índice de cada polinômio é igual ao seu grau , condições satisfatórias relacionadas ao cálculo umbral em combinatória . Eles são nomeados em homenagem a Isador M. Sheffer .

Definição

Fixe uma sequência polinomial ( p _n ). Defina um operador linear Q em polinômios em x por

${\ displaystyle Qp_ {n} (x) = np_ {n-1} (x) \ ,.}$

Isso determina Q em todos os polinômios. A sequência polinomial p _n é uma sequência de Sheffer se o operador linear Q recém-definido for equivariante de deslocamento ; tal Q é então um operador delta . Aqui, definimos um operador linear Q em polinômios como sendo equivariante de deslocamento se, sempre que f ( x ) = g ( x + a ) = T _a g ( x ) for um "deslocamento" de g ( x ), então ( Qf ) ( x ) = ( Qg ) ( x + a ); isto é, Q comuta com cada operador de deslocamento : T _a Q = QT _a .

Propriedades

O conjunto de todas as sequências de Sheffer é um grupo sob a operação de composição umbral de sequências polinomiais, definido a seguir. Suponha que (  p _n (x): n = 0, 1, 2, 3, ...) e (  q _n (x): n = 0, 1, 2, 3, ...) sejam sequências polinomiais, dadas por

${\ displaystyle p_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {n, k} x ^ {k} \ {\ mbox {e}} \ q_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} b_ {n, k} x ^ {k}.}$

Então, a composição umbral é a sequência polinomial cujo n- ésimo termo é ${\ displaystyle p \ circ q}$

${\ displaystyle (p_ {n} \ circ q) (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {n, k} q_ {k} (x) = \ sum _ {0 \ leq \ ell \ leq k \ leq n} a_ {n, k} b_ {k, \ ell} x ^ {\ ell}}$

(o subscrito n aparece em p _n , uma vez que este é o termo n daquela sequência, mas não em q , uma vez que se refere à sequência como um todo e não a um de seus termos).

O elemento de identidade deste grupo é a base monomial padrão

${\ displaystyle e_ {n} (x) = x ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ delta _ {n, k} x ^ {k}.}$

Dois subgrupos importantes são o grupo de sequências de Appell , que são aquelas sequências para as quais o operador Q é mera diferenciação , e o grupo de sequências do tipo binomial , que são aquelas que satisfazem a identidade

${\ displaystyle p_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ escolha k} p_ {k} (x) p_ {nk} (y).}$

Uma sequência de Sheffer (  p _n ( x ): n  = 0, 1, 2, ...) é do tipo binomial se e somente se ambos

${\ displaystyle p_ {0} (x) = 1 \,}$

e

${\ displaystyle p_ {n} (0) = 0 {\ mbox {para}} n \ geq 1. \,}$

O grupo de sequências de Appell é abeliano ; o grupo de sequências do tipo binomial não. O grupo de sequências de Appell é um subgrupo normal ; o grupo de sequências do tipo binomial não. O grupo de sequências de Sheffer é um produto semidireto do grupo de sequências de Appell e do grupo de sequências do tipo binomial. Segue-se que cada coset do grupo de sequências de Appell contém exatamente uma sequência do tipo binomial. Duas sequências de Sheffer estão no mesmo tal coset se e somente se o operador Q descrito acima - chamado de " operador delta " dessa sequência - é o mesmo operador linear em ambos os casos. (Geralmente, um operador delta é um operador linear equivariante de deslocamento em polinômios que reduz o grau em um. O termo é devido a F. Hildebrandt.)

Se s _n ( x ) é uma sequência de Sheffer e p _n ( x ) é a única sequência do tipo binomial que compartilha o mesmo operador delta, então

${\ displaystyle s_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ escolha k} p_ {k} (x) s_ {nk} (y).}$

Às vezes, o termo sequência de Sheffer é definido para significar uma sequência que carrega essa relação com alguma sequência do tipo binomial. Em particular, se (  s _n ( x )) é uma sequência de Appell, então

${\ displaystyle s_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ escolha k} x ^ {k} s_ {nk} (y).}$

A sequência de polinômios de Hermite , a sequência de polinômios de Bernoulli e os monômios ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ...) são exemplos de sequências de Appell.

Uma sequência de Sheffer p _n é caracterizada por sua função geradora exponencial

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {p_ {n} (x)} {n!}} t ^ {n} = A (t) \ exp (xB (t) ) \,}$

onde A e B são séries de potências ( formais ) em t . As sequências de Sheffer são, portanto, exemplos de polinômios de Appell generalizados e, portanto, têm uma relação de recorrência associada .

Exemplos

Exemplos de sequências polinomiais que são sequências de Sheffer incluem:

• Os polinômios de Abel ;
• Os polinômios de Bernoulli ;
• Os polinômios fatoriais centrais;
• Os polinômios de Hermite ;
• Os polinômios de Laguerre ;
• Os polinômios de Mahler ;
• Os monômios ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ...);
• Os polinômios de Mott ;

Referências

• Rota, G.-C. ; Kahaner, D .; Odlyzko, A. (junho de 1973). "Sobre os fundamentos da teoria combinatória VIII: Cálculo do operador finito" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 684–750. doi : 10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8 . Reimpresso na próxima referência.
• Rota, G.-C. ; Doubilet, P .; Greene, C .; Kahaner, D .; Odlyzko, A .; Stanley, R. (1975). Cálculo do operador finito . Academic Press. ISBN 0-12-596650-4.
• Sheffer, IM (1939). "Algumas propriedades de conjuntos polinomiais do tipo zero". Duke Mathematical Journal . 5 (3): 590–622. doi : 10.1215 / S0012-7094-39-00549-1 .
• Roman, Steven (1984). O Cálculo Umbral . Matemática Pura e Aplicada. 111 . Londres: Academic Press Inc. [Editora Harcourt Brace Jovanovich]. ISBN 978-0-12-594380-2. MR  0741185 . Reimpresso por Dover, 2005.

links externos

• Weisstein, Eric W. "Sheffer Sequence" . MathWorld .